精品解析：重庆市巫山县2026年春季期末质量检测八年级数学试卷

2026年春季期末质量检测 八年级数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在括号里． 1. 的绝对值为（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的绝对值等于7， 故选A． 2. 下列数学符号中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形定义逐一判断即可． 【详解】解：、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故此选项符合题意； 、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 、是轴对称图形，故此选项不符合题意． 3. 已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（ ） A. 13 B. 15 C. 17 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】因为直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，所以代入两条直角边的数值，计算平方和后开平方即可得到斜边长． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为5和12， ∴斜边长为. 4. 如图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．在下列选项中，白昼时长不足11小时的节气是（ ） A. 惊蛰 B. 立夏 C. 秋分 D. 冬至 【答案】D 【解析】 【分析】观察函数图象，找出纵坐标小于的点对应的节气． 【详解】解：由图象可知，惊蛰、立夏、秋分对应的白昼时长均大于小时，冬至对应的白昼时长小于小时，  白昼时长不足小时的节气是冬至 ． 5. 已知一次函数的解析式为，下列说法正确的是（ ） A. 随的增大而减小 B. 图象经过第二象限 C. 图象与轴交于点 D. 图象与轴交于点 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、对于一次函数，∵ ，∴ 随的增大而增大，该选项不符合题意； B、∵ ，，∴ 函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，该选项不符合题意； C、令，得，∴ 图象与轴交于点，该选项符合题意； D、令，得，解得，∴ 图象与轴交于点，该选项不符合题意； 故答案为C． 6. 某射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选拔一人参加市运会，他们10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差如下表所示．根据表中的数据，要选择一名成绩好且发挥稳定的队员参赛，应选择（ ） 队员 甲 乙 丙 丁 平均数 9.2 9.2 9.3 9.3 方差 0.035 0.015 0.035 0.015 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数越大，方差越小，成绩越好越稳定求解即可． 【详解】解：∵丙、丁的平均数为，大于甲、乙的， ∴丙、丁成绩较好， ∵丁的方差为，小于丙的， ∴丁发挥更稳定，应选丁． 7. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的除法得到，再进行无理数的估算即可． 【详解】解：． ． 又． ． 即． ． 8. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有16个正方形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中正方形的个数为（ ） A. 51 B. 64 C. 66 D. 81 【答案】B 【解析】 【分析】根据前三个图案中正方形个数的数值特征，归纳出第个图案的通项公式． 【详解】解：观察图形可知， 第①个图案正方形个数为， 第②个图案正方形个数为， 第③个图案正方形个数为，  第个图案正方形个数为， 当时，． 9. 如图，正方形中，、分别在边、上，且，、是、与对角线的交点．若，，则正方形的面积为（ ） A. 60 B. 64 C. 72 D. 98 【答案】C 【解析】 【分析】过点A作，且使得，连接，证明，得到，，则可证明，可求出；再证明，得到，则；由勾股定理得，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作，且使得，连接 ∵四边形是正方形， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴，即， ∴正方形的面积为72． 10. 在整式，之间插入它们的平均数：，记作第一次操作，在与之间和与之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推． ①第二次操作后，从左往右第四个整式为； ②经过三次操作后，若，，则所有整式的值之和为10； ③经过10次操作后，将得到1025个整式． 以上三个结论正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】抓住每次操作插入相邻两整式的平均数、两端整式不变的特点，分别验证三个结论． 【详解】解：初始整式为，，每次操作仅在相邻整式间插入平均数，两端整式不变． ① 第一次操作插入的平均数为， ∴ 第一次操作后整式序列为，，，共3个． ∵ 第二次操作需在相邻两组间分别插入平均数，与的平均数为，与的平均数为， ∴ 第二次操作后整式序列为，，，，，共5个． ∴ 从左往右第四个整式为， 故①正确． ② 代入，，得初始两整式的值为，． 第一次操作后三个整式的值为，，，和为． 第二次操作后五个整式的值为，，，，，和为． 第三次操作后九个整式的值为，，，，，，，，， 和为， 故②错误． ③ 设第次操作后整式个数为，初始． ∵ 每次操作后新增整式个数等于原有整式的间隔数，即， ∴ ． 计算得：，，，．．． ∴ 第次操作后整式个数为．当时，， 故③正确． 综上，正确的结论有2个． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在对应横线上． 11. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 12. 若代数式有意义，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵ 二次根式有意义， ∴ ， 移项，得， 两边同时除以，得． 13. 如果一个n边形的内角和比外角和多，那么n的值是______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式，任意多边形的外角和为，结合题意列出关于的一元一次方程，解方程即可得到的值． 【详解】解：边形的内角和为，任意多边形的外角和为， 根据题意列方程得： 解得． 14. 已知实数，满足，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的意义可求出的值，进而求出的值，即可得解． 【详解】解：对于， 当时，原式可化为，解得； 当时，原式可化为，无解； 将代入，得 ， 解得； 当时，； 当时，； 综上所述，． 15. 如图，已知矩形纸片，点和点分别是和上的点，将四边形沿折叠，使点和点重合．再将沿继续折叠，当点的对应点恰好落在线段上时，_______． 【答案】 【解析】 【分析】先由矩形和折叠的性质证明，推出，是等边三角形，得到，进而根据仙居线段和差关系等量代换即可得解． 【详解】解：由折叠可知：，， 矩形， ， ， ， ， ，即， ， 由折叠可知：， ， ，， 是等边三角形， ， 由折叠可知：， ， ． 16. 若一个三位正整数的百位数字比十位数字大4，则称这个数是“佳数”．例如：，，是“佳数”；例如：，，不是“佳数”．则最小的“佳数”是________．若“佳数”的百位数字、十位数字、个位数字依次为，，，并规定：，，其中是整数，且也是整数，则满足以上条件的所有“佳数”的和是_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】对于第一空，要使“佳数”最小，则百位数字最小，根据“佳数”的定义可确定此时的百位数字和十位数字，再令个位数字为0，即可得到最小的“佳数”；根据“佳数”的定义可得，根据和都是整数推出是5的倍数，是4的倍数，根据c的取值范围，讨论c的值，进而确定a、b的值，从而确定所有满足题意的N，最后求和即可得到答案． 【详解】解：∵要使“佳数”最小， ∴首先要保证百位数字最小， ∵百位数字比十位数字大4，且十位数字最小为0， ∴百位数字最小为4， ∴当个位数字为0时，“佳数”最小，即最小的“佳数”为400； ∵“佳数”的百位数字、十位数字、个位数字依次为，，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵是整数，即是整数， ∴是5的倍数； ∵， ∴， ∵是整数，即是整数， ∴是4的倍数， ∵， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∵是5的倍数， ∴， ∴， ∴， ∴此时N为842； 当时，， ∵， ∴， ∵是5的倍数， ∴或， ∴或， 当时，， 当时，， ∴此时N为406或956； 综上所述，N为406或842或956， ∴满足以上条件的所有“佳数”的和是． 三、解答题（本大题共9个小题，17、18小题各8分，19小题至25小题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤（填空题除外），画出必要的图形，包括辅助线．请将解答过程书写在对应的位置上． 17. 解不等式组，请根据题意完成问题． 解不等式，得：_______________ 解不等式，得：_______________ 在同一数轴上表示出不等式的解集： ∴不等式组的解集为_______________ 【答案】 ；；； 【解析】 【详解】解：解不等式，， ， 解得； 解不等式，， ， 解得． 解集在数轴上表示略； ∴不等式组的解集为． 18. 请完成以下作图和填空． （1）如图，在正方形中，点是对角线上的一点，连接，用直尺和圆规完成以下作图：过点作的垂线，与交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）． （2）求证：（补全证明过程）． 证明：四边形是正方形， ，． 在和中，， ．  ，_______________①． ，， ∴在四边形中，． ． ， ∴_______________②． 又， ∴_______________③． ∴_______________④． ， 【答案】（1）如图所示即为所作， （2）①；②；③；④ 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交直线于点，再分别以点为圆心，大于长度为半径画弧，记两段弧的交点为，连接直线，与线段的交点即为，再连接即可； （2）先证明，得到，根据正方形的一个直角和垂线所得直角，由四边形内角和得，根据平角两角互补证得，故，得到结论． 【小问1详解】 解：理由如下：以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交直线于点， ， 分别以点为圆心，大于长度为半径画弧，记两段弧的交点为， ， 在和中， ， ， ， ． 【小问2详解】 略 19. 为了让学生了解巫山的历史变迁，传承巫文化，某中学在八年级学生中举办了一场学习巫文化的知识竞赛，并从甲、乙两个校区各随机抽取20名学生的竞赛成绩，进行整理、描述和分析，并绘制成如下不完整的统计图表（竞赛成绩用表示，总分为100分，共分成四个等级，其中优秀：；良好：；合格：；不合格：），下面给出了部分信息： 甲校区中属于良好等级的学生成绩（单位：分）为： 80，80，81，82，82，82，86，89． 乙校区被抽取学生的成绩（单位：分）为： 58，62，65，68，71，75，76，77，80，83，83，83，83，84，90，90，91，92，94，95． 甲校区被抽取学生的成绩条形统计图 甲、乙两校区被抽取学生的成绩统计表 校区 甲校区 乙校区 平均数 80 80 中位数 83 众数 82 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______________，_______________，并补全条形统计图； （2）根据以上统计数据，你认为甲、乙两个校区中哪个校区的学生竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）已知甲校区八年级学生有240名，乙校区八年级学生有1000名，请估计这所中学这次竞赛成绩达到优秀等级的共有多少人？ 【答案】（1），83， 补全条形图如下： （2）解：乙校区的学生竞赛成绩更好， 理由：两个校区抽取学生成绩的平均数相同，乙校区成绩的中位数和众数都大于甲校区成绩， 乙校区的学生竞赛成绩更好；（答案不唯一，有理即可） （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义，即可求解；再根据条形图，计算出甲校区位于优秀等级的人数，补全条形图即可； （2）根据甲、乙校区的中位数、众数、优秀率等统计量，选择一个能体现成绩优劣的统计量进行分析即可； （3）根据用样本估计总体的方法，分别计算出两个校区优秀等级的人数，再求和即可． 【小问1详解】 解：由条形图可知，将甲校区20名学生的竞赛成绩从小到大排列，第10、11个数据位于良好等级中，为81和82， ； 在乙校区学生的成绩中，83出现的次数最多， ； 甲校区位于优秀等级的人数为：（人）， 补全条形图略； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， （人）， （人）， 答：估计这所中学这次竞赛成绩达到优秀等级的共有人． 20. 为实现核心素养导向的学习目标，走向综合性、实践性的课程学习变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组进行了“勾股定理在风筝场景中的应用”的项目式学习活动．请阅读资料并解决下列问题． 资料：如图，已知四边形为长方形，点，，，在同一直线上．某小组利用皮尺测得水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度米，最后测量放风筝的同学的身高米． 数据应用： （1）求此时风筝的垂直高度． （2）若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升18米到点的位置（上升过程中，线始终保持拉直状态），则还需要放出风筝线多少米？ 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】（1）根据长方形的性质得出直角三角形以及线段的长度，然后利用勾股定理求解； （2）利用勾股定理求出，然后求出线段差即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为长方形， ∴， 由勾股定理得， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， 由勾股定理得， ， ∴还需要放出风筝线米． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 化简结果为，值为 【解析】 【分析】根据整式的乘法、因式分解和分式的运算法则解题． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 22. 随着我国人工智能的高速发展，智能机器人一跃成为学生最喜爱的研究对象．某中学计划购进A型和B型两款智能机器人供社团使用．学校第一次购买了A型机器人5台、B型机器人3台，一共花费41000元．已知每台A型机器人比每台B型机器人多1000元． （1）求每台A型、B型机器人的单价分别是多少元？ （2）学校第二次准备分别用72000元再次采购A、B型机器人．商家推出优惠活动，降低了两种机器人的售价．已知降价后，每台A型机器人的售价是每台B型机器人售价的1.2倍．此次采购中，用72000元购买的B型机器人数量，比相同金额购买A型机器人的数量多3台．求优惠后每台B型机器人的单价． 【答案】（1）每台A型机器人的单价是5500元，每台B型机器人的单价是4500元 （2）优惠后每台B型机器人的单价是4000元 【解析】 【分析】（1）设每台A型机器人的单价是x元，每台B型机器人的单价是y元，根据题意列方程组并求解即可； （2）设优惠后每台B型机器人的单价是m元，则优惠后每台A型机器人的单价是元，根据题意列分式方程并求解即可． 【小问1详解】 解：设每台A型机器人的单价是x元，每台B型机器人的单价是y元， 根据题意，得 解得 答：每台A型机器人的单价是5500元，每台B型机器人的单价是4500元； 【小问2详解】 解：设优惠后每台B型机器人的单价是m元，则优惠后每台A型机器人的单价是元， 根据题意，得 解得 经检验，是所列方程的解且符合题意， 答：优惠后每台B型机器人的单价是 4000元． 23. 如图，在中，，，，点为线段上一定点，．点从点出发，以每秒1个单位的速度沿运动，到点后停止．连接、，设点的运动时间为秒（），的面积为． （1）直接写出关于的函数关系式，并注明自变量的取值范围； （2）在图2中画出（1）中函数的图象，并结合函数图象，写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出：当时，自变量的取值范围． 【答案】（1） （2）解：函数图象如下： 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小（答案不唯一）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据的运动轨迹，分两种情况讨论，分别用含的式子表示出三角形的高，求出面积，最后写出函数关系式及其自变量取值范围即可； （2）用两点法画出函数图象，写出性质即可； （3）根据函数与不等式的关系，结合图象，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， ，， ， 当时， 如图，作交于点， 在中，，， ， ， ， ，， ， ， 综上：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，，解得； 当时，，解得； 由图可知，当时，． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，． （1）求直线的函数表达式； （2）若是轴上一点，，求点的坐标； （3）若是直线上方且位于轴上一点，，判断的形状并说明理由． 【答案】（1）直线的函数表达式为． （2）点或． （3）是等腰直角三角形，理由如下： 作轴且交y轴于点H，轴且交x轴于点M， 则，， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵轴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵，， ， ∴，， ∴是等腰直角三角形． 【解析】 【分析】（1）首先根据直线的表达式求出点A坐标，接着根据得到点B坐标，将点B，点C同时代入中联立方程，求出k、b的值，进而得到直线的表达式． （2）根据直线、的表达式联立方程，求出交点D，得到两个三角形的高；其次结合的长度求出，进而得到的值；设点，将表示出来，再根据三角形面积计算公式求解，求出的值，进而得到点E． （3）首先过点D分别作x，y轴的垂线，得到的平行线，根据平行线性质得到内错角相等，通过相等的角代换得到是的角平分线，进而根据“直角三角形内，一直角边和它相对（或相邻）的锐角分别相等”判定三角形全等，得出对应边相等，求出的长；最后结合各点坐标计算出的各边长，根据边长关系判断三角形形状． 【小问1详解】 解：∵直线与轴交于点， ∴令，得， 解得，即点， ∴， ∴，即点， 将点，代入中，得， 解得，， ∴直线的函数表达式为． 【小问2详解】 ∵直线、交于点D，联立方程得， 解得，， ∴点． 设点，则． ∵， ∴， ∴，得， 解得或， ∴点或． 【小问3详解】 略 【点睛】可通过作辅助线构造全等三角形求解线段长度，根据三边关系判断三角形形状． 25. 如图，在矩形中，点为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形，使，，连接． （1）如图1，连接．若，，，求的面积； （2）如图2，若点为线段的中点，试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）解：； 证明：如图2，过点作的延长线于点，作于点， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵点为线段的中点， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； （3）解：存在最小值；最小值为；理由如下： 如图3，在的延长线上截取，连接，在上截取，连接， ∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点轨迹在如图4与夹角为的直线上，作点关于直线的对称点，延长交直线于点，连接，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴当取最小值时，，，三点共线，最小值为， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴在中，． 【解析】 【分析】（1）利用含角直角三角形的性质设，则，即可利用勾股定理解出各边的长，过点作于点，证明，得到，即可求出的长，再由三角形面积公式运算即可； （2）过点作的延长线于点，作于点，证明， 得到，，证明四边形是矩形，得到，，即可证出为等腰直角三角形，再利用勾股定理建立关系即可； （3） 在的延长线上截取，连接，在上截取，连接，证明可得到，即可推出点轨迹在如图4与夹角为的直线上，作点关于直线的对称点，延长交直线于点，连接，由，可得到当取最小值时，，，三点共线，最小值为，利用勾股定理运算求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴在中，设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 过点作于点，如图所示： ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季期末质量检测 八年级数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在括号里． 1. 的绝对值为（ ） A. 7 B. C. D. 2. 下列数学符号中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（ ） A. 13 B. 15 C. 17 D. 20 4. 如图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．在下列选项中，白昼时长不足11小时的节气是（ ） A. 惊蛰 B. 立夏 C. 秋分 D. 冬至 5. 已知一次函数的解析式为，下列说法正确的是（ ） A. 随的增大而减小 B. 图象经过第二象限 C. 图象与轴交于点 D. 图象与轴交于点 6. 某射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选拔一人参加市运会，他们10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差如下表所示．根据表中的数据，要选择一名成绩好且发挥稳定的队员参赛，应选择（ ） 队员 甲 乙 丙 丁 平均数 9.2 9.2 9.3 9.3 方差 0.035 0.015 0.035 0.015 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 8. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有16个正方形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中正方形的个数为（ ） A. 51 B. 64 C. 66 D. 81 9. 如图，正方形中，、分别在边、上，且，、是、与对角线的交点．若，，则正方形的面积为（ ） A. 60 B. 64 C. 72 D. 98 10. 在整式，之间插入它们的平均数：，记作第一次操作，在与之间和与之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推． ①第二次操作后，从左往右第四个整式为； ②经过三次操作后，若，，则所有整式的值之和为10； ③经过10次操作后，将得到1025个整式． 以上三个结论正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在对应横线上． 11. 计算：_______． 12. 若代数式有意义，则的取值范围是__________． 13. 如果一个n边形的内角和比外角和多，那么n的值是______． 14. 已知实数，满足，，则的值为__________． 15. 如图，已知矩形纸片，点和点分别是和上的点，将四边形沿折叠，使点和点重合．再将沿继续折叠，当点的对应点恰好落在线段上时，_______． 16. 若一个三位正整数的百位数字比十位数字大4，则称这个数是“佳数”．例如：，，是“佳数”；例如：，，不是“佳数”．则最小的“佳数”是________．若“佳数”的百位数字、十位数字、个位数字依次为，，，并规定：，，其中是整数，且也是整数，则满足以上条件的所有“佳数”的和是_______． 三、解答题（本大题共9个小题，17、18小题各8分，19小题至25小题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤（填空题除外），画出必要的图形，包括辅助线．请将解答过程书写在对应的位置上． 17. 解不等式组，请根据题意完成问题． 解不等式，得：_______________ 解不等式，得：_______________ 在同一数轴上表示出不等式的解集： ∴不等式组的解集为_______________ 18. 请完成以下作图和填空． （1）如图，在正方形中，点是对角线上的一点，连接，用直尺和圆规完成以下作图：过点作的垂线，与交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）． （2）求证：（补全证明过程）． 证明：四边形是正方形， ，． 在和中，， ．  ，_______________①． ，， ∴在四边形中，． ． ， ∴_______________②． 又， ∴_______________③． ∴_______________④． ， 19. 为了让学生了解巫山的历史变迁，传承巫文化，某中学在八年级学生中举办了一场学习巫文化的知识竞赛，并从甲、乙两个校区各随机抽取20名学生的竞赛成绩，进行整理、描述和分析，并绘制成如下不完整的统计图表（竞赛成绩用表示，总分为100分，共分成四个等级，其中优秀：；良好：；合格：；不合格：），下面给出了部分信息： 甲校区中属于良好等级的学生成绩（单位：分）为： 80，80，81，82，82，82，86，89． 乙校区被抽取学生的成绩（单位：分）为： 58，62，65，68，71，75，76，77，80，83，83，83，83，84，90，90，91，92，94，95． 甲校区被抽取学生的成绩条形统计图 甲、乙两校区被抽取学生的成绩统计表 校区 甲校区 乙校区 平均数 80 80 中位数 83 众数 82 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______________，_______________，并补全条形统计图； （2）根据以上统计数据，你认为甲、乙两个校区中哪个校区的学生竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）已知甲校区八年级学生有240名，乙校区八年级学生有1000名，请估计这所中学这次竞赛成绩达到优秀等级的共有多少人？ 20. 为实现核心素养导向的学习目标，走向综合性、实践性的课程学习变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组进行了“勾股定理在风筝场景中的应用”的项目式学习活动．请阅读资料并解决下列问题． 资料：如图，已知四边形为长方形，点，，，在同一直线上．某小组利用皮尺测得水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度米，最后测量放风筝的同学的身高米． 数据应用： （1）求此时风筝的垂直高度． （2）若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升18米到点的位置（上升过程中，线始终保持拉直状态），则还需要放出风筝线多少米？ 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 随着我国人工智能的高速发展，智能机器人一跃成为学生最喜爱的研究对象．某中学计划购进A型和B型两款智能机器人供社团使用．学校第一次购买了A型机器人5台、B型机器人3台，一共花费41000元．已知每台A型机器人比每台B型机器人多1000元． （1）求每台A型、B型机器人的单价分别是多少元？ （2）学校第二次准备分别用72000元再次采购A、B型机器人．商家推出优惠活动，降低了两种机器人的售价．已知降价后，每台A型机器人的售价是每台B型机器人售价的1.2倍．此次采购中，用72000元购买的B型机器人数量，比相同金额购买A型机器人的数量多3台．求优惠后每台B型机器人的单价． 23. 如图，在中，，，，点为线段上一定点，．点从点出发，以每秒1个单位的速度沿运动，到点后停止．连接、，设点的运动时间为秒（），的面积为． （1）直接写出关于的函数关系式，并注明自变量的取值范围； （2）在图2中画出（1）中函数的图象，并结合函数图象，写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出：当时，自变量的取值范围． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，． （1）求直线的函数表达式； （2）若是轴上一点，，求点的坐标； （3）若是直线上方且位于轴上一点，，判断的形状并说明理由． 25. 如图，在矩形中，点为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形，使，，连接． （1）如图1，连接．若，，，求的面积； （2）如图2，若点为线段的中点，试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $