3.4圆周角 课时练习 2026-2027学年浙教版九年级上册数学

**基本信息** 初中数学“3.4圆周角”新授课同步练，以基础巩固为核心，通过三级分层设计实现从单一知识点到综合应用的递进，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|圆周角定理基本应用（直径对直角、圆心角与圆周角关系）|单选题1-5题，直接考查定义与简单计算，如第3题用直角三角板检验半圆，强化几何直观| |提升层|多知识点结合（分类讨论、动态问题）|单选题6-12题及填空题13-16题，如第7题弦AB所对圆周角的双解问题，培养推理意识| |综合层|综合应用与拓展（最值、证明与计算）|填空题17题及解答题18-22题，如第22题结合垂径定理与勾股定理求DE长，提升应用意识|

3.4圆周角 课时练习 一、单选题 1.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D ， 若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为(   ) A. 100°                                     B. 105°                                     C. 110°                                     D. 120 2.如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是 上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为（   ） A. 100°                                    B. 110°                                    C. 120°                                    D. 130° 3.用直角三角板检查半圆形的工件，下列工件合格的是（   ） A.    B.    C.     D.  4.已知A，B，C在⊙O上，△ABO为正三角形，则 （     ） A. 150°                             B. 120°                             C. 150°或 30°                             D. 120°或 60° 5.如图，将三角板的直角顶点放在⊙O的圆心上，两条直角边分别交⊙O于A、B两点，点P在优弧AB上，且与点A、B不重合，连结PA、PB.则∠APB的大小为________度． 6.如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC=15°，∠CED=30°，则∠BOD的度数为（   ） A. 45°                                       B. 60°                                       C. 75°                                       D. 90° 7.AB是⊙O的弦，∠AOB=80°，则弦AB所对的圆周角是（　　） A. 40°                               B. 140°或40°                               C. 20°                               D. 20°或160° 8.如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上(不与点A，点C重合)，BD与OA交于点E，设∠AED=α，∠AOD=β，则(    ) A. 3α+β=180°                       B. 2α+β=180°                       C. 3α-β=90°                       D. 2α-β=90° 9.数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a.小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是(    ) A. 勾股定理                                                            B. 勾股定理的逆定理 C. 直径所对的圆周角是直角                                    D. 90°的圆周角所对的弦是直径 10.如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P ， 点B与点O重合，且AC大于OE ， 将三角板ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF＝x ， 则x的取值范围是（    ） A. 30≤x≤60                         B. 30≤x≤90                         C. 30≤x≤120                         D. 60≤x≤120 11.如图，点A，B，D，C是⊙O上的四个点，连结AB，CD并延长，相交于点E，若∠BOD=20°， ∠AOC=90°，则∠E的度数为(    ) A. 30°                                       B. 35°                                       C. 45°                                       D. 55° 12.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在直径AB一侧的圆上（异于A，B两点），点E在直径AB另一侧的圆上，若∠E＝42°，∠A＝60°，则∠B＝（    ） A. 62°                                       B. 70°                                       C. 72°                                       D. 74° 二、填空题 13.如图，量角器上 、 两点所表示的读数分别是 、 ，则 的度数为________. 14.如图，⊙O1的半径是⊙O2的直径，⊙O1的半径O1C交⊙O2于B，若 的度数是48°，那么 的度数是________. 15.如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器零刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒4度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第18秒时，点E在量角器上对应的读数是________度． 16.若点O是△ABC的外心，且∠BOC=70°，则∠BAC的度数为________. 17.如图,AB是半圆O的直径,弦AC=4,∠CAB=60°,点D是弧BC上的一个动点,作CG⊥AD,连结BG,在点D移动的过程中,BG的最小值是________. 三、解答题 18.如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，过OC的中点D作弦EF∥AB，求∠ABE的度数. 19.如图，已知OA、OB、OC是⊙O的三条半径，点C是弧AB的中点，M、N分别是OA、OB的中点．求证：MC=NC． 20.已知：如图△ABC内接于圆O，AB=AC，D为弧BC上任意一点，连结AD,BD （1）若∠ADB=65°，求∠BAC的度数 （2）求证：∠ABD=∠AEB 21.如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点； （2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高． 22.如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E. （1）求证：∠BCD=∠CBD； （2）若BE=4，AC=6，求DE的长. 答案解析部分 一、单选题 1. B 考点：圆周角定理 解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣30°＝60°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝45°， ∵∠BAD＝∠BCD＝45°， ∴∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝60°+45°＝105°. 故答案为：B. 分析：利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则利用互余计算出∠BAC=60°，接着根据角平分线定义得到∠BCD=45°，从而利用圆周角定理得到∠BAD=∠BCD=45°，然后计算∠BAC+∠BAD即可. 2. B 考点：圆周角定理 解：∵∠BOC=40°,∠AOB=180°, ∴∠BOC+∠AOB=220°, ∴∠D=110°（同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半）, 故答案为：B. 分析：根据同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半即可解题. 3. C 考点：圆周角定理 解：A、直角未在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故A错误； B、直角边未落在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故B错误； C、直角及直角边均落在工件上，故该工件是半圆，合格，故C正确； D、直角边未落在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故D错误， 故答案为： C. 分析：利用90°的圆周角所对的弦是直径进行逐一判断即可. 4. C 考点：圆周角定理 解：∵△ABO为正三角形，∴∠AOB=60°，当点C在优弧上的时候，∠ACB=∠AOB=30°，当点C在劣弧AB上的时候，∠ACB=180°-30°=150°，∴∠ACB的度数为 150°或 30° . 故答案为：C. 分析：根据等边三角形的性质得出∠AOB的度数，然后分当点C在优弧上的时候与当点C在劣弧AB上的时候两种情况，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出答案. 5. 45 考点：圆周角定理 解：∵∠AOB与∠APB为 所对的圆心角和圆周角， ∴∠APB= ∠AOB= ×90°=45°. 分析：根据“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”进行解答. 6. D 考点：圆周角定理 解：连接 ， ， ， ， ． 故答案为：D． 分析：连接BE，利用同弧所对的圆周角相等，可求出∠BEC的度数，从而可求出∠BED的度数，然后利用圆周角定理求出∠BOD的度数。 7. B 考点：圆周角定理 解： 解：当圆周角的顶点在优弧上时，根据圆周角定理，得圆周角： ∠ACB＝ ； 当圆周角的顶点在劣弧上时，根据圆内接四边形的性质，得此圆周角： ∠ADB＝180°−∠ACB＝180°−40°＝140°； 所以弦AB所对的圆周角是40°或140°． 故答案选：B． 分析：此题要分两种情况：当圆周角的顶点在优弧上时；当圆周角的顶点在劣弧上时；通过分析，从而得到答案． 8. D 考点：圆周角定理 解：如图，连接AB 则∠DBA= ∠DOA= ∠β     且∠DEA=∠DBA+∠OAB=α ∵OA=OB，∠BOA=90°，即∠OAB=45° ∴α= β+45° 化简后得2α-β=90° 即D选项为正确选项 故答案为：D 分析：利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得到∠DBA= ∠β，利用三角形的外角的性质，可证得∠DBA+∠OAB=α，再证明∠OAB=45°，继而可得到α和β之间的关系式。 9. C 考点：圆周角定理 解：由作图痕迹可知点O为AB的中点，以O为圆心，AB为直径作圆O，接着以B为圆心、BC的长为半径画弧交圆O于一点C，连接AC，则∠ACB=90°，理由：直径所对的圆周角是直角. 故答案为：C. 分析：由作图痕迹可知AB是直径，利用直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°，据此判断即可. 10. A 考点：圆周角定理 解：开始移动时，x＝30°，移动开始后，∠POF逐渐增大，最后当B与E重合时， ∠POF取得最大值，此时∠POF＝2∠ABC＝2×30°＝60°， x的取值范围是30≤x≤60． 故答案为：A． 分析：分析题目可知开始移动时x=30°，移动后x逐渐变大，点B与点E重合时x最大，则根据同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍求出此时x的值，进而确定x的范围. 11. B 考点：圆周角定理 解：连接BC， ∵弧AC=弧AC ∴ ∵弧BD=弧BD ∴； ∵∠ABC=∠BCD+∠E ∴∠E=45°-10°=35°. 故答案为：B. 分析：连接BC，利用一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的一半，就可求出∠ABC，∠BCD的度数，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，就可求出∠E的度数。 12. C 考点：圆周角定理 解：连接AC. ∵∠DAB＝60°，∠DAC＝∠E＝42°， ∴∠CAB＝60°﹣42°＝18°， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠B＝90°﹣18°＝72°， 故答案为：C. 分析：连接AC,根据同弧所对的圆周角相等得出∠DAC＝∠E＝42°，然后根据角的和差算出∠CAB的度数，根据直径所对的圆周角等于90°得出∠ACB=90°，最后根据三角形的内角和算出答案. 二、填空题 13. 考点：圆周角定理 解：连接OC、OD，如图， ∵量角器上 、 两点所表示的读数分别是 、 ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ . 故答案为： . 分析：连接OC、OD，如图，根据题意可得圆心角∠AOC与∠AOD的度数，进而可得∠COD的度数，然后根据圆周角定理即得结果. 14. 24° 考点：圆周角定理 解：如图，连接   的度数是48°，       的度数是 故答案是： 分析：连接 ，得到等腰 ，结合已知条件求解 ，从而可得答案. 15. 144° 考点：圆周角定理 解：连接OE ∵射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒4度的速度旋转 ∴ 第18秒时，∠ACE=18×4°=72° ∵ 量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合,∠ACB=90° ∴ C点在以AB为直径的圆上 ∴ ∠AOE=2∠ACE=2×72°=144° 分析：连接OE，根据题意解出∠ACE的度数，然后证明C在量角器所构成的圆上，根据圆周角与圆心角的关系，得出答案. 16. 35°或145° 考点：圆周角定理 解：j解：①当点O在三角形的内部时， 则∠BAC= ∠BOC=35°； ②当点O在三角形的外部时， 则∠BAC= （360°-70°）=145° 故答案为：35°或145°. 分析：分类讨论：①当点O在三角形的内部时，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出∠BAC= ∠BOC=35°；②当点O在三角形的外部时，在优弧BC上随便找一点D，并连接BD,CD，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出∠BDC= ∠BOC=35°，进而根据圆内接四边形的对角互补即可算出答案. 17. -2 考点：圆周角定理 解：以AC为直径作圆O'，连接BO'，BC，如下图所示， ∵CG⊥AD， ∴∠AGC=90°， ∴在点D移动的过程中，点G在以AC为直径的圆上运动， ∵AB是圆O的直径， ∴∠ACB=90°， 在Rt△ABC中，AC=4,∠CAB=60° ∴ ， 在Rt△BCO'中，CO'=G O'= AC=2， ∴ ∵BG+GO'≥BO' ∴当O'、G、B三点共线时BG的值最小， 最小值BG= BO'-G O'= . 故答案为 . 分析：以AC为直径作圆O'，连接BO'，BC，在点D移动的过程中，点G在以AC为直径的圆上运动，当O'、G、B三点共线时BG的值最小，利用勾股定理求出BO'，由BG= BO'-G O'可得结果. 三、解答题 18. 解：如图，连接OE. ∵EF∥AB，OC⊥AB， ∴EF⊥OC. ∵点D是OC的中点， ∴OD＝ OC＝ OE， ∴∠OED＝30°. ∵EF∥AB， ∴∠EOA＝30°， ∴∠ABE＝ ∠EOA＝15°. 考点：圆周角定理 分析：连接OE，由平行线和垂线的性质易证EF⊥OC，由线段中点的定义可得OD=OC=OE，由直角三角形的性质和平行线的性质可得 ∠OED=∠EOA＝30°，再根据圆周角定理得∠ABE=∠EOA可求解. 19.证明：∵点 C 是弧 AB 的中点， ∴ 弧 AC 和弧 BC 相等， ∴∠AOC=∠BOC， 又∵OA=OB，M、N 分别是 OA、OB 的中点， ∴OM=ON， 在△ MOC 和△ NOC 中， ∴△MOC≌△NOC（SAS）， ∴MC=NC. 考点：圆周角定理 分析：根据圆周角定理可得∠AOC=∠BOC，由中点定义可得OM=ON，根据全等三角形的判定：SAS可得△MOC≌△NOC，由全等三角形的性质可得MC=NC. 20. （1）解： ∵AB=AC ∴∠C=∠ABC，弧AB=弧AC ∴∠C=∠ABC=∠ADB=65° ∴∠BAC=（180°-65°×2）=50° （2）证明： ∵∠AEB=∠DAC+∠C ∠ABD=∠ABC+∠DBC ∵弧CD=弧CD ∴∠DAC=∠DBC ∵∠ABC=∠C ∴∠ABD=∠AEB 考点：圆周角定理 分析：（1）根据等弧所对的圆周角相等，可证得∠C=∠ABC=∠ADB=65°，再利用三角形内角和定理，可求出∠BAC的度数。 （2）观察图形可得∠AEB=∠DAC+∠C，∠ABD=∠ABC+∠DBC，再根据同弧所对的圆周角相等，就可证得∠DAC=∠DBC，因此可证得结论。 21. （1）解：如图1，点P就是所求作的点。 （2）解：如图2，CD为AB边上的高。 考点：圆周角定理 分析：（1）利用直径AB所对的圆周角是直角可分别画出△ABC中边AC、BC上的高，进而得三条高的交点。 （2)利用图1，可将图2中的三角形CAP看作图1中的三角形PAB，进而模仿1画出满足题意的高。 22. （1）证明：∵OD⊥BC于E， ∴OD平分弧BC（垂径定理），即弧BD=弧CD， 又∵∠BCD是弧BD所对的圆周角，∠CBD是弧CD所对的圆周角， 由圆周角定理知∠BCD=∠CBD （2）解：∵OD⊥BC于E， ∴OD平分弦BC（垂径定理），即BE= CE=4，BC=8， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠C为直角， 在Rt△ACB中，AC=6，BC=8，由勾股定理，AB=10，OB=5， 在Rt△OEB中，OB=5，BE=4，由勾股定理，OE=3，DE=OD-OE=2 考点：垂径定理的应用，圆周角定理 分析：（1）由题目条件OD⊥BC于E，可知OD平分弧BC（垂径定理），即弧BD=弧CD，∠BCD是弧BD所对的圆周角，∠CBD是弧CD所对的圆周角，由圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等可以得到∠BCD=∠CBD;(2) 由题目条件OD⊥BC于E，可知OD平分弦BC（垂径定理），即BE= CE=4，所以BC=8，因为AB是⊙O的直径，所以∠C为直角，在Rt△ACB中，AC=6，BC=8，由勾股定理，AB=10，OB=5，在Rt△OEB中，OB=5，BE=4，由勾股定理，OE=3，DE=OD-OE=2 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $