江苏省兴化中学2027届新高考数学一轮复习-计数原理练习卷

**基本信息** 以校园真实活动（文创设计、社团礼包、艺术节展演等）为情境载体，全面覆盖计数原理核心考点，通过基础题（如选材料打包）、能力题（如节目捆绑插空）、创新题（如定义校园计数模型）的梯度设计，培养数学抽象与逻辑推理能力，适配一轮复习巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|排列（选纹样排序）、组合（选材料打包）、分组（证书均分）|情境贴近校园生活，基础概念直接应用| |多项选择|3/18|组合运算辨析（志愿服务队选法）、二项式性质（项数与系数）|多选项设计考查思维严谨性| |填空题|3/15|组合数计算、二项式常数项|简洁设问强化公式应用| |解答题|5/77|排列组合综合（节目排列、研学组队）、二项式定理推导、相同元素分配（徽章分配）|分层设问，融合捆绑法、插空法、间接法等解题策略，突出数学建模与逻辑推理|

2027届新高三数学计数原理练习卷 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 文创工作室现有12款不同纹样素材，从中选取4款按前后顺序制作四连幅挂画，不同的挂画排布方案数为（） A. 495 B. 11880 C. 990 D. 20736 2. 社团储备11种不同的手工材料，任选5种打包成活动礼包（无顺序、无分工），不同礼包种类数为（） A. 462 B. 330 C. 792 D. 166320 3. 已知校园项目遴选规则满足，则对应排列数 的值为（） A. 156 B. 182 C. 210 D. 240 4. 校宣传部有10名干事，从中选拔6人分别负责文案、摄影、剪辑、排版、审核、外联6个专属岗位，一人一岗，不同任职方案数为（） A. 210 B. 5040 C. 151200 D. 3628800 5. 艺术小组9男7女，从中筛选5男3女组成校级展演团队，不同的人员组合方案数为（） A. 2268 B. 2520 C. 2772 D. 3024 6. 定义校园计数模型：，则 的运算结果为（） A. 198 B. 207 C. 216 D. 225 7. 将12份不同的校园荣誉证书分为3组，每组4份（无组别标识、无顺序），不同的分组方法数为（） A. 5775 B. 11550 C. 23100 D. 46200 8. 多项式展开式中 项的系数为（） A. 20 B. 40 C. 80 D. 160 二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 定义”合规计数式“：排列、组合运算结果正确即为合规，下列合规的有（） A.  B.  C.  D. 10. 志愿服务队有7男6女共13人，从中任选5人执行社区服务，下列计数计算正确的有（） A. 无限制选取总方案： B. 恰3男2女选取方案： C. 全为女生选取方案： D. 至少1名男生方案： 11. 对于二项式 ，结合组合运算与展开性质，判断正确的有（） A. 展开式一共9项 B. 展开式存在整数次常数项 C. 含 项的系数为 D. 所有二项式系数之和为256 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 求值：________。 13. 运算：，则 ________。 14. 已知展览拟合二项式 展开式的常数项为 ，则实数 ________。 四、解答题（共5小题，共77分） 15.（13分）校园艺术节有6个文艺节目、4个科创节目共10个节目依次登台展演，求下列排布方案数： (1) 10个节目无限制的全排列总数； (2) 所有科创节目连续登台的排列方案数； (3) 任意两个文艺节目不相邻的排布方案数。 16.（15分）校级研学团共16人，9男7女，从中任选8人组建重点研学小队： (1) 无任何限制，求总遴选方案数； (2) 选出的8人中恰有5男3女，求遴选方案数； (3) 选出的8人中女生人数不多于4人，求遴选方案数。 17.（15分）现有11件不同的定制文创纪念品，完成下列计数运算： (1) 任选6件留存归档（无顺序），求选法总数； (2) 任选6件按名次有序摆放展示，求排列总数； (3) 将11件纪念品分为两组，一组7件、一组4件（无组别名称），求分组方案数。 18.（17分）已知数据拟合二项式 (1) 严格依据二项式定理推导标准化通项公式； (2) 求展开式中的常数项； (3) 分别计算二项式系数总和、所有项的系数总和。 19.（17分）现有18个完全相同的定制纪念徽章，分配给6个不同的班级，根据约束条件计算分配方法数： (1) 无限制分配，班级可不分得徽章； (2) 每个班级至少分得2个徽章； (3) 每班最少2个、最多5个徽章。 参考答案与解析 排列数公式： 组合数公式： 二项式通项： 一、单项选择题解析 1. 答案：B 解：有序选取为排列问题 2. 答案：A 解：无序选取为组合问题 3. 答案：B 解： 解得 ，则 4. 答案：C 解：定岗排列： 5. 答案：A 解：分步组合： 6. 答案：B 解： 7. 答案：A 解：平均分组消序： 8. 答案：D 解：通项 令 系数： 二、多项选择题解析 9. 答案：ABCD 10. 答案：ABCD 11. 答案：AD 通项： B： 无整数解，无常数项，BC错误；其余选项正确。 三、填空题解析 12. 答案：102 原式 13. 答案：266 14. 答案： 通项： 令 常数项： 四、解答题解析 15. (1) 10个节目无限制全排列 无限制全排列即对10个不同元素进行全排列，依据全排列公式： 答：无限制全排列总数为 种。 (2) 所有科创节目连续登台（捆绑法） 解题思路：相邻问题捆绑处理，先捆后排。 第一步：将4个科创节目视为一个整体，内部进行全排列，排列数： 第二步：捆绑后的科创整体 + 6个文艺节目，共 个独立元素，全排列数： 第三步：分步乘法计数原理，总排列数： 答：科创节目连续登台的方案数为 种。 (3) 任意两个文艺节目不相邻（插空法） 解题思路：不相邻问题先排无限制元素，再插空。 先排4个科创节目，产生空隙数： 个（包含两端空隙）。 题目要求放置6个互不相邻的文艺节目，但仅有5个空隙，无法满足6个元素互不相邻的排布要求，无合法方案。 因此总排布方案数为 。 答：文艺节目互不相邻的方案数为 种。 16. (1) 无限制遴选总方案数 从16个不同元素中无序选取8个，为纯组合问题： 答：无限制总遴选方案数为 种。 (2) 恰5男3女的遴选方案数 解题思路：分步选取，先选男生、再选女生，分步乘法计数。 从9名男生中选5名： 从7名女生中选3名： 总方案数： 答：恰5男3女的遴选方案数为 种。 (3) 女生人数不多于4人的遴选方案数 解题思路：正向分类情况过多，采用间接法，总方案数减去不符合条件（女生人数≥5）的情况。 女生人数不多于4人 的对立事件：女生人数为5、6、7人（女生最多7人）。 ① 女生5人、男生3人： ② 女生6人、男生2人： ③ 女生7人、男生1人： 不符合条件总方案数： 符合条件方案数： 答：女生人数不多于4人的遴选方案数为 种。 17. (1) 无序选取6件归档 无顺序选取为组合问题，从11件不同物品中选6件： 答：无顺序选法共 种。 (2) 有序选取6件陈列 有序摆放为排列问题，从11件中选6件有序排列： 答：有序陈列排列数共 种。 (3) 分为7件、4件两组（无组别名称） 解题思路：非平均无序分组，两组数量不同，无重复分组情况，无需消序。 只需从11件中选7件，剩余4件自动成组： 答：分组方案共 种。 (1) 组合选取： (2) 有序排列： (3) 非平均分组： 18. 已知二项式：，其中 (1) 推导标准化通项公式 由二项式定理通项公式 ，代入得： 分步化简： 幂次展开：， 合并系数与幂次： 上式即为标准化通项公式。 (2) 求解展开式常数项 常数项要求未知数幂次为 ，即令： 化简得： 由于 必须为 的整数，无满足条件的取值，因此该二项式展开式无常数项。 (3) 二项式系数总和、所有项系数总和 ① 二项式系数总和：任意二项式 的二项式系数和恒为 本题 ，故二项式系数和： ② 所有项系数总和：采用赋值法，令式子中所有未知数 代入得系数和： 答：二项式系数和为 ，所有项系数和为 ，展开式无常数项。 19. (1) 无限制分配（班级可分得0个） 答：无限制分配方案共 种。 (2) 每个班级至少分得2个徽章 第一步：每班先分2个徽章，共分配： 个 剩余可自由分配徽章： 个 第二步：问题转化为：6个相同徽章分给6个班级，可分0个，套用可空公式： 答：每班至少2个的分配方案共 种。 (3) 每班最少2个、最多5个徽章 第一步：预分配每班2个，消耗12个，剩余6个徽章自由分配，此时每个班级可额外分得 个（原最多5个，）。 第二步：无限制分配剩余6个徽章： 种 第三步：剔除违规情况（有班级额外分得≥4个） 违规情形：单个班级额外分4个、5个、6个，无多班级同时违规可能（总量不足）。 经分类剔除所有违规方案后，最终合法方案： 种 答：每班2~5个徽章的合法分配方案共 种。 学科网（北京）股份有限公司 $