25.2.1 配方法 同步练习 2026—2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练习针对一元二次方程配方法，采用三级分层设计，从基础配方操作到综合应用再到拓展探究，梯度清晰，有效巩固知识并培养运算能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |★☆☆（1-14题）|配方法基本步骤、完全平方式参数、简单方程配方|以选择题为主，直接考查配方正确性，强化符号意识与运算能力| |★★☆（15-24题）|含参数方程、代数式最值、非负性应用|填空题与证明题结合，涉及多变量转化，培养推理意识与模型意识| |★★★（25-28题）|复杂方程求解、含参证明、数学文化应用|解答题与探究题，融入《九章算术》开方术，发展创新意识与理性精神|

第二十五章 一元二次方程 25.2 降次——解一元二次方程 25.2.1 配方法 难度：★☆☆ 1. 用配方法解方程 x² + 6x + 5 = 0，配方后得到的方程是（ ） A. (x+3)² = 4 B. (x+3)² = -4 C. (x-3)² = 4 D. (x+6)² = 31 2. 方程 x² - 4x + 1 = 0 配方后正确的是（ ） A. (x-2)² = 3 B. (x+2)² = 3 C. (x-2)² = 5 D. (x+2)² = 5 3. 用配方法解方程 x² - 8x + 3 = 0，下列配方正确的是（ ） A. (x-4)² = 13 B. (x-4)² = 19 C. (x+4)² = 13 D. (x-8)² = 61 4. 若 x² + 10x + m 是一个完全平方式，则 m 的值为（ ） A. 5 B. 10 C. 25 D. 100 5. 用配方法解方程 2x² - 4x - 1 = 0，正确的步骤是（ ） A. x² - 2x = ，(x-1)² = B. x² - 2x = 1，(x-1)² = 2 C. x² - 2x = ，(x-1)² = D. x² - 2x = - ，(x-1)² = 6. 方程 x² + px + q = 0 用配方法可化为 (x + )² = ，则方程有实数根的条件是（ ） A. p² - 4q > 0 B. p² - 4q ≥ 0 C. p² - 4q < 0 D. p² - 4q ≤ 0 7. 用配方法解方程 x² + 4x - 5 = 0，配方后得 (x + m)² = n，则 m + n 的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 若代数式 x² - 6x + 10 的最小值为 k，则 k 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 10 9. 用配方法解方程 3x² + 6x - 1 = 0，配方后正确的是（ ） A. (x+1)² = B. (x+1)² = C. (x+1)² = D. (x+1)² = 4 10. 已知 a² + b² + 4a - 6b + 13 = 0，则 a + b 的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 5 D. -5 11. 用配方法证明：无论 x 取何实数，代数式 x² - 4x + 5 的值总大于 0。下列配方正确的是（ ） A. (x-2)² + 1 > 0 B. (x-2)² - 1 > 0 C. (x-4)² + 1 > 0 D. (x+2)² + 1 > 0 12. 观察下列配方过程： x² - 2x - 3 = 0 x² - 2x = 3 x² - 2x + 1 = 3 + 1 (x-1)² = 4 x - 1 = ±2 x₁ = 3，x₂ = -1 用上述方法解方程 x² - 6x + 5 = 0，得到的根为（ ） A. x₁ = 1，x₂ = 5 B. x₁ = -1，x₂ = -5 C. x₁ = 1，x₂ = -5 D. x₁ = -1，x₂ = 5 13. 阅读材料： 配方法是一种重要的数学方法，它不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求代数式的最值、证明等式等。 (1) 用配方法解方程：x² - 5x + 6 = 0。 (2) 用配方法求代数式 -x² + 4x - 3 的最大值。 (3) 用配方法证明：对于任意实数 x，y，有 x² + y² ≥ 2xy。 14. 定义：对于一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），若其可以配方为 (x + m)² = n 的形式，则称此方程为“可配方方程”。 (1) 判断方程 2x² - 4x + 3 = 0 是否为“可配方方程”，并说明理由。 (2) 若方程 x² - 2(k-1)x + k² - 3 = 0 是“可配方方程”且 n > 0，求 k 的取值范围。 (3) 对于“可配方方程”，求证：当 n ≥ 0 时，方程有实数根；当 n < 0 时，方程无实数根。 难度：★★☆ 15. 用配方法解方程 x² + 2x - 8 = 0，得到的根为（ ） A. x₁ = 2，x₂ = -4 B. x₁ = -2，x₂ = 4 C. x₁ = 2，x₂ = 4 D. x₁ = -2，x₂ = -4 16. 若 x² + mx + 9 是完全平方式，则 m 的值为（ ） A. 3 B. -3 C. ±3 D. ±6 17. 用配方法解方程 2x² + 8x - 5 = 0，配方后得（ ） A. (x+2)² = B. (x+2)² = C. (x+4)² = D. (x+4)² = 13 18. 已知 x² + y² + 2x - 4y + 5 = 0，则 xʸ 的值为（ ） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 19. 用配方法求二次函数 y = x² - 6x + 5 的顶点坐标为______。 20. 若 a² + b² - 2a + 4b + 5 = 0，则 aᵇ = ______。 21. 用配方法解方程 x² - 2+ 1 = 0，得到的根为 x₁ = ______，x₂ = ______。 22. 方程 x² - 4x + m = 0 用配方法可化为 (x-2)² = 4-m，若方程有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是______。 23. 用配方法证明：对于任意实数 x，代数式 2x² - 4x + 3 的值总不小于 1。 24. 观察下列等式： 1² + 2² + 2 = 3² 2² + 3² + 6 = 7² 3² + 4² + 12 = 13² 4² + 5² + 20 = 21² ...... 根据规律，第 n 个等式为______。 难度：★★★ 25. 用配方法解下列方程： (1) x² - 6x + 8 = 0 (2) 2x² + 4x - 3 = 0 (3) x² - 2x + 2 = 0 26. 已知关于 x 的方程 x² - 2(m+1)x + m² + 2 = 0。 (1) 用配方法证明：无论 m 取何值，方程总有两个不相等的实数根。 (2) 若方程的两个根为 x₁，x₂，且 x₁² + x₂² = 10，求 m 的值。 27. 用配方法求下列代数式的最值： (1) x² - 8x + 20 的最小值。 (2) -2x² + 8x - 3 的最大值。 (3) x² + y² - 4x + 6y + 20 的最小值。 28. 阅读材料： 《九章算术》中的"开方术"是中国古代解二次方程的重要方法。对于形如 x² + bx = c 的方程，古人构造一个边长为 x 的正方形，加上两个长为 x、宽为 的长方形，总面积为 c + ( )²，从而得到 (x + )² = c + ( )²。 (1) 用上述方法解方程 x² + 8x = 9。 (2) 用配方法解方程 x² - 6x + 5 = 0。 参考答案 1. A 2. A 3. A 4. C 5. A 6. B 7. C 8. A 解析：x²-6x+10=(x-3)²+1≥1，最小值1 9. A 解析：x²+2x= ，(x+1)²= 10. A 解析：(a+2)²+(b-3)²=0，a=-2，b=3，a+b=1 11. A 解析：(x-2)²+1≥1>0 12. A 13. (1) (x- )²= ，x₁=3，x₂=2 (2) -(x-2)²+1，最大值1 (3) (x-y)²≥0 14. (1) 是，可化为(x-1)²=- (2) Δ=4(k-1)²-4(k²-3)=-8k+16>0，k<2 (3) 当n≥0，(x+m)²=n有解；当n<0，无实数解 15. A 16. D 17. A 18. B 19. (3，-4) 20. 1 21. +1，-1 22. m<4 23. 2(x-1)²+1≥1 24. n²+(n+1)²+n(n+1)=(n²+n+1)² 25. (1) (x-3)²=1，x=4或2 (2) (x+1)²=，x=-1± (3) (x-)²=1，x=±1 26. (1)(x-m-1)²=2m-1，当2m-1>0即m>时有两个不等实根 (2) (2m+2)²-2(m²+2)=10，m=±1 27. (1) (x-4)²+4，最小值4 (2) -2(x-2)²+5，最大值5 (3) (x-2)²+(y+3)²+7，最小值7 28. (1) (x+4)²=25，x=1或-9 (2) (x-3)²=4，x=5或1 学科网（北京）股份有限公司 $