第13章 三角形章末测试卷2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学三角形单元复习卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合现实情境（如渔船航行、龟兔赛跑）与文化素材（《周礼·考工记》），考查三角形性质、判定及综合应用，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形三边关系、内角和、稳定性等|结合生活情境（双人漫步机）| |填空题|5/15|三边关系、内角计算、面积问题等|融入文化元素（《周礼·考工记》）| |解答题|8/75|折叠问题、方位角、证明与探究|梯度设计，综合考查推理与应用|

三角形章末测试卷 （时间：100分钟 分值：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．小彤家和大苍家与学校的距离分别是5 km和3 km，记小彤家、大苍家两地之间的距离为d km，那么d的取值不可能是（　　）． A．1 B．2 C．3 D．8 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE过点C且平行于AB，若∠BCE＝35°，则∠A的度数为（　　）． A．35° B．45° C．55° D．65° 3．如图，双人漫步机是一种有氧运动器材，该器材能较为稳定地摆放在水平地面上，这种设计应用的几何原理是（　　）． A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条线段 D．垂线段最短 4．如图，∠AOB＝35°，∠ABD＝110°，则∠OAB的度数为（　　）． A．65° B．70° C．75° D．80° 5．在△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC是（　　）． A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 6．如图，已知D是BC的中点，AE，AF分别是△ABC的角平分线和高，则下列结论正确的是（　　）． A．AD＝CD B．∠CAE＝∠BAC C．∠AEB＝90° D．DF＝CF 7．如图，△ABC的边AC，BC与长方形分别相交于点A，E，D，F，如果∠C＝90°，∠B＝30°，∠BAF＝15°，那么∠CDE＝（　　）． A．35° B．40° C．45° D．50° 8．如图，已知△ABC中，点D，E分别是边BC，AB的中点．若△ABC的面积为8，则 △BDE的面积为（　　）． A．2 B．3 C．4 D．5 9．如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE是∠ACB的平分线，BD，CE交于点F，若∠AEC＝80°，∠BFC＝128°，则∠ABC的度数是（　　）． A．28° B．38° C．42° D．62° 10．如图，AB⊥CD于点O，点E，F分别是射线OA，OC上的动点（不与点O重合），延长FE至点G，∠BOF的平分线及其反向延长线分别交∠FEO和∠GFO的平分线于点M，N．若△MEN中有一个角是另一个角的4倍，则∠EFO的度数为（　　）． A．36°或45° B．30°或60° C．45°或60° D．72°或45° 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知三角形的三边长分别是6，18，x，则x的取值范围是__________． 12．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝30°，则∠C＝__________． 13．如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝______． 14．如图，已知∠AON＝56°，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A＝______． 15．《周礼·考工记》中记载有：“半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）．”意思是：直角的一半的角叫作宣，一宣半的角叫作欘，即1宣＝矩，1欘＝宣（其中，1 矩＝90°）． 问题：中国古代的一种强弩图如图①所示，这种强弩图的部分组件的示意图如图②所示，若∠A＝1矩，∠B＝1欘，则∠C＝______°． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16．（8分）如图，将△ABC沿着DE折叠，若∠1＋∠2＝80°，求∠B的度数． 17．（8分）如图，有一艘渔船上午9时在A处沿正东方向开始航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，行驶2 h到达B处，在B处测得灯塔C在北偏东15°方向上．试求△ABC各内角的度数． 18．（9分）如图，第二次龟兔赛跑时，聪明的乌龟设计的是从点A到点B，因A，B之间有猎人的陷阱，乌龟让兔子沿路线A→C→B前进，而它沿路线A→D→E→B前进．乌龟告诉兔子说，兔子只跑三角形的两边(AC＋CB)，而它要跑四边形的三边(AD＋DE＋EB)．这样自己跑的路程比兔子跑的路程多．请你用所学过的知识说明它们谁跑的路程多． 19．（9分）如图，已知AD是△ABC的边BC上的中线． （1）作出△ABD的边BD上的高AE； （2）若G是AD的中点，△ABG的面积为3，且△ABD中，BD边上的高为3，求BC的长． 20．（9分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交边AB于点E，在边AE上取点F，连接DF，使∠1＝∠D． （1）求证：DF∥BC； （2）当∠A＝36°，∠DFE＝34°时，求∠2的度数． 21．（10分）综合与实践． 主题：探究平行线的性质与判定． 材料：两个三角尺（一个含30°，另一个含45°）、两根相同的长木棒． 步骤1：如图，摆放两根木棒使MN∥PQ（可上下平移调节距离）． 步骤2：将两个三角尺按如图所示的方式进行摆放，恰好满足∠NAC＝20°，∠DAB＝60°． （1）∠ABQ的度数为_________，∠CBQ的度数为________； （2）试判断AB与DE的位置关系，并说明理由． 22．（10分）【概念定义】 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，60°，15°的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图①，∠MON＝60°，点A在射线OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以点A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）． （1）∠ABO的度数为_________，△AOB_________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （2）若∠ACB＝84°，求证：△AOC是“和谐三角形”． 【应用拓展】 （3）如图②，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC＋∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“和谐三角形”，请求出∠B的度数． 23．（12分）问题情境：如图①，在同一平面内，点B和点C分别位于三角尺PMN的两条直角边PM，PN上，点A与点P在直线BC的同侧，若点P在△ABC内部，则∠ABP，∠ACP与∠A的大小是否满足某种确定的数量关系？ （1）特殊探究：若∠A＝40°，则∠ABC＋∠ACB＝______°，∠PBC＋∠PCB＝___°，∠ABP＋∠ACP＝_______°． （2）类比探索：请猜想∠ABP＋∠ACP与∠A的关系，并说明理由． （3）类比延伸：改变点A的位置，使点P在△ABC外，其他条件都不变，判断（2） 中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠ABP，∠ACP与 ∠A满足的数量关系式． （4）深入探究：如图②，过点A作直线EF∥PM，若∠BAC＝40°，∠ACP＝20°，求∠CAF的度数． 参考答案 1．【答案】A 【解析】（1）当小彤家、大苍家都在学校同侧，且三点在同一直线上时，d＝5－3＝2． （2）当小彤家、大苍家在学校两侧，且三点在同一直线上时，d＝5＋3＝8． （3）当小彤家、大苍家与学校不在同一直线上时，根据三角形三边关系，知5－3＜d＜5＋3，即2＜d＜8．因此d的取值范围为2≤d≤8，所以d的取值不可能是1． 2．【答案】C 【解析】因为AB∥DE，∠BCE＝35°，所以∠B＝∠BCE＝35°． 又因为∠ACB＝90°，所以∠A＝90°－35°＝55°． 3．【答案】A 【解析】因为双人漫步机采用三角形支架固定，所以这种设计应用的几何原理是三角形的稳定性，故选A． 4．【答案】C 【解析】因为∠AOB＝35°，∠ABD＝110°，所以∠OAB＝∠ABD－∠AOB＝75°． 故选C． 5．【答案】B 【解析】因为∠A＋∠B＝∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠A＋∠B＝90°，所以 △ABC是直角三角形．故选B． 6．【答案】B 【解析】因为D是BC的中点，所以BD＝DC，但AD与CD不一定相等，故A选项错误，不符合题意；因为AE是△ABC的角平分线，所以∠CAE＝∠BAC，故B选项正确，符合题意；因为AE是△ABC的角平分线，不是高，所以∠AEB不等于90°，故C选项错误，不符合题意；DF与CF的关系不确定，故D选项错误，不符合题意．故选B． 7．【答案】C 【解析】因为∠B＝30°，∠BAF＝15°，所以∠CFA＝∠B＋∠BAF＝30°＋15°＝45°．因为DE∥AF，所以∠CDE＝∠CFA＝45°．故选C． 8．【答案】A 【解析】因为点D是边BC的中点，所以AD是△ABC的中线，所以S△ABD＝S△ABC＝4． 因为E是AB的中点，所以DE是△ABD的中线，所以S△BDE＝S△ABD＝×4＝2． 故选A． 9．【答案】C 【解析】因为BD是边AC上的高，所以∠BDC＝90°． 因为∠BFC＝∠ACE＋∠BDC，所以∠ACE＝∠BFC－∠BDC＝128°－90°＝38°． 因为∠AEC＝80°，所以∠A＝180°－38°－80°＝62°． 因为CE是∠ACB的平分线，所以∠ACB＝2∠ACE＝76°． 所以∠ABC＝180°－62°－76°＝42°．故选C． 10．【答案】A 【解析】由题意，知EM平分∠FEO，EN平分∠GEO，所以∠MEB＝∠FEO，∠NEB＝ ∠GEO，所以∠MEB＋∠NEB＝（∠FEO＋∠GEO）＝90°，即∠MEN＝90°． 由△MEN中有一个角是另一个角的4倍可分为以下四种情况： ①当∠MEN＝4∠M时，∠M＝22．5°．因为OM平分∠BOC，所以∠MOB＝45°．所以∠MEO＝∠MOB－∠M＝45°－22．5°＝22．5°，所以∠FEO＝2∠MEO＝45°，所以∠EFO＝90°－45°＝45°． ②当∠MEN＝4∠N时，∠N＝22．5°，所以∠M＝90°－22．5°＝67．5°＞45°，此种情况不成立． ③当∠N＝4∠M时，设∠M＝x°，则∠N＝4x°，所以x＋4x＝90，解得x＝18，所以∠MEO＝∠MOB－∠M＝45°－18°＝27°，所以∠FEO＝2∠MEO＝54°，所以 ∠EFO＝90°－54°＝36°． ④当∠M＝4∠N时，设∠N＝y°，则∠M＝4y°，所以y＋4y＝90，解得y＝18，所以 ∠M＝4×18°＝72°＞45°，此种情况不成立． 综上所述，∠EFO的度数为36°或45°．故选A． 11．【答案】12＜x＜24 【解析】根据三角形的三边关系，得18－6＜x＜6＋18，即12＜x＜24． 12．【答案】110° 【解析】在△ABC中，∠B＝30°，∠A＝40°，所以∠C＝180°－∠A－∠B＝110°． 13．【答案】2 【解析】因为点D是AC的中点，S△ABC＝12，所以S△ABD＝×12＝6． 因为EC＝2BE，S△ABC＝12，所以S△ABE＝×12＝4． 所以S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2． 14．【答案】90°或34° 【解析】当∠A＝90°时，△AOP为直角三角形； 当∠APO＝90°时，因为∠AON＝56°， 所以∠A＝90°－∠AON＝34°． 综上所述，∠A的度数为90°或34°． 15．【答案】22．5 【解析】因为1宣＝矩，1欘＝宣，1矩＝90°，∠A＝1矩，∠B＝∠1欘，所以 ∠A＝90°，∠B＝××90°＝67．5°，所以∠C＝180°－90°－∠B＝180°－ 90°－67．5°＝22．5°． 16．【答案】解：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°，即∠A＋∠C＝180°－∠B．① 在△BDE中，∠B＋∠BED＋∠BDE＝180°，即∠BED＋∠BDE＝180°－∠B．② 在四边形ACDE中，∠A＋∠C＋∠BED＋∠BDE＋∠1＋∠2＝360°，③ ∠1＋∠2＝80°．④ 把①②④代入③，得2∠B＝80°，解得∠B＝40°． 17．【答案】解：由题意，知∠MAC＝60°，∠NBC＝15°，则∠CAB＝90°－60°＝30°，∠ABC＝90°＋15°＝105°，所以∠C＝180°－∠CAB－∠ABC＝45°． 18．【答案】解：兔子跑的路程多．理由如下： 如图，将DE向两方延长，分别交AC，BC于点M，N． 由三角形的三边关系，得CM＋CN＞MN，AM＞AD－DM， BN＞BE－EN． 所以CM＋CN＋AM＋BN＞MN＋AD－DM＋BE－EN， 即AC＋BC＞AD＋DE＋BE． 所以兔子跑的路程比乌龟跑的路程多． 19．【答案】解：（1）如图所示，线段AE即为所求． （2）因为G是AD的中点，△ABG的面积为3， 所以△ABD的面积为6． 因为AE⊥BD，所以S△ABD＝BD·AE＝×3BD＝6， 所以BD＝4． 因为AD是△ABC的边BC上的中线，所以BC＝2BD＝8． 20．【答案】（1）证明：因为CD平分∠ACB，所以∠DCB＝∠1． 因为∠1＝∠D，所以∠DCB＝∠D，所以DF∥BC． （2）解：因为DF∥BC，∠DFE＝34°， 所以∠B＝∠DFE＝34°． 在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝34°， 所以∠ACB＝180°－36°－34°＝110°． 因为CD平分∠ACB， 所以∠1＝∠ACB＝55°， 所以∠2＝180°－∠A－∠1＝180°－36°－55°＝89°． 21．【答案】解：（1）因为∠NAC＝20°，∠BAC＝45°， 所以∠BAN＝45°＋20°＝65°． 因为MN∥PQ，所以∠BAN＋∠ABQ＝180°， 所以∠ABQ＝180°－65°＝115°． 因为∠ABC＝90°， 所以∠CBQ＝115°－90°＝25°． 故答案为115°；25°． （2）AB∥DE．理由如下： 由（1），知∠ABQ＝115°， 所以∠ABD＝180°－115°＝65°． 因为∠DAB＝60°， 所以∠ADB＝180°－∠DAB－∠ABD＝55°， 所以∠BDE＝∠ADE＋∠ADB＝60°＋55°＝115°， 所以∠BDE＝∠ABQ＝115°， 所以AB∥DE． 22．【答案】（1）解：因为AB⊥OM， 所以∠OAB＝90°， 所以∠ABO＝90°－∠O＝30°， 所以∠OAB＝3∠ABO， 所以△AOB不是“和谐三角形”． 故答案为30°；不是． （2）证明：因为∠ACB是△AOC的一个外角， 所以∠ACB＝∠AOC＋∠OAC． 又因为∠AOC＝∠MON＝60°，∠ACB＝84°， 所以∠OAC＝∠ACB－∠AOC＝24°． 因为∠ACO＝180°－∠ACB＝180°－84°＝96°， 所以∠ACO＝4∠OAC， 所以△AOC是“和谐三角形”． （3）解：因为∠EFC＋∠BDC＝180°，∠ADC＋∠BDC＝180°， 所以∠EFC＝∠ADC， 所以AD∥EF， 所以∠DEF＝∠ADE． 因为∠DEF＝∠B， 所以∠B＝∠ADE， 所以DE∥BC， 所以∠CDE＝∠BCD． 因为DE平分∠ADC， 所以∠ADE＝∠CDE， 所以∠B＝∠BCD． 因为△BCD是“和谐三角形”， 所以∠BDC＝4∠B或者∠B＝4∠BDC． 因为∠BDC＋∠BCD＋∠B＝180°， 所以∠B＝30°或∠B＝80°． 23．【答案】解：（1）在△ABC中，因为∠A＝40°， 所以∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝180°－40°＝140°． 在△BPC中，因为∠P＝90°， 所以∠PBC＋∠PCB＝180°－∠P＝180°－90°＝90°． 因为∠ABC＋∠ACB＝140°，∠PBC＋∠PCB＝90°， 所以∠ABP＋∠ACP＝∠ABC＋ACB－（∠PBC＋∠PCB）＝140°－90°＝50°． 故答案为140，90，50． （2）猜想：∠ABP＋∠ACP＝90°－∠A．理由如下： 在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A． 因为∠ABC＝∠ABP＋∠PBC，∠ACB＝∠ACP＋∠PCB， 所以（∠ABP＋∠PBC）＋（∠ACP＋∠PCB）＝180°－∠A， 所以（∠ABP＋∠ACP）＋（∠PBC＋∠PCB）＝180°－∠A． 又因为在Rt△PBC中，∠P＝90°， 所以∠PBC＋∠PCB＝90°， 所以（∠ABP＋∠ACP）＋90°＝180°－∠A， 所以∠ABP＋∠ACP＝90°－∠A． （3）判断：（2）中的结论不成立． ①如图1，结论：∠A＋∠ACP－∠ABP＝90°． 设AB交PN于点O． 因为∠AOC＝∠BOP， 所以∠A＋∠ACP＝90°＋∠ABP， 所以∠A＋∠ACP－∠ABP＝90°． ②如图2，结论：∠A＋∠ABP－∠ACP＝90°．证明方法类似①． ③如图3，结论：∠A－∠ABP－∠ACP＝90°． 因为∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∠P＋∠ABP＋∠ACP＋∠ABC＋∠ACB＝180°， 所以∠A＝∠P＋∠ABP＋∠ACP， 所以∠A－∠ABP－∠ACP＝90°． （4）因为EF∥PM，所以∠EAB＝∠ABP． 又因为∠CAF＝180°－∠EAB－∠BAC， 所以∠CAF＝180°－∠ABP－∠BAC＝140°－∠ABP． 由（2），知∠ABP＋∠ACP＝90°－∠BAC＝90°－40°＝50°， 所以∠ABP＝50°－∠ACP＝50°－20°＝30°． 所以∠CAF＝140°－∠ABP＝140°－30°＝110°． 学科网（北京）股份有限公司 $