25.2.1　配方法 第1课时 直接开平方法 分层练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念识别到综合应用拓展，适配新授课差异化巩固需求，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层|单一知识点（识别方程、直接求解）|选择填空为主，夯实概念理解| |B层|综合应用（含参条件、整体思想）|计算题为主，强化运算能力| |C层|拓展挑战（坐标系结合、分类讨论）|解答题与开放题，发展创新意识|

25.2.1　配方法（第1课时·直接开平方法） 分层练习 教材版本：人教版（2024）　九年级上册　第二十五章 一元二次方程 25.2.1课时课题：直接开平方法（解形如 与 的一元二次方程 / 含参与整体思想） 【考查范围】本课考查范围：用直接开平方法解一元二次方程 ① 解形如 的方程，两边同除以 后开平方； ② 解形如 的方程，直接开平方化为两个一次方程； ③ 用直接开平方法解含参数的方程（注意：右边必须非负才有实数根）； ④ 整体思想：把 视为整体降次；⑤ 两边都是完全平方时 。 一、A层·基础夯实（共 8 题） 1. ★ [选择题]（知识点：识别直接开平方法）下列方程中能用直接开平方法解的是（　　） A. B. C. D. 2. ★ [选择题]（知识点：形如 ·求根）一元二次方程 的根为（　　） A. B. C. ， D. ， 3. ★ [填空题]（知识点：形如 ·求解）一元二次方程 的解为         ，        。 4. ★ [填空题]（知识点：形如 ·直接降次）一元二次方程 的根是         。 5. ★ [填空题]（知识点：形如 ·求根）方程 的根是         ，        。 6. ☆ [选择题]（知识点：识别无实数根）下列方程中，无实数根的是（　　） A. B. C. D. 7. ☆ [填空题]（知识点：整体思想·平方还原）如果 ，那么         。 8. ☆ [填空题]（知识点：两边完全平方·降次）解方程 时，可化为         （写出一个等价的一次方程即可，提示：）。 二、B层·理解运用（共 6 题） 9. ★ [计算题]（知识点：形如 ·综合求解）用直接开平方法解方程：（1）；（2）。 10. ★ [计算题]（知识点：形如 ·移项后开平方）用直接开平方法解方程：（1）；（2）。 11. ☆ [填空题]（知识点：含参·右边非负条件）若关于 的方程 可以用直接开平方法求解，则 的取值范围是         （填 或 等符号）。 12. ★ [选择题]（知识点：整体平移思想）已知关于 的方程 为常数， 的解是 ，，则方程 的解是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 13. ☆ [填空题]（知识点：含参·已知根求参）若关于 的方程 的一个根是 ，则 的值为          或         。 14. ★ [计算题]（知识点：两边完全平方·分类）用直接开平方法解方程 。 三、C层·拓展挑战（共 5 题） 15. ★ [填空题]（知识点：含参·两根关系）若关于 的一元二次方程 的两个根分别是 与 ，则         。 16. ☆ [计算题]（知识点：完全平方公式逆用）用直接开平方法解方程：（1）；（2）。 17. ★ [解答题]（知识点：坐标系与方程结合）在平面直角坐标系中，已知点 在第一象限的角平分线上，求 的值。 18. ☆ [解答题]（知识点：分类讨论思想）若 为方程 的一个根， 为方程 的一个根，求 的值。 19. ★ [开放性问答]（知识点：结论开放·正整数根）若关于 的一元二次方程 有正整数根，则 的值可以为         （写出一个即可，并说明你的理由）。 参考答案与解析 A层·基础夯实 1. C（由 得 ，可两边开平方，故选 C；A 含一次项不宜直接开平方，B 无实数根，D 含一次项） 2. C（移项得 ，，开平方得 ） 3. ，（，开平方得 ） 4. （由 得 ，故 ） 5. ，（开平方得 ） 6. D（ 右边为负，无实数根；其余右边均为正） 7. （开平方得 ，即 或 ，因平方和非负，舍去 ） 8. 或 （由 ） B层·理解运用 9.（1），（移项得 ，，开平方）；（2），（移项得 ，） 10.（1），（移项得 ，开平方）；（2），（移项得 ，开平方） 11. （直接开平方法要求右边非负，故 ） 12. A（把 看作整体，相当于原方程的未知数整体减 ，故根各加 ：，） 13. 或 （代入 得 ，） 14. 由 得 ；取正号：；取负号：。故 ，。 C层·拓展挑战 15. （由 得 ，两根互为相反数，故 ，两根为 、，所以 …… 注：两根应为 ，和为 ，得 ，代回得根为 ，故 ）。 16.（1），（移项得 ，）；（2），（化为 ，开平方得 ） 17. 第一象限角平分线上的点横纵坐标相等，故 ，即 ，开平方得 ，解得 ，。 18. 由 得 ；由 得 ，。分类讨论四组求和： 的可能值为 或 。 19. 示例：（此时 ，，得 或 ，其中 是正整数根；其他如 均可）。理由：要使根为正整数，需 为完全平方数且 的正平方根对应正整数。 学科网（北京）股份有限公司 $