25.2.1（第1课时）直接开平方法（分层作业）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 25.2.1直接开平方法第1课时同步练，采用A夯实基础、B提升能力、C拓展培优三层设计，梯度进阶巩固知识，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A夯实基础|直接开平方法基本应用|以选择、填空、解答题形式，聚焦方程求解，强化运算能力| |B提升能力|概念辨析与方程变形|结合新定义运算（如“⊕”运算）、根的情况判断，发展推理意识| |C拓展培优|跨学科与几何综合|融入物理热量计算、菱形性质等情境，培养应用意识与几何直观|

25.2.1（第1课时）直接开平方法（原卷版） 目 录 A.夯实基础 1 B.提升能力 3 C.拓展培优 5 1．解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（    ） A． B． C． D． 2．方程的解是（    ） A． B． C． D． 3．一元二次方程的根是（    ） A． B． C．无实数根 D．以上均不正确 4．方程的解是（    ） A． B．， C． D． 5．方程的解是（    ） A． B． C． D． 6．方程的根为（   ） A． B． C． D． 7．方程的根为（    ） A． B． C．， D．， 8．一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D．， 9．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 10．方程的根是（   ） A． B． C． D． 11．一元二次方程的根为（   ） A． B．， C．， D．， 12．方程的解为（   ） A．1 B． C．0或1 D．1或 13．方程解为_________． 14．若方程的根为整数，则m的值可以是_________．（只填符合条件的一个即可） 15．若，该方程的解为______． 16．一元二次方程的实数根是__________． 17．对任意有理数、，定义关于“”的一种运算如下：，例如：，．若，则的值为______． 18．电流通过导线时会产生热量．电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足：．已知导线的电阻，的时间导线产生的热量，则电流I为_____A．（结果用二次根式表示） 19．方程的解是______． 20．方程的根为________． 21．若，是方程为常数的两个实数根．若，则p的值为________． 22．利用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 23．解方程： 24．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 25．解方程： (1)； (2)． 26．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D． 27．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 28．下列方程中，有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 29．若实数分别满足：且，则点所在的象限是（   ） A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限 C．第二象限或第三象限 D．第三象限或第四象限 30．如果是关于的方程的根，那么的值为（    ） A． B． C． D． 31．下列方程中，有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 32．将4个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式． 若，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 33．现定义运算“”：对于任意实数、，都有，如，若，则实数的值为（ ） A．4或 B．7或 C．19或 D． 34．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如，，，则方程的解有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 35．若，则的值为（　　） A．4 B．4或 C． D． 36．方程的根是________． 37．我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 当代数式的值为81时，则的值为__________． 38．我们用符号表示，两实数中较小的数，如，若，则_______． 39．一人乘雪橇沿坡比为的斜坡滑下，如果他滑行了13米，那么他下降的高度为____________米． 40．在实数范围内定义一种运算“®”，其规则为，例如，．根据这个规则，方程的解为________． 41．爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法．如：解方程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或． 所以，原方程的解为：，． (1)下面是小强同学用发现的新解法解方程时，写的解题过程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 请直接写出上述过程中的，的值及方程的根； (2)请用小强同学发现的新解法解方程：． 42．在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的图解法是：如图1，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．若关于的一元二次方程，按照图1的图解法构造图2，在中，，连接，若，则的值是（     ）      A． B． C． D． 43．如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点是线段上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的处，若是轴负半轴上一动点，且是以为腰的等腰三角形，则的坐标为________． 44．如图，在菱形中，点为边的中点，连接，．若，且，则菱形的边长为________． 45．关于的方程的解是，(a，m，b均为常数，)，则方程的解是___________． 46．定义菱形的两条对角线长之比为“对角线比”．当菱形的“对角线比”为4，面积为800时，菱形的边长为_______． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.1（第1课时）直接开平方法（解析版） 目 录 A.夯实基础 1 B.提升能力 9 C.拓展培优 16 1．解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正数的平方根互为相反数的性质，即可推出另一个一元一次方程． 【详解】解：原方程为，对等式两边开平方可得，或， 故另一个方程为． 2．方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，使用移项、直接开平方的方法即可得到结果． 【详解】∵， ∴， 故． 3．一元二次方程的根是（    ） A． B． C．无实数根 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了直接开平方法求一元二次方程的解，解这类问题要先把所有含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，化成的形式求解． 先把所有含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，再利用直接开平方求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵任何实数的平方都是非负数，即，而， ∴该一元二次方程无实数根． 故选C． 4．方程的解是（    ） A． B．， C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解： ∴， 即，． 故选：B． 5．方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了直接开平方法求一元二次方程的解．利用直接开平方法即可求得． 【详解】解：， 移项得， 解得， 故选：B． 6．方程的根为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，方程左边为完全平方式，直接开平方求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， 故选：B． 7．方程的根为（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过直接解一元二次方程，得到两个根，再对比选项即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即，， 故选：C． 8．一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握用直接开平方法解方程时，开平方要考虑正负两种情况，得到两个解是解题的关键． 通过直接开平方的方法求解方程，得到两个解． 【详解】解：∵ ∴ 当 时， 当 时， ∴方程的解为 , 故选：D． 9．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的情况．根据3和的平方都等于9即可求解． 【详解】解：∵ 3和的平方都等于9， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 10．方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查一元二次方程的解法，解题关键是直接开方会得到正负两个值，然后分别求解即可．通过直接开平方的方法求解方程，得到两个根． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，， 当时，， ∴方程的根为， 故选：A． 11．一元二次方程的根为（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程. 通过直接开平方法解方程即可. 【详解】解：∵， ∴或， ∴， ， 故选：C. 12．方程的解为（   ） A．1 B． C．0或1 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了直接开平方法解方程，根据，得的值是1或 【详解】解：∵， ∴， ∴的值是1或， 故选：D． 13．方程解为_________． 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：． 14．若方程的根为整数，则m的值可以是_________．（只填符合条件的一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】将原方程变形可得，根据平方根的性质，若方程的根为整数，则为非负完全平方数，任取一个满足条件的值即可． 【详解】解：原方程移项得， 开平方得， 因为方程的根为整数， 因此为整数， 即为完全平方数， 取，此时方程的根为，均为整数，符合要求． 15．若，该方程的解为______． 【答案】 ， 【详解】解： 或 ∴，． 16．一元二次方程的实数根是__________． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的直接开平方法，解题的关键是将方程变形为，再利用平方根的定义求解；移项得到，然后开平方得到． 【详解】解：， 移项，得， 直接开平方得， ∴． 故答案为：，． 17．对任意有理数、，定义关于“”的一种运算如下：，例如：，．若，则的值为______． 【答案】10 【分析】根据新定义运算规则列出关于的方程，解方程后计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴根据定义可得， 整理可得：， ∴， ∴． 18．电流通过导线时会产生热量．电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足：．已知导线的电阻，的时间导线产生的热量，则电流I为_____A．（结果用二次根式表示） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，解一元二次方程——直接开平方法，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据公式，代入导线的电阻，的时间导线产生的热量，求出电流I． 【详解】解：因为导线的电阻，的时间导线产生的热量， 所以， 解得：（负值舍去）， 则电流I为． 故答案为：． 19．方程的解是______． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．直接开方即可． 【详解】解：， ， 解得：或， 故答案为或． 20．方程的根为________． 【答案】 【分析】本题考查直接开平方法解一元二次方程，解题关键是将方程化为的形式，再利用平方根的定义求解． 将方程两边除以2后开平方求解． 【详解】方程 ，两边同时除以2，得 ，开平方，得 ， 故答案为 ． 21．若，是方程为常数的两个实数根．若，则p的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解与根的关系，熟练掌握对一元二次方程根的推到能力是解题的关键． 首先需要将给定的方程展开，转化为一般形式，再利用直接开平方法求出方程的两个根，最后根据两根之差的绝对值建立等式，从而求出p的值． 【详解】解：将方程用直接开平方法求解： 对等式两边开平方，得， 由此可求出方程的两个根： ，， 接下来计算两根之差的绝对值： ， 已知， ， 解得． 故答案为：． 22．利用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 直接开平方，得， ，； （2）解： 移项，得， 直接开平方，得， ，． 23．解方程： 【答案】，． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，利用直接开平方法解一元二次方程即可，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∴，． 24．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 根据直接开平法即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵， ∴x2， ∴， 解得，； （3）解：∵， ∴， ∴， 解得，； （4）解：∵， ∴， ∴， 解得，． 25．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用直接开平方法解方程，即可作答． （2）运用因式分解法解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴ 解得， （2）解：∵ ∴， 则， ∴或， ∴，． 26．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程需要同时满足两个条件：未知数的最高次数为，且二次项系数不为，据此列等式和不等式即可求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 解得，， 解得，， 综上所述：． 27．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用一元二次方程根的性质求出，再将代入新方程即可求解． 【详解】解：由题意，关于x的一元二次方程有解， 解方程得， ∵一元二次方程（）的解是，， ∴，， ∴， 将，代入原方程得， 对于方程， 整理得：， 代入得 ， 解得，． 28．下列方程中，有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过解方程逐一判断即可，掌握一元二次方程解法是解题的关键． 【详解】解：、，右边为负数，无实数根，不符合题意； 、，解得，即两个相等的实数根，符合题意； 、，解得，，有两个不等实根，不符合题意； 、，解得，有两个不等实根，不符合题意； 故选：． 29．若实数分别满足：且，则点所在的象限是（   ） A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限 C．第二象限或第三象限 D．第三象限或第四象限 【答案】A 【分析】此题主要考查了点的坐标特点，解一元二次方程，求一元一次不等式的解集，先根据已知求出a的值和b的取值范围，再分两种情况讨论，即可确定点所在的象限． 【详解】解：∵， ∴， 解得或， ∵， ∴， 分以下两种情况讨论： 当时，，， ∴点所在的象限是第一象限； 当时，，， ∴点所在的象限是第二象限； 综上所述，点所在的象限是第一象限或第二象限． 故选：A． 30．如果是关于的方程的根，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程的解，解一元二次方程，把代入方程解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的根， ∴， ∴， 故选：． 31．下列方程中，有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．利用直接开平方法依次判断即可． 【详解】解：A.，故方程没有实数根，故选项不符合题意； B. ，直接开平方，得或，得，，故方程有两个不相等的实数根，故选项不符合题意； C. ，解得，方程有两个相等实数根，故选项符合题意； D. ，直接开平方，得或，得，，故方程有两个不相等的实数根，故选项不符合题意； 故选：C． 32．将4个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式． 若，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程，根据新定义，列出一元二次方程进行求解后，再进行乘法计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴； 故选C． 33．现定义运算“”：对于任意实数、，都有，如，若，则实数的值为（ ） A．4或 B．7或 C．19或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，根据新定义求解即可，正确理新定义是解题的关键． 【详解】解：由新定义可知，， ∴ ∴， 故选：D． 34．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如，，，则方程的解有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，理解取整的定义是解题的关键． 【详解】解： ， ， 时, 解得 ； 时，解得 或 (舍)； 时， 解得 或(舍)； 时，方程无解； 综上所述：方程的解为：或 或 故选C． 35．若，则的值为（　　） A．4 B．4或 C． D． 【答案】A 【分析】把看成一个整体，利用直接开平方法求解方程，再根据，即可得到的值． 本题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程，注意把看成一个整体是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得或， ， ， 故选：A． 36．方程的根是________． 【答案】 【分析】等式两边同时除以，将未知数的系数化为1，再根据乘方的计算即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴或（舍去）， ∴ ． 37．我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 当代数式的值为81时，则的值为__________． 【答案】5或 【分析】根据给出的规律得到，则，解方程即可． 【详解】解：由题意得， 即， 解得或． 38．我们用符号表示，两实数中较小的数，如，若，则_______． 【答案】或4 【分析】本题需依据的定义，分两种情况讨论，分别令对应较小的式子等于9，求解后验证解是否满足该式子为两数中较小值的前提，舍去不符合条件的解，进而得到的值． 【详解】解：根据表示两实数中较小数的定义，分以下两种情况分析： 1．当时，， 根据有理数的乘方运算，解得或， 验证：当时，，，此时，不满足的前提，舍去， 当时，，，此时，满足前提条件，故是有效解； 2．当时，， 用直接开平方法解方程，得或， 即或， 验证：当时，，，此时，满足的前提，故是有效解， 当时，，，此时，不满足的前提，舍去， 综上，或， 故答案为：或4 39．一人乘雪橇沿坡比为的斜坡滑下，如果他滑行了13米，那么他下降的高度为____________米． 【答案】5 【分析】本题主要考查了坡度比，勾股定理，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上性质． 根据坡度比，假设下降的高度为h米，则水平距离为米，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设下降的高度为h米，则水平距离为米， 根据勾股定理，得： 解得（负值已舍）， 故答案为：5． 40．在实数范围内定义一种运算“®”，其规则为，例如，．根据这个规则，方程的解为________． 【答案】或 【分析】本题考查定义新运算，解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．根据新运算规则，将方程转化为关于的一元二次方程，然后利用直接开方法求解． 【详解】解：由运算规则 ，得： ， 即 或 解得或． 故答案为：或． 41．爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法．如：解方程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或． 所以，原方程的解为：，． (1)下面是小强同学用发现的新解法解方程时，写的解题过程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 请直接写出上述过程中的，的值及方程的根； (2)请用小强同学发现的新解法解方程：． 【答案】(1)，，， (2)， 【详解】（1）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 即，，，； （2）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 42．在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的图解法是：如图1，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．若关于的一元二次方程，按照图1的图解法构造图2，在中，，连接，若，则的值是（     ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程系数确定直角三角形两直角边的长度，利用等高三角形面积比等于底边比，求出斜边与参数的关系，最后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， ． ，且与等高， ， ， ． ， 在中，， ，即， 解得，，（不符合题意，舍去）， 的值是． 43．如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点是线段上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的处，若是轴负半轴上一动点，且是以为腰的等腰三角形，则的坐标为________． 【答案】或 【分析】先求出直线与坐标轴交点、坐标，利用折叠性质得，设，由勾股定理求出点坐标；设，分两种等腰情况讨论：，分别列方程求解，得到坐标． 【详解】解：令，，得，； 令，，，得，． 由勾股定理： ， 由折叠得：，， ，故， 设，则，． 在中，由勾股定理：， ， 解得， ∴． ， 情况①：， ， 令： ， 两边平方： ， ， 在轴负半轴，， ； 情况②：， ，令： ， 在轴负半轴，， ， 综上，点的坐标为或． 44．如图，在菱形中，点为边的中点，连接，．若，且，则菱形的边长为________． 【答案】 【分析】设菱形的边长为，根据中点定义和已知条件表示出和；过点作交的延长线于点，过点作于点，证明，设，利用勾股定理分别表示出和，建立关于和的方程组，求解即可． 【详解】解：设菱形的边长为， 四边形是菱形， ，， 点为边的中点， ， ， ， 过点作交的延长线于点，过点作于点，如图， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 设， 在中，， 在中，∵， ， ， ， 在中，∵， ， ， ∴， ∴， 将代入①得， 即， 解得（负值舍去）． 45．关于的方程的解是，(a，m，b均为常数，)，则方程的解是___________． 【答案】， 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，解一元二次方程——直接开平方法等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 通过已知方程的解求出参数m的值及a与b的关系，然后代入新方程求解． 【详解】解：由方程的解为，， 代入得和． 两式相减可得， 开方，得：或(不成立)， 即， 整理得， 所以． 将代入，得， 即． 将和代入方程， 得， 即， 整理得． 由于， 两边除以得， 即， 解得∶，． 故答案为：，． 46．定义菱形的两条对角线长之比为“对角线比”．当菱形的“对角线比”为4，面积为800时，菱形的边长为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积公式，列一元二次方程解决几何问题，解题的关键是熟练掌握菱形的面积公式． 假设菱形的对角线长为，根据菱形的面积公式列出方程求解，然后根据菱形的性质，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：假设菱形的对角线长为，根据菱形的面积得， ， 解得，（负值舍去） ∴菱形的对角线长为20和80， ∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴根据勾股定理得边长为， 故答案为：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $