精品解析：辽宁凌源市2025-2026学年高二下学期期末检测数学试卷

高二期末检测卷 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟． ☆注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置．考试结束后，将答题卡交回． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 若全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由补集的定义及交集的定义可得. 【详解】因为全集，，所以， 因此． 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得，则， ， 所以. 3. 设等差数列的前项和为，若，则数列的公差为（ ） A. 6 B. 3 C. -3 D. -4 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据求和公式和通项公式代入求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， ， 所以， 即， 整理得：， 解得 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，即， 则，解得或（舍去）， 则. 5. 若双曲线：的两条渐近线均与圆：相交，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据双曲线方程求出渐近线方程，再利用圆心到渐近线距离小于半径列出不等式求出的范围，最后根据离心率公式求出离心率的范围. 【详解】双曲线：中，，则， 所以渐近线方程为，即， 又因为圆：的圆心为，半径， 由题意得，化简可得：，整理得：， 求解可得：，又因为，所以， 又因为，，则，即， 所以，即的离心率． 6. 在的二项展开式中，若常数项为240，则的系数为（ ） A. 6 B. 32 C. 36 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】借助二项展开式的通项公式计算可得，即可得的系数. 【详解】的二项展开式的通项为， 当时，，故常数项为，即， 由， 故随的增大而增大，又时，， 故，则，令 ，得，故的系数为. 7. 已知函数，，则曲线在点处的切线与曲线的公共点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先求曲线在点处的切线方程，再令切线方程与相等并化简，最后通过判断化简后函数的单调性和零点情况确定公共点个数. 【详解】因为，所以， 则，又因为，所以曲线在点处的切线方程为： ，即，由， 得，令，则， 由于恒成立，故，因此在上是严格单调递增函数， 而，所以曲线在点处的切线与曲线的公共点的个数为1． 8. 某物流公司规划了7条分别编号为1至7的无人机专属航线，现将这7条航线全部分配给甲、乙、丙3个不同的调度中心，且航线1与航线2必须分配给同一个调度中心．若每个调度中心至少分到1条航线，且甲中心分配的航线数量必须多于乙中心，则不同的分配方案总数为（ ） A. 185 B. 205 C. 215 D. 235 【答案】C 【解析】 【分析】先将7条航线分成3组，为保证每个中心至少分到一条航线，共有四种情况.因为甲中心分配的航线数量必须多于乙中心，所以分甲分配到条航线进行分析可得. 【详解】因为每个调度中心至少分到1条航线， 所以把7条航线分成3组，有四种情况. 因为甲中心分配的航线数量必须多于乙中心，所以可分甲分配到四个类型进行分析， 所以有以下分配方案： 若甲中心分配5条航线，则其中必包括航线1与航线2，共有种方案； 若甲中心分配4条航线，且其中包括航线1与航线2，则从除1、2两条航线外的5条中再选2条给甲， 再将剩余3条分成两组分配给乙、丙，共有种方案； 若甲中心分配4条航线，但其中不包括航线1与航线2，则需从除1、2两条航线外的5条中选4条给甲， 再将1、2两条航线作为一组，剩余1条单独作为一组，分配给乙、丙共有种方案； 甲中心分配2条航线，即航线1与航线2，则需从除1、2两条航线外的5条中选1条给乙， 再将剩余4条单独作为一组分配给丙，共有种方案； 若甲中心分配2条航线，但不包含航线1与航线2，则需从除1、2两条航线外的5条中选2条给甲，选1条给乙， 再将剩余4条单独作为一组分配给丙，共有种方案； 若甲中心分配3条航线，且包含航线1与航线2，则需从除1、2两条航线外的5条中选1条给甲， 此时可从其余航线中选1条给乙，其余航线作为一组给丙，共有种方案； 也可选两条给乙，其余航线给丙，共有种方案； 若甲中心分配3条航线，但不包含航线1与航线2，则需从除1、2两条航线外的5条中选3条给甲， 此时可从剩余2条航线中选1条给乙，其余航线作为一组给丙，共有种方案； 也可将剩余2条航线给乙，将航线1与航线2作为一组给丙，共有种方案； 也可将航线1与航线2给乙，其余航线给丙，共有种方案； 综上所述，共有种方案. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知抛物线：与：，则（ ） A. 与的焦点相同 B. 与的离心率相同 C. 与的准线相同 D. 与的焦点到准线的距离相同 【答案】BD 【解析】 【详解】抛物线的焦点为，准线为，焦点到准线的距离为，离心率为1， 抛物线的焦点为，准线为，焦点到准线的距离为，离心率为1． 故与的焦点不同，准线不同，离心率相同，与的焦点到准线的距离相同. 10. 有甲、乙两个小组参加某项测试，甲组的合格率为，乙组的合格率为．已知甲、乙两组的人数分别占这两组总人数的，．从这两组组成的总体中任选一个人，用事件，分别表示选取的该人来自甲、乙组，事件表示选取的该人测试合格，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先明确已知的先验概率和条件概率，结合乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式逐项分析判断. 【详解】由题意可得：，，，. 对于A，根据乘法公式，，故A正确. 对于B，根据乘法公式，，故B错误. 对于C，根据全概率公式，，故C正确. 对于D，根据条件概率公式，，故D错误. 11. 记锐角的内角，，的对边分别为，，，若，，则的周长可以为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题设条件、三角形的内角和定理和锐角三角形的性质，可求得角的取值范围；利用正弦定理、两角和的正弦公式与二倍角公式将的周长表示为，进而求得的周长的取值范围后即可作出判断. 【详解】依题意，， 因为锐角三角形，所以，解得； 由正弦定理得，即， 所以， ， 所以，因为，所以， 即周长的取值范围为，而 对于A：，不合题意； 对于B：，符合题意； 对于C：，符合题意； 对于D：，不合题意. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，，则向量在上投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【详解】由题可得，，， 所以向量在上投影向量为． 13. 已知，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【详解】，则， 当且仅当时，即时取等号， 即的最小值为. 14. 已知，函数，的零点分别为，，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，，进而可得，进而得，结合函数的单调性可求得的取值范围. 【详解】因为的零点为，所以，则， 因为，所以，则， 又，所以，所以，则． 因为的零点为，所以，所以， 令，则，所以，所以， 令，，，则， 所以在上单调递增，所以，代入，得， 所以，所以， 易知函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以的取值范围为． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）记，数列的前项和为，若对，恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【小问1详解】 ∵， ∴当时，， 两式相减得， ∴当时，， 当时，，满足上式， ∴． 【小问2详解】 由（1）得， ∴， ∴， ∵，∴， 又因对，恒成立，故，得， ∴实数的最小值为1． 16. 某福利站点收纳16张外观完全一致的即开型彩票：一等奖（奖金600元）共3张，二等奖（奖金320元）共6张，三等奖（奖金120元）共7张，现从中随机抽出3张彩票． （1）求抽出的3张彩票的奖金总额不高于1500元的概率； （2）记表示抽出的3张彩票中一等奖彩票的张数，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率计算公式和对立事件概率公式可求相应事件的概率. （2）利用超几何分布的模型求分布列和期望. 【小问1详解】 从16张彩票中任意抽取3张，共有种取法， 抽出的3张彩票的奖金总额高于1500元的情况有两种： ①三张一等奖，有种取法； ②两张一等奖，一张二等奖，有种取法， 则抽出的3张彩票的奖金总额高于1500元的取法共有19种， 所以抽出的3张彩票的奖金总额不高于1500元的概率为． 【小问2详解】 的可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 则． 17. 如图1所示，△ABE是边长为2的正三角形，四边形BCDE是一个梯形；其中BE∥CD，ED＝DC＝CB＝1，现在沿着BE把△ABE折起到△的位置，连接，且使得＝2，如图2所示． （1）求证：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明线面垂直，即证明垂直于底面上的两条相交直线和，最终推导出面面垂直； （2）建立空间直角坐标系将几何问题代数化，利用空间向量求出平面的法向量，通过计算法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，直接得到线面角的正弦值. 【小问1详解】 取BE的中点为O，连接，OC，OD， 由图1中，△ABE是边长为2的正三角形，等腰梯形BCDE， 且ED＝DC＝CB＝1，可得OC＝OD＝1，且， 因为＝2，所以，所以， 又由△正三角形性质，可得， 因为OCBE＝O，且OC，BE平面BCDE，所以平面BCDE， 又因为平面，所以平面平面BCDE． 【小问2详解】 取CD的中点F，连接OF，因为四边形BCDE为等腰梯形， 且O为BE的中点，所以OF⊥BE，又因为⊥平面BCDE， 以O为坐标原点，OB，OF，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，， 所以，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以， 设直线与平面夹角为，则， 所以直线与平面夹角的正弦值为． 18. 已知椭圆：的长轴长为4，焦距为． （1）求的方程； （2）过点的直线与交于，两点，求线段中点的轨迹方程； （3）直线：，：，过上一点作，的垂线，垂足分别为，，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在最大值，最大值为 【解析】 【分析】（1）根据题设条件可得值，再利用关系可求得值，进而可得到椭圆的方程； （2）设，两点的坐标并代入椭圆方程，利用点差法，结合中点坐标公式、斜率公式即可求解； （3）设点，根据点到直线的距离公式求出；取，的法向量，，利用向量的数量积公式求出，进而可以得到的值；然后根据三角形的面积公式写出的面积，最后结合的取值范围判断面积的最大值. 【小问1详解】 依题意，因为长轴长为4，即，解得； 设焦距为，因为焦距为，即，解得； 所以； 所以的方程为． 【小问2详解】 设，，线段的中点为，则，； 因为，两点在上，所以，， 两式作差得，即， 又，所以，即； 由（1）可知点为的右顶点，所以点或点与点重合，可得； 故线段中点的轨迹方程为． 【小问3详解】 设，则，点到，的距离分别为，，所以， 分别取，的法向量，， 则，所以， 所以的面积， 由，得，， 所以，，当或1时，取得最大值， 所以的面积存在最大值，最大值为． 19. 设函数，． （1）若，，求在上的最小值； （2）已知． ①若在上单调递增，求的最大值； ②证明：对任意，． 【答案】（1） （2）① 2 ②由①可知对任意的恒成立， 则对任意，必有， ， …… ， ， 则上述式子累加可得， 又，则， 左右两边乘以，得． 因此． 【解析】 【分析】（1）求导，结合导数的符号分析的单调性，进而即可求解的最小值； （2）①求导，根据题意有恒成立，再研究不等式取，从而得到，再研究不等式的系数，取，，从而验证恒成立，进而即可得到的最大值； ②结合①，得到对任意的恒成立，再一直取，进而利用累加法即可得证． 【小问1详解】 若，，则，， 则， 令，解得，， 当时，；当时，， 则在上单调递减；上单调递增， 所以的最小值为． 【小问2详解】 ①由，则 因为在上单调递增，所以恒成立． 取，则，即， 当，时，恒成立， 因此的最大值为2． ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二期末检测卷 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟． ☆注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置．考试结束后，将答题卡交回． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 若全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 设等差数列的前项和为，若，则数列的公差为（ ） A. 6 B. 3 C. -3 D. -4 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 若双曲线：的两条渐近线均与圆：相交，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 在的二项展开式中，若常数项为240，则的系数为（ ） A. 6 B. 32 C. 36 D. 60 7. 已知函数，，则曲线在点处的切线与曲线的公共点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 某物流公司规划了7条分别编号为1至7的无人机专属航线，现将这7条航线全部分配给甲、乙、丙3个不同的调度中心，且航线1与航线2必须分配给同一个调度中心．若每个调度中心至少分到1条航线，且甲中心分配的航线数量必须多于乙中心，则不同的分配方案总数为（ ） A. 185 B. 205 C. 215 D. 235 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知抛物线：与：，则（ ） A. 与的焦点相同 B. 与的离心率相同 C. 与的准线相同 D. 与的焦点到准线的距离相同 10. 有甲、乙两个小组参加某项测试，甲组的合格率为，乙组的合格率为．已知甲、乙两组的人数分别占这两组总人数的，．从这两组组成的总体中任选一个人，用事件，分别表示选取的该人来自甲、乙组，事件表示选取的该人测试合格，则（ ） A. B. C. D. 11. 记锐角的内角，，的对边分别为，，，若，，则的周长可以为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，，则向量在上投影向量的坐标为______． 13. 已知，则的最小值为_____． 14. 已知，函数，的零点分别为，，则的取值范围为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）记，数列的前项和为，若对，恒成立，求实数的最小值． 16. 某福利站点收纳16张外观完全一致的即开型彩票：一等奖（奖金600元）共3张，二等奖（奖金320元）共6张，三等奖（奖金120元）共7张，现从中随机抽出3张彩票． （1）求抽出的3张彩票的奖金总额不高于1500元的概率； （2）记表示抽出的3张彩票中一等奖彩票的张数，求的分布列和数学期望． 17. 如图1所示，△ABE是边长为2的正三角形，四边形BCDE是一个梯形；其中BE∥CD，ED＝DC＝CB＝1，现在沿着BE把△ABE折起到△的位置，连接，且使得＝2，如图2所示． （1）求证：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值． 18. 已知椭圆：的长轴长为4，焦距为． （1）求的方程； （2）过点的直线与交于，两点，求线段中点的轨迹方程； （3）直线：，：，过上一点作，的垂线，垂足分别为，，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 19. 设函数，． （1）若，，求在上的最小值； （2）已知． ①若在上单调递增，求的最大值； ②证明：对任意，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $