精品解析：甘肃庆阳市环县第四中学2025-2026学年高一第二学期期末考试数学试卷

环县四中2025~2026学年度第二学期期末考试 高一数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：湘教版必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 3. 工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（ ） A. 两条相交直线确定一个平面 B. 两条平行直线确定一个平面 C. 四点确定一个平面 D. 直线及直线外一点确定一个平面 4. 如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 太行山在河南的最高峰——济源斗顶，远近闻名.如图，某校高一年级数学实践小组为了测其高度.在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走a m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，若，，，，则山高为（ ）（图中的点A，B，P，C，Q均在同一个铅直平面内） A. 2000m B. m C. 1000m D. m 8. 如图，在正四面体ABCD中．点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，若，则实数m的值可以为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 10. 从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是（ ） A. “至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件 B. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件 C. “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件 D. “至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件 11. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则 C. 若，则是钝角三角形 D. 若不是直角三角形，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆柱的底面圆周的半径为5，高为8，则该圆柱的表面积为__________． 13. 从这4个数中一次随机抽取两个数，则所取两个数之和为9的概率是__________. 14. _____． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知向量． （1）求； （2）设向量的夹角为，求的值． 16. 如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． （1）证明：平面PAC； （2）证明：平面平面PBC． 17. 近期九江市各部门掀起创建文明城市高潮，为增强师生创建全国文明城市意识，某校组织了一次教师创建全国文明城市知识考核，每位教师必需参加且最多参加次考核，一旦第一次考核通过则不再参加第二次考核，次考核未通过的教师将被扣除文明积分.已知教师甲每次考核通过的概率为，教师乙每次考核通过的概率为，且甲乙每次是否通过相互独立. （1）求乙通过考核的概率； （2）求甲乙两人考核的次数和为的概率. 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，且，求的面积． 19. 如图，在直三棱柱中，，. （1）求证：； （2）求与平面所成的角的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 环县四中2025~2026学年度第二学期期末考试 高一数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：湘教版必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的乘法运算法则求解即可. 【详解】. 故选：B 2. 已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】D 【解析】 【分析】利用对立事件概率公式和互斥事件加法公式计算即可. 【详解】由和对立，，可得，解得， 又由随机事件和互斥可知， 由， 将代入计算可得. 故选：D. 3. 工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（ ） A. 两条相交直线确定一个平面 B. 两条平行直线确定一个平面 C. 四点确定一个平面 D. 直线及直线外一点确定一个平面 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面的基本性质求解. 【详解】解：由于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格， 所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”. 故选：A 4. 如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，根据可求出的值，作出的图形，利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】设，过点作轴，垂足为点，设，如下图所示： 则，故，可得， 还原原的图形如下图所示，则，， 故. 故选：A. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 6. 已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设该圆锥的底面圆半径为，由弧长公式求出，即可求出圆锥的高，再由锥体的体积公式计算可得. 【详解】设该圆锥的底面圆半径为，所以，解得， 所以该圆锥的高， 所以该圆锥的体积． 故选：B． 7. 太行山在河南的最高峰——济源斗顶，远近闻名.如图，某校高一年级数学实践小组为了测其高度.在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走a m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，若，，，，则山高为（ ）（图中的点A，B，P，C，Q均在同一个铅直平面内） A. 2000m B. m C. 1000m D. m 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，，，然后由正弦定理可得，最后在中，由三角函数知识可得答案. 【详解】因为，，又因为， 所以，，所以. 在中，，，，， 由正弦定理得：，即，解得. 在中，，，， 所以. 8. 如图，在正四面体ABCD中．点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点E作直线BD的平行线，交AB于点F，连接CF，则为异面直线EC与BD所成角或其补角，利用余弦定理求解即可. 【详解】过点E作直线BD的平行线，交AB于点F，连接CF， 则为异面直线EC与BD所成角或其补角， 不妨设，易得， ， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线EC与BD所成角的余弦值为． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，若，则实数m的值可以为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量垂直列出方程，求出实数m的值. 【详解】因为，所以， 解得或0或． 故选：ABC 10. 从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是（ ） A. “至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件 B. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件 C. “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件 D. “至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件 【答案】BD 【解析】 【分析】由互斥事件及对立事件的定义进行依次判断． 【详解】“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故A错误； “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故B正确； “恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故C错误； “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故D正确． 故选：BD． 11. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则 C. 若，则是钝角三角形 D. 若不是直角三角形，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由正弦定理及余弦定理判断A,B,C项，由两角和的正切公式判断D项． 【详解】因为，由正弦定理得 ，即，所以或， 即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故A错误； 由正弦定理得，故B正确； 因为，由正弦定理得， 所以，所以，所以是钝角三角形，故C正确； 由不是直角三角形且，得，所以，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆柱的底面圆周的半径为5，高为8，则该圆柱的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱的表面积公式即可代入求解. 【详解】因为圆柱的底面圆的半径为5、高为8，所以圆柱底面圆的周长为， 所以该圆柱的表面积为． 故答案为： 13. 从这4个数中一次随机抽取两个数，则所取两个数之和为9的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合古典概型，利用列举法找到所有基本事件，从而计算出概率. 【详解】从这4个数中一次随机抽取两个数的所有基本事件有，共6个， 所取2个数之和为9的基本事件有，共2个， 故所求概率. 故答案为：. 14. _____． 【答案】 【解析】 【分析】由，利用两角和的正切公式变形即可得解. 【详解】， ， ． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知向量． （1）求； （2）设向量的夹角为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由求出，从而可求出的坐标，进而可求出模； （2）直接利用向量的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 由可得，， 即， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以． 16. 如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． （1）证明：平面PAC； （2）证明：平面平面PBC． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题设易得，进而根据线面平行的判定定理求证即可； （2）由题设可得，，结合可得，进而得到平面POD，再根据面面垂直的判定定理求证即可. 【小问1详解】 因为O为底面圆心，AB为底面直径，所以点O为AB的中点， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC； 【小问2详解】 因为点C在底面圆周上，所以， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为AB为底面直径，所以， 又因为，所以， 而，PD，平面POD，所以平面POD， 因为平面PBC，所以平面平面PBC． 17. 近期九江市各部门掀起创建文明城市高潮，为增强师生创建全国文明城市意识，某校组织了一次教师创建全国文明城市知识考核，每位教师必需参加且最多参加次考核，一旦第一次考核通过则不再参加第二次考核，次考核未通过的教师将被扣除文明积分.已知教师甲每次考核通过的概率为，教师乙每次考核通过的概率为，且甲乙每次是否通过相互独立. （1）求乙通过考核的概率； （2）求甲乙两人考核的次数和为的概率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据互斥事件分类再结合独立事件概率求解； （2）根据互斥事件分类再结合独立事件概率求解. 【小问1详解】 乙第一次考核通过的概率， 乙第二次考核通过的概率为， 乙通过考核的概率为； 【小问2详解】 甲考核1次，乙考核2次的概率； 甲考核2次，乙考核1次的概率； 甲乙两人的考核次数和为3的概率. 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理求出，再由，得； （2）由已知条件及正弦定理得，根据余弦定理得，求出，最后根据面积公式计算即可. 【小问1详解】 因为，， 所以由正弦定理得, ， 又，所以， 又， 所以. 【小问2详解】 由，则， 故，，所以， 所以， 又，整理得， 则， 解得， 所以的面积为． 19. 如图，在直三棱柱中，，. （1）求证：； （2）求与平面所成的角的大小. 【答案】（1）连接与相交于点D，如图所示， 在直棱柱中，平面，平面， ， 又，，平面， 所以，平面， 平面， ， ， 四边形为菱形，即， ，且平面， 平面， 平面， . （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明线面垂直后再证明线线垂直. （2）证明线面垂直后找出线面角进而通过线段长度求解角度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，如图所示； ，， 平面，平面， ， ，且平面， 平面， 是在面内的射影，是与平面所成角的平面角. 在中，易知，， ， ，即与平面所成的角的大小为30°. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $