计数原理单元复习练习卷（二）-江苏省兴化市2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以计数原理为核心，通过分层题型系统整合分类分步、排列组合、二项式定理及分配模型，形成“原理-方法-应用”三阶训练体系，培养数学思维与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |计数原理基础|单选1-3、多选9|分类加法/分步乘法|从实际情境抽象计数本质，构建原理应用逻辑| |排列组合应用|单选2/6、解答15/17|有序排列/无序组合、捆绑法|区分排列组合核心差异，通过排队/选人的典例强化逻辑推理| |二项式定理|单选4/8、解答16/18|通项公式、赋值法|从二项式系数和切入，推导通项并应用于系数计算，形成公式应用链条| |相同元素分配|单选5、解答19|隔板模型（可空/不空/限制）|从简单枚举到模型化解决，构建相同元素分配的数学表达方法|

2026年新高三数学计数原理单元复习练习卷（二） 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。每小题仅有一项符合要求） 1.超市有 2 条自助付款通道，3 名顾客各自自由选通道结账，一共有多少种不同选择方式（） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 2.班里从 3 名班干部里挑选 2 人，一人当活动主持、一人做记录，不同安排方法有（） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 3.小明从书法、绘画、唱歌 3 个社团选 1 个，小红从演讲、舞蹈 2 个社团选 1 个，两人报名搭配共有（） A. 5 种 B. 6 种 C. 7 种 D. 8 种 4.二项式展开式中一次项的系数是（） A. 1 B. 4 C. 6 D. 12 5.4 颗完全相同的糖果分给甲、乙两人，每人至少 1 颗，分法总数为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6.从 5 名同学里随机挑 2 人打扫卫生，不区分先后顺序，选法有（） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 7.若排列数，则正整数等于（） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8.二项式展开后的常数项为（） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有错选得 0 分） 9. 下列关于计数原理、排列组合的说法正确的是（） A. 分类计数用加法，分步计数用乘法 B. 排列问题需要区分选取的先后顺序 C. 组合问题不需要区分选取的先后顺序 D. 6 10. 4 本不同笔记本分给甲乙两名同学，下列说法正确的是（） A. 每本笔记本都有 2 个分配去向 B. 无任何限制时总分配方法 15 种 C. 两人每人至少分到 1 本，共 14 种分法 D. 所有本子只分给其中一人，有 2 种情况 11. 针对二项式，下列结论正确的有（） A. 展开式一共 5 项 B. 展开式常数项是 1 C. 这一项的系数为 12 D. 所有二项式系数相加等于 16 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 计算：______. 13. 书架有 2 本语文、3 本数学，随机拿 1 本书，共有______种选择. 14. 二项式展开后的常数项是______. 四、解答题（本题共 5 小题，总计 77 分，需写出完整文字说明、演算步骤） 15.（13 分）4 名学生排队打卡签到，回答下列问题： (1) 4 名学生无限制随意排成一队，有多少种排队方式？ (2) 学生甲必须站在队伍第一个位置，有多少种排队方式？ (3) 学生甲和乙必须挨在一起，有多少种排队方式？ 16.（15 分）已知二项式的全部二项式系数之和为 32。 (1) 求正整数； (2) 写出该二项式的展开通项公式； (3) 求展开式中项的系数。 17.（15 分）小组内有 3 名男生、3 名女生，从中挑选人员参加校园志愿活动： (1) 无限制任选 2 人，一共有多少种选法？ (2) 选出的 2 人恰好 1 男 1 女，一共有多少种选法？ 18.（17 分）已知二项式 (1) 写出展开式的通项公式； (2) 求展开式里的常数项； (3) 令，求所有项的系数之和。 19.（17 分）现有 5 个一模一样的文创小礼品，全部分给 2 名同学： (1) 无限制，同学可以不领取礼品，求发放方法数； (2) 每人至少分到 1 个礼品，求发放方法数； (3) 每人最少 1 个、最多 3 个礼品，求发放方法数。 参考答案与解析 一、单项选择题 1.答案：C 解析：分步乘法计数原理。第一名顾客 2 种选择，第二名 2 种，第三名 2 种，总方法：。 2.答案：B 解析：有序排列，从 3 人中选 2 人安排两个不同岗位，。 3.答案：B 解析：分步计数，小明 3 种选择，小红 2 种，组合总数。 4.答案：B 解析：二项式通项，一次项对应，系数。 5.答案：B 解析：糖果相同，枚举分法：(1,3)、(2,2)、(3,1)，一共 3 种。 6.答案：A 解析：不考虑顺序为组合，。 7.答案：B 解析：，解方程，正整数解。 8.答案：C 解析：展开，不含的常数项为 9。 二、多项选择题 9.答案：ABC 解析： A：分类相加、分步相乘，计数两大基本法则，正确； B：排列有顺序，比如主持人和记录员是不同岗位，正确； C：组合无顺序，只看选谁不看顺序，正确； D：，计算错误。 10.答案：ACD 解析： A：每本笔记本 2 个分配对象，正确； B：4 本，总分配种； C：减去全给甲、全给乙 2 种，； D：只给一人：全甲、全乙，2 种，四项全对。 11.答案：ABD 解析： A：，展开项数； B：时，项为 1，常数项 1； C：，系数； D：二项式系数和，全部正确。 三、填空题 12.答案：9 解析：，，相加。 13.答案：5 解析：分类加法，语文 2 本 + 数学 3 本，。 14.答案：2 解析：展开，中间常数为 2。 四、解答题 15 (1) 4 人无限制全排列 4 个不同元素全排列公式 答：共 24 种排队方式。 (2) 甲固定在第一位，剩余 3 人自由排 只需排列后面 3 个位置： 答：共 6 种排队方式。 (3) 甲乙相邻，捆绑法 甲乙两人内部有两种站法； 把甲乙看成一个整体，和另外 2 人一共 3 个整体全排列； 分步相乘总数量： 答：共 12 种排队方式。 16 (1) 二项式所有二项式系数和公式为 由题意，，得。 (2) 的通项公式： (3) 求项，令 系数 答：项系数为 10。 17 (1) 总人数 6 人，任选 2 人为组合问题 答：无限制选法共 15 种。 (2) 分两步：先选 1 男生，再选 1 女生 男生共 3 人，选 1 个：； 女生共 3 人，选 1 个：； 分步相乘： 答：恰好 1 男 1 女共 9 种选法。 18 (1) 通项推导： (2) 常数项要求的指数等于 0： ， 通项 令，，常数项 (3) 赋值法求所有项系数和，令 原式变为，系数和为 16。 19 相同物品分给不同对象，使用隔板模型 (1) 允许有人不领取，可空分配公式： 物品 5 个，同学 2 人： 答：共 6 种发放方法。 (2) 每人至少 1 个，不空隔板：5 个礼品中间 4 个空隙，插 1 个隔板 答：共 4 种发放方法。 (3) 限制：每人≥1，≤3 先给 2 人各分 1 个，消耗 2 个，剩余 3 个礼品； 现在条件转化：剩余 3 个分给 2 人，每人最多再拿 2 个； 无限制分剩余 3 个：； 违规情况：其中一人一次性拿 3 个（超过上限 2），共 2 种违规； 合法方法： 答：满足限制共 3 种发放方法。 学科网（北京）股份有限公司 $