26.2.1 二次函数y=ax²的图像和性质 同步练习 2026—2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 分层梯度清晰，从概念辨析到综合应用，适配新授课知识巩固，培养数学抽象、推理及模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |★☆☆|二次函数概念、开口方向、对称轴等基础概念|选择填空为主，如辨析函数类型、开口方向，夯实抽象能力| |★★☆|图像比较、增减性、范围最值|解答题巩固性质应用，如求给定范围最值，发展推理能力| |★★★|含参数问题、实际应用|小球下落问题等情境题，深化模型意识与综合应用|

第二十六章 二次函数 26.2.1 二次函数 y = ax² 的图像和性质 难度：★☆☆ 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. y = x + 1 B. y = x² C. y = D. y = 2. 二次函数 y = 2x² 的图像开口方向是（ ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 3. 二次函数 y = 的图像开口方向是（ ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 4. 二次函数 y = -3x²（a < 0），则该函数（ ） A. 有最小值 0 B. 有最大值 0 C. 最小值为 -3 D. 最大值为 -3 5. 二次函数 y = x²、y = 2x²、y = 0.5x² 的图像中，开口最宽的是（ ） A. y = x² B. y = 2x² C. y = 0.5x² D. 一样宽 6. 已知点 (2, 8) 在函数 y = 2x² 的图像上，则 y 的值为（ ） A. 2 B. 8 C. 4 D. 16 7. 已知二次函数 y = ax² 的图像过点 (2, -8)，则 a 的值为（ ） A. 2 B. -2 C. 4 D. -4 8. 当 y = x² 时，若 y = 8，则 x 的值为（ ） A. 2 B. -2 C. ±2 D. ±2 9. 二次函数 y = -2x² 的对称轴是（ ） A. x = -2 B. y 轴 C. x = 2 D. y = -2 10. 对于函数 y = ax²（a ≠ 0），下列说法正确的是（ ） A. 图像必过原点 B. 图像必过 (1, a) C. 开口大小与 |a| 成正比 D. 以上都对 11. 填空：二次函数 y = (m - 2)x² 过点 (1, -3)，则 m = ______，该函数图像的开口方向______（填"向上"或"向下"），顶点坐标为______。 12. 填空：已知 y = kx² 过点 (-3, -12)，则 k = ______，该抛物线开口______，对称轴为______。 难度：★★☆ 13. 已知 y = ax² 过点 (2, -12)，则当 x = -1 时，y 的值为（ ） A. 3 B. -3 C. 6 D. -6 14. 已知 y = 3x² 和 y = -3x² 的图像，则下列说法正确的是（ ） A. 两者开口大小相同，对称轴相同 B. 两者开口大小相同，对称轴不同 C. 两者开口方向相同，最值不同 D. 两者开口方向相同，顶点不同 15. 对于 x > 0 的范围，以下函数在 (0, +∞) 上为增函数的是（ ） A. y = x² B. y = C. y = -x² D. y = - 16. 二次函数 y = (k - 1)x² 过点 (-2, 2)，则该函数的顶点坐标为（ ） A. (0, 0) B. (-2, 2) C. (1, 0) D. (0, 2) 17. 在 -2 ≤ x ≤ 1 的范围内，函数 y = -x² 的最大值为（ ） A. -4 B. -1 C. 0 D. 1 18. 下列各点中，在抛物线 y = 3x² 上的是（ ） A. (1, 3) B. (1, -3) C. (-1, 3) D. (0, 3) 19. 填空：已知二次函数 y = ax² + bx + c（b = 0）的图像顶点在原点，则该函数为______；若 a > 0，则当 x______时，y 随 x 增大而减小。 20. 填空：已知 y = mx² 过点 (1, -2)，则 m =______；该函数的开口方向为______，对称轴为______。 21. 解答题：已知二次函数 y = 2x²。 (1) 写出该函数的开口方向、顶点坐标和对称轴方程； (2) 求 x = 1 和 x = -1 时对应的函数值，并比较两者大小； (3) 在 -1 ≤ x ≤ 3 的范围内，求 y 的最大值和最小值。 22. 解答题：已知二次函数 y = (k - 1)x²。 (1) 若图像过点 (2, -4)，求 k 的值； (2) 在 (1) 的条件下，写出该函数的开口方向、顶点坐标和对称轴； (3) 在 -2 ≤ x ≤ 3 的范围内，求 y 的最大值和最小值。 难度：★★★ 23. 比较二次函数 y = x² 和 y = 的图像，下列说法正确的是（ ） A. y = x² 的开口更大 B. y = 的开口更大 C. 两者开口大小相同 D. 无法判断 24. 已知 y = ax² 过点 (-3, -12)，则 y = ax² 在 -2 ≤ x ≤ a 范围内 y 的最小值为（ ） A. a² B. 4a C. 9a² D. 0 25. 填空：已知抛物线 y = ax² 的开口向下，且经过第二象限，则 a______0（填">""<"或"="); 该函数在 x > 0 的范围内，y 随 x 的增大而______（填"增大"或"减小"）。 26. 填空：将二次函数 y = -5x² 用配方法写成 y = a(x - h)² + k 的形式，则 a =______，h =______，k =______，顶点坐标为______，当 x =______时，y 有最______值（填"大"或"小"），该值为______。 27. 解答题：小球从最高点向下自由下落，下落高度h（单位：m）与下落时间 t（单位：s）满足关系 h = 5t² （0 ≤ t ≤ 2）。 (1) 当t = 1时，下落的高度是多少米？ (2) 若小球移动下落20米落地，求小球下落总时间？ (3) 当 t = 1.5 s 时，小球下落高度是多少米？ 28. 解答题：已知二次函数 y = ax²。 (1) 若图像过第一象限的某点 P，P 的横坐标为 2，纵坐标为 8，求 a 的值； (2) 在 (1) 的条件下，若 A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂) 是该抛物线上两点，且 x₁ + x₂ = 0，求 y₁ + y₂ 的值； (3) 判断点 M(√3, 6) 是否在抛物线 y = 2x² 上，并说明理由。 参考答案 1. B 2. A 3. B 4. B 5. C 6. B 7. B 8. C 9. B 10. D 11. m = -1，向下，(0, 0) 12. k = - ，向下，x = 0（即 y 轴） 13. B 14. A 15. A 16. A 17. C 18. A 19. y = ax²，x < 0 20. m = -2，向下，x = 0（即 y 轴） 21. (1) 开口向上，顶点(0,0)，对称轴 x = 0（即 y 轴） (2) x=1 时 y=2，x=-1 时 y=2，两者相等（因为对称轴为 y 轴） (3) 在 -1≤x≤3 范围内，x=0 时 y 最小=0，x=3 时 y 最大=18 22. (1) 代入(2,-4)：4(k-1)=-4 → k=0 (2) k=0，y=-x²，开口向下，顶点(0,0)，对称轴 x=0 (3) y=-x²，开口向下，在 -2≤x≤3 范围内， x=0 时 y 最大=0，x=3 时 y 最小=-9 23. B 24. B 25. <，减小 26. a=-5，h=0，k=0，顶点(0,0)，x=0，大值，0 27. (1) 将t = 1代入h=5t²，h=5 答：下落高度 20 m (2) h=20：5t²=20 ，t=2 或 t=-2(时间不能为负，舍去) (3) h(1.5)=5×1.52=11.25 m 28. (1) P(2,8) 在 y=ax² 上：8=4a → a=2，y=2x² (2) y=2x²，x₁+x₂=0，设 x₁=m，x₂=-m， y₁+y₂=2m²+2(-m)²=2m²+2m²=4m²， 4m²≥0，仅当m = 0时y₁+y₂ = 0；其余结果y₁+y₂≥0 (3) 当 x=√3，y=2×3=6，点 M(,6) 在 y=2x² 上 学科网（北京）股份有限公司 $