精品解析：辽宁省朝阳市凌源中学2024～2025学年高二下学期期末考试数学试题

凌源高中2024～2025学年度第二 学期期末考试 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前、先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交 5．本卷主要考查内容：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由集合的运算代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以， 故选：A． 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四则运算可化简所求复数. 【详解】. 故选：C. 3. 已知向量，，，则（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量共线的坐标运算求解. 【详解】向量，，则， 由，得，解得. 故选：C 4. 已知函数，为偶函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由函数为偶函数可得，从而即可求解. 【详解】解：因为函数为偶函数，所以,即， 因为，所以或， 故选：D. 5. 陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如图，已知一木制陀螺的圆柱的底面直径为6，圆柱和圆锥的高均为4，则该陀螺的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析该陀螺的表面结构，结合圆柱、圆锥的侧面积公式运算求解. 【详解】由题意可知：该陀螺的表面有：底面圆面、圆柱的侧面和圆锥的侧面， 且圆锥的母线长为， 所以该陀螺的表面积为. 故选：C. 6. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据商数关系和平方关系求解即可. 【详解】，所以， 解得或（舍）， 故选：B. 7. 已知甲组数据：1，3，5，7，9，11，乙组数据：2，4，8，16，根据不同组别，用分层抽样的方法随机抽取一个容量为5的样本，则该样本的平均数不可能是（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】先根据分层抽样算出甲乙两组数据抽到的数据个数，列出表格，在结合平均数公式计算得出答案； 【详解】根据分层抽样可知甲组数据抽取3个数据，乙组数据抽取2个数据，具体情况如下表： 甲组抽样 乙组抽样 平均数 3，5，7 2，8 5 5，7，11 4，8 7 5，7，9 8，16 9 平均数为11时，需5个样本数字之和为55，而样本之和最大值为． 故选：D． 8. 如图，一圆形信号灯分成四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（ ） A. 18 B. 24 C. 30 D. 42 【答案】A 【解析】 【分析】根据涂色问题，按照使用颜色种数进行分类，再结合分步计数原理，即可得总的方法数. 【详解】若用3种不同的颜色灯带，故有两块区域涂色相同，要么，要么相同，有2种方案，则不同的信号数为； 若只用2种不同的颜色灯带，则颜色相同，颜色相同，只有1种方案，则不同的信号数为； 则不同的信号总数为. 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为10，短半轴长为4，则椭圆的标准方程可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】求出，得到椭圆方程. 【详解】由题意，，故， 椭圆的标准方程可能为或． 故选：AC． 10. 已知等差数列的公差，其前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 是等差数列 B. 若，则有最大值 C. ，，成等差数列 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等差数列前n项和应用对应证明等差判断A,应用数列正负求前n项和的最大值，特殊值法判断C,结合等差数列性质判断D. 【详解】，，故A正确； 若，则，最大；若，，最大； 若，则，则存在，，，故最大，故B正确； 对数列：1，2，3，…，取，，，，故C错误； 不妨设，则， 即，∴， 而，故，D正确． 故选:ABD． 11. 已知函数的最大值为1，则（ ） A. B. 当时， C. D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数求最值，结合已知可得，可判断A；利用单调性可判断BC；将目标不等式转化，构造函数，利用导数求最值可判断D. 【详解】对A，，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在单调递减， 所以当时取得最大值，解得，A正确； 对B，由上可知，在上单调递增，在单调递减， 因为，所以，B错误； 对C，因为，所以，所以，C正确； 对D，当时，，不等式成立， 当时，， 记，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在 上单调递减， 所以当时，取得最大值， 综上，当时，不等式成立，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数满足，且是偶函数，在上有，则_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据及是偶函数代入可得. 【详解】由题意可知． 故答案为： 13. 已知抛物线的焦点为，则抛物线的准线方程为______；抛物线的焦点为，若直线分别与，交于，两点，且，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据抛物线方程求出准线方程；设，利用抛物线定义求出，运算得解. 【详解】由抛物线，可得，抛物线的准线方程为. 设， 则， 故，所以， 所以，解得. 故答案为：；. 14. 已知正方体的棱长为2，M为的中点，球O与正方体的各个表面都相切，则平面MBD截球O所得截面的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设BD，AC交于Q，作于H，证明平面，所求截面为以H为圆心的小圆，求圆的面积即可. 【详解】如图： 设BD，AC交于Q，作于H， 在正方体中， 平面，平面， 所以，又，， 所以平面，平面， 所以，又，，且两直线在平面BMD内， 所以平面， 在中，求得，故所求截面为以H为圆心的小圆， 半径为，故所求面积为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 在中，内角所对的边分别为. （1）求； （2）若，求的面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用倍角公式以及正弦定理即可得结果； （2）利用余弦定理结合基本不等式可得，即可得面积最大值. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得，则， 且，所以. 【小问2详解】 由余弦定理可得，即， 可得，即， 当且仅当时，等号成立， 所以的面积的最大值为. 16. 某学校对高三（1）班50名学生第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为，化学成绩的方差为，其中且1分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩，关于的线性回归方程为. （1）求与的样本相关系数； （2）从概率统计规律来看，本次考试高三（1）班学生数学成绩服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值.试估计该校共800名高三学生中，数学成绩位于区间的人数. 附：①回归方程中： ②样本相关系数 ③若，则 ④ 【答案】（1） （2）652 【解析】 【分析】（1）根据方差和求出，，然后代入公式可得； （2）由求出，然后根据特殊区间求出，然后可得. 【小问1详解】 因为， 所以， 又，所以， 所以. 【小问2详解】 因为，， 所以，解得，即， 因为，所以， 所以数学成绩服从正态分布， 因为 ， 所以该校高三学生数学成绩位于区间大约有人. 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，是等边三角形，且平面平面，点为棱的中点. （1）求证：； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）取中点，证明，证明平面，由此得，从而再证得平面，最后得证结论成立； （2）以为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，确定各点坐标，分别求出平面与平面的一个法向量，由法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值． 【小问1详解】 如图，取中点，连接，， 因为是中点，所以， 是菱形，则，所以， 又是等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以； 【小问2详解】 ，则和都是等边三角形， 连接，则，， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 设，则，， 因此有，，，，， 是中点，则， ，，，， 设平面的一个法向量是，则 ，取得， 易知平面的一个法向量是，则 ，取，则， ， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 18. 已知双曲线的渐近线方程为，且过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）若双曲线的右焦点为，点，过点的直线交双曲线于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2），或或. 【解析】 分析】（1）根据题意得，进而解方程即可得答案； （2）由题知，进而先讨论直线的斜率不存在不满足条件，再讨论的斜率存在，设方程为，设，进而与双曲线方程联立得线段中点为，再结合题意得，进而再分和两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 解：因为双曲线的渐近线方程为，且过点， 所以，，解得 所以，双曲线的标准方程为 【小问2详解】 解：由（1）知双曲线的右焦点为， 当直线的斜率不存在时，方程为，此时， ， 所以，直线的斜率存在，设方程为， 所以，联立方程得 所以，且， 所以， 设， 则 所以， 所以，线段中点， 因为， 所以，点在线段的中垂线上， 所以， 所以，当时，线段中点为，此时直线的方程为，满足题意； 当时，， 所以，，整理得，解得或，满足. 综上，直线的方程为，或或. 19. 已知函数，定义域为. （1）讨论的单调性； （2）求当函数有且只有一个零点时，的取值范围. 【答案】（1）答案见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分和，根据二次方程根的个数以及韦达定理分析判断的符号，进而可得的单调性； （2）参变分离可得，构建，求导，利用导数判断的单调性，进而可得结果. 【小问1详解】 因为， （ⅰ）当，即时，则在内恒成立， 可知在内单调递增； （ⅱ）当，即或时，可知有两个不相等的根， 不妨令，可知， ①若，因为，可知， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； ②若，因为，可知， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； 综上所述：当时，在内单调递增； 当时，在内单调递减，在内单调递增； 当时，在内单调递减，在内单调递增. 小问2详解】 若，可知在内无零点，不合题意，可知 令，整理得， 构建， 原题意等价于与的图象有且仅有一个交点， 因为， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则，即在内恒成立， 可知在内单调递减， 且当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0且； 的大致图象如图所示， 可得，即，所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凌源高中2024～2025学年度第二 学期期末考试 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前、先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交 5．本卷主要考查内容：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，，则（ ） A 6 B. 3 C. D. 4. 已知函数，为偶函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 5. 陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如图，已知一木制陀螺的圆柱的底面直径为6，圆柱和圆锥的高均为4，则该陀螺的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知甲组数据：1，3，5，7，9，11，乙组数据：2，4，8，16，根据不同组别，用分层抽样的方法随机抽取一个容量为5的样本，则该样本的平均数不可能是（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 8. 如图，一圆形信号灯分成四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（ ） A. 18 B. 24 C. 30 D. 42 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为10，短半轴长为4，则椭圆的标准方程可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知等差数列的公差，其前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 等差数列 B. 若，则有最大值 C. ，，成等差数列 D. 若，，则 11. 已知函数的最大值为1，则（ ） A. B. 当时， C. D 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数满足，且是偶函数，在上有，则_______． 13. 已知抛物线焦点为，则抛物线的准线方程为______；抛物线的焦点为，若直线分别与，交于，两点，且，则______． 14. 已知正方体的棱长为2，M为的中点，球O与正方体的各个表面都相切，则平面MBD截球O所得截面的面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 在中，内角所对的边分别为. （1）求； （2）若，求的面积的最大值. 16. 某学校对高三（1）班50名学生第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为，化学成绩的方差为，其中且1分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩，关于的线性回归方程为. （1）求与的样本相关系数； （2）从概率统计规律来看，本次考试高三（1）班学生数学成绩服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值.试估计该校共800名高三学生中，数学成绩位于区间的人数. 附：①回归方程中： ②样本相关系数 ③若，则 ④ 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，是等边三角形，且平面平面，点为棱的中点. （1）求证：； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知双曲线的渐近线方程为，且过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）若双曲线右焦点为，点，过点的直线交双曲线于两点，且，求直线的方程. 19. 已知函数，定义域为. （1）讨论的单调性； （2）求当函数有且只有一个零点时，的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $