1.3 矩形的性质与判定（六大题型2）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦矩形性质与判定的系统性应用，通过六类递进题型构建从性质理解到综合计算的逻辑链条，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |斜边中线性质|3题|结合直角三角形、菱形考查中线与斜边关系|从矩形性质推导特殊线段关系| |添加判定条件|3题|平行四边形背景下补充矩形判定要素|连接平行四边形与矩形的判定逻辑| |证明矩形|3题|利用对角线、直角等条件完成证明|强化矩形判定定理的应用规范| |求角度|3题|综合矩形性质与三角形内角关系|性质到角度计算的转化训练| |求线段长|3题|涉及折叠、中点等复杂几何情境|性质与勾股定理的综合应用| |求面积|3题|结合对角线、动点等计算面积|矩形面积公式的灵活迁移|

1.3 矩形的性质与判定 题型一 斜边的中线等于斜边的一半 1．如图，中，，E，F分别为和的中点，是边上的高，连接，．若，则的长为（     ） A．5 B．6 C．10 D．12 2．如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，则_________． 3．如图，的对角线与相交于点，点在外，且，． (1)求证：是矩形； (2)若，试说明当与满足怎样的数量关系时，四边形是菱形，并写出证明过程． 题型二 添一条件使四边形是矩形 4．如图，要使平行四边形是矩形，需要增加的一个条件可以是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，对角线，相交于点O，请你再添加一个条件，使得这个为轴对称图形，可以添加的条件是______． 6．如图，在中，点，，分别在，，边上，，． (1)求证：； (2)添加一个条件，使四边形为矩形，直接写出这个条件． 题型三 证明四边形是矩形 7．如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中： ①两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ②对角线相等的平行四边形是矩形， ③矩形的四个角都是直角， ④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（    ）    A．① B．② C．③ D．④ 8．如图，四边形是一张平行四边形纸片，其高，底边，，数学综合实践课上，小颖沿虚线将纸片剪成两个全等的梯形，若，则的长为 _____． 9．如图，在中，于点，延长至点，使，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 题型四 根据矩形的性质与判定求角度 10．如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 11．如图，在矩形中，，点在上，且，则________． 12．如图，在四边形中，，，为上一点，且，为上一点，交于点，．求证：． 题型五 根据矩形的性质与判定求线段长 13．如图，在中，，，，与的平分线相交于点，过点作交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 14．如图，在四边形中，，，．取的中点，连接，，将和分别沿，折叠，若和恰好都能与重合，线段的长为______． 15．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，交的延长线于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，求四边形的面积和的长． 题型六 根据矩形的性质与判定求面积 16．如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交、于点E、F，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．21 C．14 D．10 17．在中，，，点在内，且，， 分别是的中点，则四边形的面积为____． 18．如图，在四边形中，相交于点O，O是的中点，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 矩形的性质与判定 题型一 斜边的中线等于斜边的一半 1．如图，中，，E，F分别为和的中点，是边上的高，连接，．若，则的长为（     ） A．5 B．6 C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及中位线的性质求解即可． 【详解】解：为的中点，且， ． ． 由题意，得是的中位线， ． 2．如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，则_________． 【答案】 【分析】先根据菱形的性质结合勾股定理求出，从而得出，再根据直角三角形斜边中线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．如图，的对角线与相交于点，点在外，且，． (1)求证：是矩形； (2)若，试说明当与满足怎样的数量关系时，四边形是菱形，并写出证明过程． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，是的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是矩形． (2)当时，四边形是菱形，证明如下： ∵四边形是矩形， ∴，，且， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，为中点， ∴， ∴， 在和中： ， ∴， ∴， ∵，且三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形. 【分析】（1）由平行四边形性质得，，由且为中点，得，即，又，故，故是矩形； （2）由矩形性质得，，故，结合得为等边三角形，，由直角三角形斜边中线得，故．由及公共边，证，得，从而，推出，又，得四边形为平行四边形，且，故为菱形. 【详解】（1）略 （2）略 题型二 添一条件使四边形是矩形 4．如图，要使平行四边形是矩形，需要增加的一个条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确基础图形是平行四边形，需回忆平行四边形判定为矩形的定理，包括对角线相关、内角相关的判定条件。逐一分析各选项对应的几何性质，结合判定定理匹配符合要求的选项． 【详解】解：选项A：矩形的判定定理为对角线相等的平行四边形是矩形，平行四边形中对角线，满足条件，可以判定它是矩形，该选项正确． 选项B：邻边相等（）的平行四边形是菱形，不能判定是矩形，该选项错误． 选项C：平行四边形本身就具有对边平行的性质，本来就是平行四边形的已有性质，无法判定它是矩形，该选项错误． 选项D：对角线互相垂直（）的平行四边形是菱形，不是矩形，该选项错误． 5．如图，在中，对角线，相交于点O，请你再添加一个条件，使得这个为轴对称图形，可以添加的条件是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了轴对称图形，矩形的判定等知识．根据矩形的判定与性质添加条件即可． 【详解】解：添加， ∵在中，， ∴是矩形， ∴添加，则为轴对称图形， 故答案为：（答案不唯一）． 6．如图，在中，点，，分别在，，边上，，． (1)求证：； (2)添加一个条件，使四边形为矩形，直接写出这个条件． 【答案】(1)证明见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定（添一条件使四边形是矩形）等知识点，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由，可证得四边形是平行四边形，然后由平行四边形的性质即可得出结论； （2）由矩形的判定条件即可得出答案． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ； （2）解：添加条件：（答案不唯一），理由如下： 由（1）得：四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 题型三 证明四边形是矩形 7．如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中： ①两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ②对角线相等的平行四边形是矩形， ③矩形的四个角都是直角， ④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（    ）    A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】依题意，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需判定这个平行四边形是矩形即可，根据对角线相等的平行四边形是矩形可作出选择． 【详解】解：用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了，这种检测方法用到的数学根据是对角线相等的平行四边形是矩形， 故选：B． 8．如图，四边形是一张平行四边形纸片，其高，底边，，数学综合实践课上，小颖沿虚线将纸片剪成两个全等的梯形，若，则的长为 _____． 【答案】1 【分析】本题主要考查的是平行四边形的性质、矩形的判定，解直角三角形，过点F作于H，根据直角三角形的性质求出，根据正切的定义求出，计算即可． 【详解】解：过点F作于H， 则四边形为矩形， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵沿虚线将纸片剪成两个全等的梯形， ∴， ∴，即， 解得：， 故答案为：1． 9．如图，在中，于点，延长至点，使，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， 在中，且， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再结合即可； （2）先用勾股定理的逆定理证明，再根据等面积法得列式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为， ∴． 题型四 根据矩形的性质与判定求角度 10．如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】连接，证明四边形是矩形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，进而证明是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，得到，根据等边对等角的性质，得出，进而推出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，点F是的中点， ， ，， 四边形是矩形， ， E是的中点， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， , 故选：A． 11．如图，在矩形中，，点在上，且，则________． 【答案】15° 【分析】根据矩形性质得出∠A＝∠BCD＝90°，AD＝BC=BE，根据，得出∠BEA＝30°＝∠EBC，求出∠ECB的度数，即可求出答案． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠BCD＝90°，AD＝BC=BE，AD∥BC， ∵， ∴∠BEA＝30°， ∵AD∥BC， ∴∠EBC＝∠BEA＝30°， ∵=BC， ∴∠ECB＝（180°−∠EBC）＝75°， ∵∠BCD＝90°， ∴90°−75°＝15°， 故答案为：15°． 12．如图，在四边形中，，，为上一点，且，为上一点，交于点，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．先证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，再根据平行线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后证出，根据等腰三角形的判定即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 题型五 根据矩形的性质与判定求线段长 13．如图，在中，，，，与的平分线相交于点，过点作交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用角平分线交点到三边距离相等的性质，结合的平行条件，通过面积分解法求解． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得． 是与的角平分线的交点， 到三边的距离均相等，设为． ， 又， ，解得． 作于，于，于， 则． ，，， 四边形是矩形， ，． ，到的距离为， 直线与之间的距离为． ，， ， 点到直线的距离等于． 与的距离为， 点到直线的距离为． ，， ． 在上，为和的公共底边， ， ， ， ， ， ． 14．如图，在四边形中，，，．取的中点，连接，，将和分别沿，折叠，若和恰好都能与重合，线段的长为______． 【答案】 【分析】根据题意作图，得到，，，如图所示，过点C作于点F，得到矩形，由勾股定理得到，设，则，，由此列式得到，则，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：将和分别沿，折叠，点B，D的对应点为，，若和恰好都能与重合，则点重合，如图所示，且点A是的中点， ∴，，， 如图所示，过点C作于点F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得，， ∴， 在中， ． 15．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，交的延长线于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，求四边形的面积和的长． 【答案】(1)见详解 (2)， 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质以及含角的直角三角形的性质．熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形，以及所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，结合已知即可证明； （2）先利用四边形是平行四边形，得到，进而得到，证得矩形，有，且，利用的直角三角形求出，再利用面积公式进行求解，进一步判定三角形为等边三角形，结合点O为矩形的对角线交点，则即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得四边形是平行四边形，则， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∵， ∴，且， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则三角形为等边三角形， ∵点O为矩形的对角线交点， ∴，， ∴． 题型六 根据矩形的性质与判定求面积 16．如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交、于点E、F，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．21 C．14 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，掌握矩形的性质是解题关键．过点作，分别交、于点M、N，由矩形的性质推出，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过点作，分别交、于点M、N， 则四边形、、、都是矩形， ，，，，， 四边形是矩形， ， ，即， ， 阴影部分的面积为， 故选：C 17．在中，，，点在内，且，， 分别是的中点，则四边形的面积为____． 【答案】70 【分析】连接并延长交于点P，得到是线段的垂直平分线，根据勾股定理得到是的中位线，四边形为平行四边形，即可得到四边形为矩形，即可得到结果． 【详解】解：连接并延长交于点P， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∵E、F分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形， ∴四边形的面积， 故答案为：70． 18．如图，在四边形中，相交于点O，O是的中点，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：， ， 是的中点， ， 在和中， （）， ， 又， 四边形是平行四边形； (2)48 【分析】（1）先利用证，由全等三角形的性质得，即可解决问题； （2）先证明四边形是矩形，利用勾股定理得出，再利用矩形面积公式即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得：四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形． ． 在直角中，，由勾股定理知： ． 则． 即四边形的面积是48． 1 学科网（北京）股份有限公司 $