3.4 圆周角 课时练习 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 本练习围绕圆周角定理及应用，分层设计从基础理解到综合探究，覆盖单一知识点到跨知识整合，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|圆周角定理、直径性质|选择1-4题直接考查定理应用，填空7-9题强化基本计算| |中档|多知识点综合|选择5-6题结合弧与圆心角关系，填空11-12题融入动态几何| |提升|拓展探究|解答题15-16题综合内接三角形性质，实践探究17-18题定义新四边形并推理，培养创新意识|

3.4 圆周角 课时练习 一、选择题 1．AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且∠CAB＝50°．①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交AB，BC于D，E；②分别以DE为圆心，大于DE为半径作弧，两弧交于点P；③作射线BP．则∠ABP＝（　　） A．40° B．25° C．20° D．15° 2．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D＝28°，则∠OAB的度数为（　　） A．28° B．34° C．56° D．62° 3．如图，、皆为半圆，与相交于E点，其中A、B、C、D在同一直在线，且B为AC的中点．若＝58°，则的度数为何？（　　） A．58 B．60 C．62 D．64 4．如图，四边形内接于，，．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，⊙O上依次有点A，C，G，F，E，D，B，已知DE＝AB，FG＝AC．数学小组在探究时得到以下结论：①DE＋FG＝BC；②；③∠DOE＋∠FOG＝∠BOC；④∠DEO＋∠FGO＝∠BAC．你认为结论正确的序号是（　　） A．①②③④ B．②③ C．②④ D．②③④ 6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，AC=5，点D是其内部一动点，且∠DBC=∠BAD，则C，D两点的的最小距离为（　　） A．3 B．4 C．-2 D． 二、填空题 7．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AD、BC、BD．若∠BCD＝20°，则∠ABD＝　 　°． 8．如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是　 　． 9．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若，则　 　． 10．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点.如图，在的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，.若点是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足的中，边PM的长的最大值为　 　. 11． 如图，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC＝4，BC＝3．若D为⊙O上一点，且△ABD为等腰三角形，则弦CD的长为　 　． 12．如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G，连接DG．点E从点C运动到点D的过程中，∠BGC的度数为　 　，DG的最小值为　 　． 三、解答题 13．如图，是的直径，，过D作，垂足为点E，的延长线交于点F，. （1）求的度数 （2）求的长． 14．如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，，BF与CD交于点G． （1）求证：CD＝BF． （2）若BE＝1，BF＝4，求GE的长． （3）连结GO，OF，如图2，求证：． 15．如图，是的外接圆，D是直径AB上一点，的平分线交AB于点E，交于另一点F，． （1）求证：； （2）设，垂足为M，若，求AC的长． 16． 如图，是的直径，弦交于点，，连结，． （1）如图，若，求的度数． （2）如图，点在弦上，作，分别交弦，于点，，，过作交于点． ①求证：． ②如图，连结，若，，求，的长． 四、实践探究题 17．定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形． （1）理解： ①若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为 ； 证明： ②如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D．求证：四边形ABCD是对余四边形； （2）探究：如图2，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究线段AD，CD和BD之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由． 18．综合探究 如图1，是的内接三角形，是上的一点，连接交于点，点在上，满足，交于点，，连接． （1）求证：． （2）求证：． （3）如图2，为的直径，设，当的长为2时，求的长． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：∵为半圆的直径， ∴， ∵， ∴， 由作图得是的角平分线， ∴， 故答案为：C 【分析】先根据圆周角定理得到，进而进行角的运算求出∠ABC的度数，再根据作图-角的平分线和角平分线的定义即可求解。 2．【答案】B 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：B. 【分析】根据圆周角定理求出∠COB度数，再利用垂径定理求出∠AOB的度数，结合等腰三角形的性质即可知道∠OAB的度数. 3．【答案】D 【解析】【解答】解：如图，连接BE、DE， ∵、皆为半圆 ，且B点位AC的中点， ∴点C为半圆AC的圆心，∠BED=90°， ∵＝58° ， ∴∠CBE=58°， ∴∠D=90°-∠CBE=32°， ∴弧BE的度数为 2×32°=64°. 故答案为：D. 【分析】连接BE、DE，由直径所对的圆周角是直角得∠BED=90°，根据圆心角、弧、弦的关系可得∠CBE=58°，由直角三角形两锐角互余得∠D=32°，进而根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及圆心角的度数等于其所对弧的度数可求出的度数 . 4．【答案】C 【解析】【解答】解：∵，OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA=30°， 由圆周角定理得∠CAD=∠CBD， ∵ ， ∴∠ADB=∠CBD， ∴∠ADB=∠CAD， ∵AC⊥BD， ∴∠ADB=∠CAD=45°， ∴∠CAO=∠CAD-∠OAD=45°-30°=15°. 故答案为：C. 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和可求∠OAD=30°，由圆周角定理即平行线的性质可得∠ADB=∠CAD，结合AC⊥BD可得∠ADB=∠CAD=45°，利用∠CAO=∠CAD-∠OAD即可求解. 5．【答案】D 【解析】【解答】解：∵，，， ∴． ∴①错误； ∵，， ∴，． ∴， ∴， ∴②正确； 连接，，，，，，，如图所示： ∵，， ∴，， ∴； ∴③正确； ∵， ∴． 同理可得： ， ， ． ∵，， ∴，， ∴． ∴④正确． ∴正确的序号为：②③④． 故答案为：D 【分析】根据三角形的三边关系结合题意即可判断①；进而根据弧的运算结合题意即可判断②；连接，，，，，，，进而根据等腰三角形的性质得到，，再进行角的运算即可判断③；根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求出，同理可得，，．再结合题意即可判断④. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：∵在中，，，， ∴由勾股定理，得， 如图，取的中点O，连接，交圆于点， ∵，， ∴， ∴， ∴E点在以O为圆心，半径为的圆上运动，当O，D，C三点在同一直线上时，最短， 此时， 在中， 由勾股定理，得， 故的最小值为： ， 故答案为：C. 【分析】首先根据题意得出，故可以说明点D的轨迹是以为直径圆，设为，找圆外一点和圆上一点的最小值，需要连接与交于点D，此时最小，利用勾股定理求出即可． 7．【答案】70 【解析】【解答】解：∵， ∴∠BAD=∠BCD=20°， ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ABD=90°－∠BAD=70° 故答案为：70. 【分析】根据圆周角定理得∠BAD=∠BCD=20°，再求出∠ADB=90°，即可得到∠ABD. 8．【答案】 【解析】【解答】解：设∠A=x， ∵， ∴∠O=2∠A=2x， 又∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB=， ∴∠A+∠OBC=x+(90°-x)=90°. 故答案为：90°. 【分析】根据圆周角定理及圆内等腰角度推理得出两角和，不熟练可设元表示目标角更为直观. 9．【答案】62° 【解析】【解答】解：连接OC， ∵OB=OC， ∴∠OCB=∠OBC=28°， ∴∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC=180°-28°-28°=124°， ∴∠A==62°. 故填：62°. 【分析】连接OC，利用等腰等边对等角性质得出其各个内角的度数，然后利用圆的性质，即同弧中，其圆周角与圆心角的关系得出∠A. 10．【答案】2 【解析】【解答】解：作线段MN中点Q，作MN的垂直平分线OQ，并使OQ=MN，以O为圆心，OM为半径作圆，如图， ∵OQ为MN垂直平分线且OQ=MN， ∴OQ=MQ=NQ， ∴∠OMQ=∠ONQ=45°， ∴∠MON=90°， ∴弦MN所对的圆O的圆周角为45°， ∴点P在圆O上，PM为圆O的弦， 通过图形可知，当点P在P'位置时，恰好过格点且P'M经过圆心O， ∴此时P'M最大，等于圆O的直径， ∵BM=4，BN=2， ∴MN==2， ∴MQ=OQ=， ∴OM=MQ=×=， ∴P'M=2OM=2， 故答案为：2． 【分析】作线段MN中点Q，作MN的垂直平分线OQ，并使OQ=MN，以O为圆心，OM为半径作圆，通过图形可知，当点P在P'位置时，恰好过格点且P'M经过圆心O，此时P'M最大，等于圆O的直径，得出MQ=OQ=，则P'M=2OM=2，即可求出答案。 11．【答案】或 【解析】【解答】解：过点B作BE⊥CD，如图， 当 △ABD 为等腰三角形 ，则∠BAD=∠ ABD=45°， ∴∠DCB=45°， ∴ △CEB为等腰直角三角形， ∴ CE=BE=， ∵ △ABD为等腰直角三角形， ∴ AD=BD=， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=5， 在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE=， ∴ CD=CE+DE=， ∵ DD'=AB=5， 在在Rt△DD'C中，由勾股定理得：CD'=. 故答案为：或. 【分析】根据题意找到D和D'两点，根据垂径定理得∠DCB=45°推出△CEB为等腰直角三角形求得CE，根据圆周角定理、等腰三角形的性质和勾股定理得BD，再根据勾股定理即可求得DE，CD即可求出；再利用勾股定理即可求得CD'. 12．【答案】90°；25-2 【解析】【解答】解：如图， 在正方形ABCD中，BC=CD，∠BCD=∠CDF=90° ∵CE=DF，∴∆BCD≌∆CDF ∴∠EBC=∠FCE ∴∠EBC+∠BCG=∠FCE+∠BCG=∠BCE=90° ∴∠BGC=90° 取BC的中点O，连接GO，DO 则DO≤GO+DG ∵DO=，GO=R==2 ∴，DG≥ 故答案为：90°，25-2. 【分析】在 正方形ABCD中 ，CE=DF，这两个条件可以构成一个常见的“K型图”模型，得到∆BCD≌∆CDF，通过角度转化∠EBC+∠BCG=∠FCE+∠BCG=∠BCE=90°；由∠BCE=90°固定不变，可知点G在以BC为直径的圆周上运动，要求DG的最小值，即求圆外一点D到圆周上点的最小距离，当点G、D、O三点共线时，DG的值最小. 13．【答案】（1）解：如图，连接， ∵，∴， ∵是的直径， ∴， ∴ （2）解：∵，， ∴， ∵，，且是直径， ∴，， ∴，， ∴ 【解析】【分析】（1）连接BD，根据圆周角推论可知∠B=30°和∠ADB=90°，∠DAB即可求得； （2）根据直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半得AD和AE，再根据勾股定理得DE，根据垂径定理得DE=EF，DF即可求得. 14．【答案】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴BF＝CD； （2）解：如图所示：连接BC， 由（1）得：，CD＝BF＝4， ∴∠FBC＝∠BCD， ∴BG＝CG， ∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E， ∴， 设EG＝x，则BG＝CG＝2﹣x， 在△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即x2+12＝（2﹣x）2， 解得：， ∴GE的长为； （3）解：如图所示：连接OC交BF于I， ∵， ∴， 在△OCG和△OBG中， ， ∴△OCG≌△OBG（SSS）， ∴∠COG＝∠BOG， ∴∠IOB＝2∠EOG， ∵OF＝OB，OC为半径， ∴OC⊥BF， ∴∠OIB＝90°， ∵∠IOB+∠IBO＝90°， ∴． 【解析】【分析】（1）由为的直径，于点，，得到，即可得证； （2）连接，由（1）可知且，设，利用在中，即可求解； （3）连接交于，则，先证明，得到，再由等腰三角形和三角形外角的性质，得到，最后由，即可得证． 15．【答案】（1）证明：∵FA=FE， ∴∠FAE=∠AEF， ∵∠FAE=∠BCF，∠AEF=∠BEC ∴∠CEB=∠BCE， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE=∠ECD， ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90°， ∴∠CDE=180°-（∠CEB+∠DCE）=90° 即CD⊥AB. （2）解：由（1）知：∠CEB=∠BCE， ∴BE=BC， ∵FA=FE，， ∴AM=ME=OM+OE=2，即AE =4， ∴AO=AE-OE=4-1=3，即AB=6， ∴BC=BE=OB-OE=3-1=2， ∴AC===. 【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质、圆周角定理及对顶角的性质可推出∠CEB=∠BCE，由角平分线的定义可得∠ACE=∠ECD，由AB为直径可得∠ACB=90°，从而得出∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90°，再根据三角形内角和可得∠CDE=90°，继而得解； （2）由（1）知：∠CEB=∠BCE，可得BE=BC，利用等腰三角形三线合一的性质可得AM=ME=OM+OE=2，即AE =4，从而求出AO=3，AB=6，再根据勾股定理求出AC即可. 16．【答案】（1）解：∵， ∴的度数为， ∵是直径， ∴的度数为：， ∵， ∴的度数为， ∴， ∴的度数为； （2）解：①证明：连结， ∵是的直径， ∴， ∵和是所对的圆周角， ∴， 令， ∴，的度数为， ∵， ∴的度数为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②连结， 由①知：， 又∵，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 取的中点，连结， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过作交于点，过作交于点， ∴， ∴， ∴， 设， 由①知：， ∴，， ∴， ∴， 在与中，， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴，． 【解析】【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系便可求解∠CAD的度数； （2）①通过平行关系和圆中的角度关系，可得BE=BF，从而证得结果； ②连接FN，可得四边形MNFB为平行四边形，通过角度关系再得等腰三角形，从而得AP的长，在Rt△MHA与Rt△MHE中，利用双勾股列方程求解线段长，最终可得AP和PE的长. 17．【答案】（1）解：①90°或270° ②证明：∵MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上， ∴∠BAM+∠BCN＝90°， 即∠BAD+∠BCD＝90°， ∴四边形ABCD是对余四边形； （2）解：线段AD，CD和BD之间数量关系为：AD2+CD2＝BD2，理由如下： ∵对余四边形ABCD中，∠ABC＝60°， ∴∠ADC＝30°， ∵AB＝BC， ∴将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，如图3所示： ∴△BCD≌△BAF，∠FBD＝60° ∴BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA， ∴△BFD是等边三角形， ∴BF＝BD＝DF， ∵∠ADC＝30°， ∴∠ADB+∠BDC＝30°， ∴∠BFA+∠ADB＝30°， ∵∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°， ∴60°+30°+∠AFD+∠ADF＝180°， ∴∠AFD+∠ADF＝90°， ∴∠FAD＝90°， ∴AD2+AF2＝DF2， ∴AD2+CD2＝BD2． 【解析】【解答】解：（1）①∵四边形是对余四边形， 当∠A和∠C互余时， ∠A+∠C=90°， 当∠B与∠D互余时， ∠B+∠D=90°， 则∠A+∠C=360°-90°=270°， 故答案为：90°或270°； 【分析】（1） ① 分当∠A和∠C互余时，当∠B和∠D互余时，分别求解即可； ② MN是⊙O的直径，利用圆周角定理得∠BAM+∠BCN＝90°，即可得解； （2）线段AD，CD和BD之间数量关系为：AD2+CD2＝BD2，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，证明△BFD是等边三角形，然后求出∠FAD＝90°，由勾股定理可得AD2+AF2＝DF2，即可得AD2+CD2＝BD2． 18．【答案】（1）证明：，，，，． （2）证明：由（1），得． ，． ，． 在和中，． （3）解：，，， ，， ． 是的直径，， ， 与所对的圆心角的度数之比为，与的长度之比为． 的长为2，的长为3． 【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ACB=∠BPN，利用三角形外角的性质可知∠ANB=∠BPN+∠PBN，结合已知可证得∠PBN=∠PNB，利用等角对等边可证得结论. （2）利用平行线的性质可证得∠CAP=∠PNQ，可推出∠PNQ=∠PBM，利用SAS可证得结论. （3）利用全等三角形的性质可证得∠NPQ=∠BPM=∠ACB=α，PM=PQ，由此可表示出∠BPQ，∠PQM，∠PBQ，利用圆周角定理可证得∠ABP=90°，可表示出∠ABC，再根据与所对的圆心角的度数之比为，可得到与所的长度之比为，据此可求出的长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $