26.2.2 二次函数y=a(x-h)²+k 同步练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 26.2.2二次函数y=a(x-h)²+k同步练（人教版九年级上），以"基础巩固-综合应用-探究拓展"分层设计，通过概念辨析、性质应用到创新探究，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|顶点坐标/开口方向/平移规律|单选题1-3直接考查概念，填空题6-7强化性质理解| |中档层|综合计算/坐标变换|解答题11-12结合平移与关联点，提升符号运算能力| |提高层|探究性问题/动态应用|解答题15定义"数轴函数"，培养创新意识与模型观念|

26.2.2 二次函数y=a(x-h)²+k 同步练 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上学期 一、单选题 1．对于抛物线，下列结论正确的是（   ） A．该函数图象开口向上； B．当时，y随x的增大而减小； C．当时，取得最小值； D．当时，y的取值范围是 2．对于二次函数的图象，下列说法错误的是（   ） A．顶点坐标为 B．时，的值随值的增大而减少 C．对称轴为 D．函数的最小值为0 3．已知二次函数（其中a是常数，且），下列叙述中正确的是（    ） A．当时，二次函数图象开口向下 B．二次函数图象与y轴的交点的坐标为 C．顶点坐标是 D．当时，顶点是二次函数图象的最低点 4．抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，下列有关平移后的抛物线说法错误的是（     ） A．抛物线开口向上 B．顶点坐标为 C．若点和点都在抛物线上，则 D．当时，随的增大而减小 5．已知抛物线经过点，．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：的值为9； 结论Ⅱ：若，则的取值范围是 A．结论Ⅰ、Ⅱ都对 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不对 C．只有结论Ⅰ对 D．只有结论Ⅱ对 二、填空题 6．将抛物线的图像先向上平移3个单位再向右平移1个单位，得到新的抛物线的顶点坐标为__________ 7．已知点、在二次函数的图象上，若，则___（填“”、“”或“”）． 8．如图，在平面直角坐标系中，A，B是x轴上方抛物线上的两个点，C，D是x轴上的两个点．若四边形是边长为4的正方形，则c的值为_______ 9．已知二次函数的图象顶点坐标是，那么一次函的图象不经过第______象限． 10．把函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后图象的函数解析式为___________． 三、解答题 11．将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线． (1)求a，h，k的值； (2)指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)说明此二次函数的增减性和最大（小）值． 12．在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．如图，点在函数的图象上，点的“关联点”是点． (1)如果点在函数的图象上，求点的坐标； (2)将点称为点的“待定关联点”其中如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含的代数式表示点的坐标． 13．如图，以A为顶点的抛物线交y轴于点B，已知A，B两点的坐标分别为，连接． (1)求抛物线对应的函数解析式． (2)若将y轴向右平移6个单位长度，请直接写出此时抛物线对应的函数解析式． (3)抛物线上是否存在一点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 14．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点（在的左侧）． (1)二次函数的顶点坐标为__________； (2)若二次函数由平移所得， ①求线段的长； ②当时，二次函数的最大值与最小值的和等于，求的值． 15．探究下列问题： (1)写出下列二次函数的顶点坐标． ①的顶点坐标为 ； ②的顶点坐标为 ． 若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”，像上面①②的函数均为“数轴函数”． (2)继续研究发现，对于，因为，当 时，的顶点在轴上；当 时，的顶点在轴上．请你写出一个顶点在轴上的二次函数解析式： ． (3)与轴平行的直线与交于，两点（点在点的左侧），若，请直接写出点横坐标的取值范围． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 答案 B D C B A 1．B 本题主要考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质，逐项判断，即可求解． 解：∵， ∴该函数图象开口向下，故A选项错误，不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，取得最大值，故B选项正确，符合题意；C选项错误，不符合题意； ∵， ∴当时，时，取得最小值，最小值为， ∴当时，y的取值范围是，故D选项错误，不符合题意； 故选：B 2．D 本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 解：∵， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴时，的值随值的增大而减少，当时，函数的最大值为0； 综上，只有选项D说法错误； 故选D． 3．C 二次项系数大于0，则函数图象开口向上，二次项系数小于0，则函数图象开口向下，且函数图象有最高点，据此可判断A、D；求出时，y的值可判断B；根据解析式可得顶点的坐标，则可判断C． 解：A、当时，二次函数图象开口向上，原说法错误，不符合题意； B、当时，，则二次函数图象与y轴的交点的坐标为， ∵， ∴， ∴二次函数图象与y轴的交点的坐标不是，原说法错误，不符合题意； C、由解析式可得顶点坐标为，原说法正确，符合题意； D、当时，顶点是二次函数图象的最高点，原说法错误，不符合题意； 4．B 先根据抛物线平移规律：“左加右减自变量，上加下减常数项”，得到平移后的抛物线解析式，再根据二次函数的性质逐一判断选项，找出错误说法即可． 解：抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的抛物线解析式为 ． ∵， ∴抛物线开口向上，A说法正确； 抛物线的顶点坐标为，不是，B说法错误； 抛物线对称轴为直线，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，两点到对称轴距离相等，因此，C说法正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 又∵满足， ∴当时，随的增大而减小，D说法正确． 5．A 将代入即可求出t的值，根据题意求出点关于对称轴对称的点是，进而求解即可. 将代入得，，故结论Ⅰ正确； ∵对称轴为 ∴点关于对称轴对称的点是， ∵抛物线中二次项系数， ∴抛物线开口向上， ∴若，则的取值范围是，故结论Ⅱ正确． 综上所述，结论Ⅰ、Ⅱ都对． 故选：A． 6． 本题主要考查了根据平移确定点的坐标，二次函数的性质，根据二次函数图像平移规律，向上平移改变y坐标，向右平移改变x坐标，先确定原顶点坐标再依次平移即可． 解：原抛物线的顶点坐标为，先向上平移3个单位，顶点坐标变为，再向右平移1个单位，顶点坐标变为． 故答案为：． 7．< 先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合比较与的大小． 二次函数 中，二次项系数，因此抛物线开口向上， 该抛物线的对称轴为直线 ， 根据二次函数的性质，当 时， 随 的增大而减小， 已知 ，所以 ． 8．8 根据二次函数的对称性及正方形的性质求出点A的坐标，代入计算即可． 解：如图， ∵A，B是x轴上方抛物线上的两个点，抛物线的对称轴为直线， ∴A，B关于y轴对称， ∵四边形是边长为4的正方形， ∴，， 即， 将代入得：， 解得：． 9．二 此题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点坐标求得m、n的数值． 根据题意得出，，进一步利用一次函数的性质得出答案即可． 解：∵的图象的顶点坐标是， ∴， ∴一次函数， ∴图象经过一、三、四象限，不经过第二象限． 故答案为：二． 10． 本题考查的是二次函数的图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 解：函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后图象的函数解析式为：，即． 故答案为：． 11．(1)； (2)开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为； (3)当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是． 本题主要考查了二次函数的平移、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的平移规律：左加右减、上加下减是解题的关键． （1）由平移的规律可得函数平移后的解析式为，从而即可得到，，，进行计算即可； （2）根据二次函数的性质即可得到答案； （3）根据二次函数的性质即可得到答案． （1）解：∵抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线， ∴抛物线平移后的解析式为， ∴，，， ∴； （2）解：由（1）知，抛物线为抛物线， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为； （3）解：∵， ∴当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是． 12．(1) (2) 本题考查了平面直角坐标系中点的坐标变换规则与函数图象上点的坐标满足函数解析式等知识，解题关键是依据“关联点”“待定关联点”的定义确定新点坐标，再利用函数图象上点的坐标满足函数解析式这一性质列等式求解． （1）根据关联点的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入, 得到，解得，即可求得点的坐标； （2）根据待定关联点的定义和图象上点的坐标特征得到然后代入, 得到, 解得, 即可求得点的坐标． （1）解：由题意，得点的关联点为， 由点在抛物线上，可得 又在抛物线上， ， 解得， 将代入得， 点的坐标为； （2）点的待定关联点为 在抛物线的图象上， ， ， 又， ， 当时，， 点的坐标为. 13．(1) (2) (3)存在．点P的坐标为或 （1）已知抛物线的顶点坐标，可设抛物线解析式为， 然后把点B代入进行求值即可； （2）根据题意求得平移后抛物线的顶点坐标，然后写出平移后抛物线的解析式； （3）设利用两点间的距离公式得到关于y的方程，通过解方程求得y的值， 进而由抛物线上点的坐标特征得到点P的横坐标． （1）解：设抛物线解析式为：，. 把点B的坐标代入，得，解得． 所以该抛物线的解析式为：； （2）解：将y轴向右平移6个单位长度后该抛物线的顶点坐标为， 则平移后抛物线的解析式为：. （3）解：存在，理由如下： 设，，、. ，即. ， . ，即， 解得或（舍去）. 则， 解得或． 综上所述，点P的坐标是或． 本题考查了二次函数图象的几何变换，二次函数图象上点的坐标特征， 两点间距离公式，以及待定系数法求二次函数解析式. 14．(1) (2)①②或 本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移以及二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）直接根据顶点式的顶点公式进行作答即可； （2）①由平移得到，联立抛物线与直线的解析式，求出点的坐标，两点间距离公式求出的长即可； ②根据的范围，分3种情况，确定二次函数的最大值与最小值，列出方程进行求解即可． （1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）①∵二次函数由平移所得， ∴， 联立，解得：或， ∵，在的左侧， ∴， ∴； ②由（1）知：， ∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，关于的对称点为， ∵，即：， （i）当，即：时， 则当时，函数取得最小值为：， 当时，函数取得最大值为：， ∴， 解得：，不符合题意，舍去； （ii）当，即：时， 当时，函数取得最大值为， 当时，函数取得最小值为， 则：，解得：，符合题意； （iii）当，即：时， 则：当时，函数取得最大值为， 当时，函数取得最小值为：， 则：，解得：或（舍去）； 综上：或． 15．(1)①；② (2)；；（答案不唯一） (3) （1）①根据二次函数的顶点式，即可得到顶点坐标． ②同①解答即可． （2）根据二次函数的顶点式得到顶点坐标，根据在轴上和轴上的坐标特征，得到此时的顶点坐标，即可得出答案，当顶点在轴上时根据写出满足条件的解析式即可． （3）根据二次函数的顶点式得到顶点坐标，对称轴和开口方向，根据已知条件得出当时，此时，继而得到当时，的取值范围． （1）解：①∵二次函数解析式为，变为顶点式为：， ∴此二次函数的顶点坐标为； ②∵二次函数解析式为，变为顶点式为：， ∴此二次函数的顶点坐标为； 故答案为：①；②； （2）解：∵二次函数，因为，此二次函数的顶点坐标为， ∴当顶点在轴上时，，即顶点坐标为， 此时二次函数的解析式为， 当时，此时二次函数的解析式为，（答案不唯一） 当顶点在轴上时，，即顶点坐标为， 故答案为：；；（答案不唯一）； （3）解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线，开口向下，顶点坐标为， ∵与轴平行的直线与交于，两点， ∴该直线与抛物线的两个交点关于对称轴对称，到对称轴的距离相等， 当时，到对称轴的距离为， ∵点在左侧， ∴点的横坐标为， ∴当时，点到对称轴的距离不超过，且点在对称轴左侧， ∴的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $