精品解析：重庆市鲁能巴蜀中学校2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

数学 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】解：的相反数是2 2. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次根式中被开方数为非负数的性质列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴，解得． 3. 下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 统计美加墨世界杯全国收视率 B. 检测一批电动车电池的使用寿命 C. 测量初二某班全体学生的身高 D. 检验某知名品牌摩托车踏板质量 【答案】C 【解析】 【分析】一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、统计美加墨世界杯全国收视率，考察范围过大，不适合普查； B、检测电动车电池使用寿命，调查具有破坏性，不适合普查； C、测量初二某班全体学生身高，调查对象范围小，调查无破坏性，适合普查； D、检验摩托车踏板质量，调查具有破坏性，样本数量大，不适合普查； 4. 反比例函数的图象一定经过下列哪个点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】反比例函数图象上的点，满足横纵坐标的乘积等于，计算各选项点的横纵坐标乘积，即可判断正确选项． 【详解】解：∵ 反比例函数解析式为， ∴ 对图象上任意一点，都满足． A、，不满足，故此选项不符合题意； B、，不满足，故此选项不符合题意； C、，不满足，故此选项不符合题意； D、，满足条件，故此选项符合题意． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B. 对角线相等且互相平分的四边形是正方形 C. 有一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 邻边相等且有一个内角是直角的四边形是矩形 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，符合菱形的判定定理，原说法正确，符合题意； B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，对角线相等互相平分且垂直的四边形才是正方形，原说法错误，不符合题意； C、两组对边分别相等的四边形才是平行四边形，仅一组对边相等无法判定四边形是平行四边形，原说法错误； D、邻边相等且有一个内角是直角的四边形，不满足矩形的判定条件，不一定是矩形，原说法错误，不符合题意． 6. 估算的值，其结果介于（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】C 【解析】 【分析】先计算二次根式的混合运算得到结果是，估算的大小，再得到的大小即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴ ∴． 7. 按如图所示的规律拼接餐桌和椅子（每个小半圆代表把椅子），张餐桌配把椅子，张餐桌配把椅子，张餐桌配把椅子，…，若将张餐桌按上述方式拼接摆放，一共需配（ ）把椅子 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察图形变化，得出张餐桌时，椅子数为把（为正整数），代入即可得出结论． 【详解】解：观察图形，发现每多添一张餐桌多2把椅子， 故张餐桌时，椅子数为（把）（为正整数）． 令，可得（把）． 8. 如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其对称轴为直线，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】开口向下，则，与轴正半轴相交，则，再根据对称轴为直线，得到，则可得到，通过时y大于0得到含有a、b、c的不等式，再替换掉b，得到a、c之间的关系，由对称轴为直线可知，当时，y取得最大值，则可判断D选项的正误． 【详解】解：根据题意可得，， ， ， ，， A选项错误； ∵对称轴为直线， ∴当和时，函数值相等， 当时，， ∴当时，，即，故选项B错误； ∴即，故选项C错误； 对称轴为直线， ， D选项正确． 9. 如图，正方形中，点为边的中点，连接交对角线于点，连接．为上一点，连接，分别交、于点、，且满足．连接．则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点，设正方形的边长为，根据勾股定理得，证明，根据等面积法求出，根据勾股定理得，证明，，根据比例式求出、的长，再根据勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 设正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 10. 已知多项式，其中，，…，为自然数，、均为正整数，下列说法： ①若，，时，多项式对应的图象与轴有交点，则满足条件的共有个； ②当且时，则满足条件的共有个； ③令，，当且为奇数，（且为整数）时，存在，则满足条件的共有个． 其中正确的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当，，时，，根据函数的图象与轴有交点，利用判别式求出的取值范围即可判断①；当时，为正整数，为自然数，且，讨论的取值，确定对应情形下的值，即可判断②；可证明，再证明，，即可推出或；再分别讨论和，确定时，满足题意的M的个数即可得到答案． 【详解】解：①当，，时，， ∵函数的图象与轴有交点， ∴， 解得， 是自然数， 可取，共4个， ∴满足条件的共有个，故①正确． ②当时，为正整数，为自然数，且， 当时，若，则，此时有1个M满足题意， 若，则或，此时有2个M满足题意， 若，则或或，此时有3个M满足题意， ∴此时有6个M满足题意（讨论或的值时与的情形重复）； 当时，，则或或， ∴此时有3个M满足题意； 时，，则， ∴此时有1个M满足题意； 综上所述，总共有个满足条件的，故②错误； ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，…，为自然数，为正整数， ∴，且B为整数， ∴， 又∵， ∴； ∵， ∴或， 解得或； 当时，若，则，，此时有1个M满足题意； 若，则有下表所示情形： 0 0 2 9 0 1 2 8 0 2 2 7 1 1 1 8 若，则有下表所示情形 0 0 0 0 2 9 0 0 0 1 2 8 0 0 0 2 2 7 0 0 1 1 1 8 0 1 1 1 1 7 ∴一共有个M满足题意； 当时，若，则，，此时有1个M满足题意； 若，则有下表所示情形： 0 0 3 5 0 1 3 4 0 2 3 3 1 1 2 4 1 2 2 3 若，则有下表所示情形 0 0 0 0 3 5 0 0 0 1 3 4 0 0 0 2 3 3 0 0 1 1 2 4 0 0 1 2 2 3 0 1 1 1 2 3 0 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 3 ∴一共有个M满足题意； 综上所述，一共有个M满足题意，故③错误． 综上所述，只有①正确． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 月日，记者从重庆市教委获悉，本年度全市初中毕业生约有人，请用科学记数法表示该数是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 14. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象上有点，，，则，，的大小关系是____________．（请用“”符号连接） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意判断出的符号，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，关于直线的对称点为，比较大小即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， ∵二次函数的图象对称轴为直线，在函数图象上， ∴当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，关于直线的对称点为，二次函数的图象上有点，，， ∵， ∴． 15. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在边上，且，若，则____________． 【答案】67 【解析】 【分析】设，根据等边对等角，可得，再由菱形的性质可得，由此可得，再根据三角形内角和为求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， 在菱形中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，解得， 则 ． 16. 如图，中，，点在轴正半轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点、，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据为的中点，得到，则，再根据的面积为，列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵为的中点， ∴， 当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 17. 如图，在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿，折叠，点落在点处，点落在点处，点，，恰好在同一直线上，若，，，则线段的长是____________． 【答案】 【解析】 【分析】设与交于点，由矩形的性质得，，，由折叠的性质得，，，，，设，则，根据勾股定理将表示出来，证明，列比例式，将、表示出来，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，， 由折叠的性质得：，，，，， ∴， 设，则， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴． 18. 一个四位自然数，各个数位上的数字互不相等，若千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，且和均为，则称为“九九数”．例如：四位数，因，所以是“九九数”；又如四位数，因为，所以不是“九九数”．则最小的“九九数”是____________．对于一个“九九数”，交换其千位与十位的数字，同时交换其百位与个位的数字，得到一个新的“九九数”，记．若为整数，则满足条件的的最大值与最小值的差为____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设“九九数”的千位数字为，百位为，十位为，个位为，由定义得，且互不相等，对于第一空，要使M最小，则要保证千位数字最小，取，则，再令b最小即可得到最小的M；对于第二空，根据题意用含a、b的式子表示出M、N，进而表示出，结合是整数得到是的倍数，设，为整数，可求出，故的可能取值为，讨论的值，从而确定对应情形下a、b的值，进而确定符合题意的M的值，最后比较即可得到答案． 【详解】解：设“九九数”的千位数字为，百位为，十位为，个位为，由定义得，且互不相等， ∵要使M最小， ∴首先要保证千位数字最小， ∴取，则， 当取时，此时能保证M最小，即最小的“九九数”是； 由定义得，， ， ， ∴， ∴ ∵为整数， ∴是的倍数； 设，为整数， ∵新的“九九数”的千位数是， ∴， 又， ∴， 又， ∴， 又， ∴， 故的可能取值为． 当时，得，满足数位互不相等，，对应． 当时，，则或（舍去）， 当时，，不符合题意； 当时，， 若，则对应， 若，则对应． 当时， 若，则对应， 若，则对应． 若，则对应 ∴所有符合条件的中，最小值为，最大值为，差为． 三、解答题：（本大题共8个小题，19题10分，20题8分，21题—26题，每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 解答题： （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：，； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 如图，为平行四边形的对角线，点为的中点． （1）尺规作图：过点作的垂线，分别交，于点，，连接，（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，证明四边形为菱形． 证明：为中点，， ①________，． ． 四边形为平行四边形， ． ②________． ． ， ． 在与中， ． ④________． ． 四边形为菱形． 【答案】（1） （2）①；②；③；④ 【解析】 【小问1详解】 解：以点为圆心，以任意长为半径作弧，交于两点，以该两点分别为圆心，以大于该两点之间的距离为半径作弧，两弧交于一点，过该点与点作直线，分别交，于点，，连接，． 【小问2详解】 解：为中点，， ，． ． 四边形为平行四边形， ． ． ． ， ． 在与中 ． ． ． 四边形为菱形． 21. 当前人工智能产品日益丰富，为了解使用体验，促进人工智能行业高质量发展，调研人员对甲、乙两款产品进行使用满意度评分测验，并分别抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：非常满意A．；满意B．；良好C．；不满意D．），下面给出了部分信息． 甲款20份评分数据为：97，95，95，93，91，88，87，86，86，86，82，78，78，76，75，72，66，64，64，61． 乙款评分数据中B组的评分数据为：81，84，85，86，87，87，87，89 甲、乙两款产品满意度评分统计表 设备 甲款 乙款 平均数 81 81 中位数 84 众数 87 根据以上信息，解答下列问题 （1）上述表中________，________，________． （2）根据以上数据，你认为哪款产品更受用户喜爱？说明理由．（写一条理由即可） （3）在此次测验中，有380人对甲款产品进行了评分、400人对乙款产品进行评分，请估计参与测验的人中对所调查的产品非常满意的人数共有多少？ 【答案】（1），， （2）乙款产品更受欢迎．理由如下：甲乙两款产品的平均数相同，乙款产品的中位数、众数大于甲款产品的中位数、众数，所以乙款产品更受欢迎 （3）估计参与测验的人中对所调查的产品非常满意的人数共有人 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义可求出、的值；求出乙款中A组的份数，即可求出的值； （2）先比较两款产品的评分数据的平均数，中位数，众数的大小即可判断； （3）用380乘以样本甲款中A组的人数占比，用400乘以样本乙款中A组的人数占比，即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵甲款评分为86分的有3份，份数最多， ∴甲款评分的众数为86分，即； ∵（份）， ∴乙款评分在C组和D组的数量之和为8份， ∵乙款评分在B组的数量为8份， ∴乙款评分中A组份数为（份）， ∵， ∴； 把乙款评分按照从低到高排列，处在第10名和第11名的评分为84分，85分， ∴乙款的中位数为，即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计参与测验的人中对所调查的产品非常满意的人数共有人． 22. 重庆市某景区是旅游热门景点，景区某商店有A、B两款热销冰箱贴，小鲁和小巴在旅游时购买了这两款冰箱贴，其中小鲁买件A款冰箱贴和件B款冰箱贴共花费元，小巴买件A款冰箱贴和件B款冰箱贴共花费元． （1）求A、B两款冰箱贴每件售价分别是多少元？ （2）景区内游客如潮，该商店推出了B款冰箱贴的优惠活动．若按（1）中求出的单价销售，每天可销售B款冰箱贴件．销售单价每下降元，每天可多售出件．已知B款冰箱贴成本为元，请求出B款冰箱贴每天的销售利润（元）与销售单价下降（元）（）之间的函数关系，当每件售价为多少元时，B款冰箱贴每天的销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）A、B两款冰箱贴每件售价分别是元、元 （2）当B款冰箱贴销售单价定为元时，该景区一天内销售这款冰箱贴获得的利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）设A、B两款冰箱贴每件售价分别为元，元，根据买件A款冰箱贴和件B款冰箱贴共花费元，买件A款冰箱贴和件B款冰箱贴共花费元，列方程组求解即可； （2）根据销售利润等于销售量乘以售价与进价的差，列出销售利润（元）与销售单价下降（元）之间的函数关系式，再依据二次函数的性质求得最大利润即可． 【小问1详解】 解：设A、B两款冰箱贴每件售价分别为元，元， 根据题意得：，解得． 答：A、B两款冰箱贴每件售价分别是元、元． 【小问2详解】 解：销售单价下降元， ∴销售量为件， 根据题意得：， ， ，， 开口向下， 当时，有最大值为， B款冰箱贴销售单价：（元）． 答：当B款冰箱贴销售单价定为元时，该景区一天内销售这款冰箱贴获得的利润最大，最大利润是元． 23. 如图，四边形是矩形，，，动点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，当点运动停止时，点随之停止运动．设运动时间为秒（），的面积为，的面积为，的面积为，． （1）请直接写出，关于的函数表达式，并分别写出自变量的取值范围． （2）请在给定的平面直角坐标系中（如图）画出函数，的图象，并写出函数的一条性质． （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 【答案】（1）， （2）；函数的性质：时，随着的增大而增大；时，随着的增大而减小（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】（1）当点在线段上，，当点在线段上，，据此求出关于的函数关系式即可；过点作于，，根据相似三角形的判定与性质即可求出关于的函数关系式； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再求出对应的函数性质即可； （3）求出两函数的交点横坐标，再结合函数图象可得答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴． 当点在线段上时，即 ， 当点在线段上时，即， ． 如图，过点作于点， ∵， ∴， ， ∴． 综上所述，，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：联立， 得， 解得，（舍去）， ∴当时，． 24. 如图，，，，在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域处时，收到指令分别途经海上观测点和，并最终到达处执行任务．目的地在观测点的正北方向千米处，甲巡逻艇沿海域的北偏西方向到达观测点，再沿北偏东方向到达目的地，乙巡逻艇沿海域的东北方向到达观测点，再沿北偏西方向到达目的地．（参考数据：，，） （1）求的距离（结果保留根号）； （2）若甲巡逻艇的速度是千米/小时，乙巡逻艇的速度是千米/小时，（停靠观测点、的时间相同），哪艘巡逻艇先到达目的地？请通过计算说明．（结果保留小数点后两位） 【答案】（1）的距离为千米 （2）乙巡逻艇先到达目的地，理由如下： 由（1）得：千米，千米， ∴（小时）， 如图，过点作于点，设千米， 在的正北方向，在的北偏西方向，在的东北方向， ，， ∴（千米），， ∴（千米）， ∵， ∴， ∴， ， ，解得， （千米），（千米）， ∴（小时）， ∵， ∴乙巡逻艇先到达目的地． 【解析】 【分析】（1）由题意得，，则，根据所对的直角边是斜边的一半，勾股定理，即可求出的长， （2）根据（1）中的数据可以求出甲巡逻艇到达目的地的时间，过点作于点，设千米，根据所对的直角边是斜边的一半，勾股定理得千米，千米，则，，根据，求出的值，即可求出乙巡逻艇到达目的地的时间，比较即可． 【小问1详解】 解：在的正北方向，在北偏西方向，在北偏东方向， ，， ， 千米， 千米， 在中，千米． 答：的距离为千米． 【小问2详解】 略 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，，过点作射线轴． （1）求抛物线的表达式； （2）点是线段上方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交线段于点，点，为射线、上的动点，连接、、．当取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； （3）在（2）的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移，使新得到的抛物线过线段的中点，抛物线与轴交于点，连接，点为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）根据，得，，代入中，解方程组即可求解； （2）求出直线的表达式为，设点，则，将表示出来，根据二次函数的性质即可求出点的坐标；分别作点关于直线、直线的对称点，，连接，交于点，交于点，此时的周长最小，为线段的长，求出、的坐标即可； （3）分两种情况讨论：①过点作轴，交轴于点，作点关于直线的对称点，连接，交抛物线于点，此时；②作点关于直线的对称点，连接，交抛物线于点，此时． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， 将点，代入，得 ，解得， ∴抛物线的表达式为：． 【小问2详解】 解：设直线的表达式为：， 将点，代入，得 ，解得， ∴直线的表达式为：． 设点，则， ∴ ，， ∴， ∴当时，取得最大值， ∴点． 如图，分别作点关于直线、直线的对称点，，连接，交于点，交于点，此时的周长最小， ∴． ∵，轴， ∴直线的表达式为：， ∴． ∵， ∴， 过点作，交于点，连接，交于点，连接， ∴， ∵点、关于直线对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 直线：， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 【小问3详解】 解：， ∵抛物线沿射线方向平移， ∴设平移后的抛物线的解析式为：， ∵为的中点， ∴， 将点代入，得 ，解得（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， 由（2）得：，， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作轴，交轴于点，作点关于直线的对称点，连接交抛物线于点， ∴，， ∴． 设直线的解析式为：， 将点，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为：， 联立， ∴， 解得（舍），． 作点关于直线的对称点，连接，，交于点，交于点，过点作，交轴于点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 将点，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为：． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴直线的解析式为：， ∵， ∴直线的解析式为：， 联立，解得， ∴， 设直线的解析式为：， 将点，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为：， 联立， ∴， 解得（舍），． 综上所述，点的横坐标为或． 26. 为边长为的等边三角形． （1）如图1，点E为边上一点，且，在右侧作等边三角形，连接，过D作的垂线交延长线于点O，求的长度． （2）如图2，点E为边上一动点，连接，G为中点，的垂直平分线与的角平分线交于点F，连接，，，，猜想线段，的数量关系，并证明． （3）如图3，点E为直线上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转至，连接，，当取得最小值时，过点A作，I为上一动点，M为的三等分点，且，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，，当取最小值时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2）猜想：， 证明：如图2，延长至H，使得，连接，，延长，交于点N， 为等边三角形， ，， 的垂直平分线与的角平分线交于点F， ，， ， ∵G为中点， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，，， ， ，， ，即， 为等边三角形， ， ，， ， 在中，， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的性质得出，再证明，得到，，紧接着利用解直角三角形和勾股定理即可求出结果； （2）延长于H，使得，连接，，延长，交于点N，利用垂直平分线的性质，角平分线的性质得出，证明，，从而得出为等边三角形，最后利用解直角三角形和勾股定理即可证得结论； （3）先确定出点H的运动轨迹，再利用轴对称的性质确定出点H的位置，继续利用折叠的性质确定出点的运动轨迹，根据题意得出点的位置，利用矩形的判定与性质，等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理及三角形面积公式即可求得最终结果． 【小问1详解】 解：、是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵点E为直线上一动点，将线段绕点A逆时针旋转至， 又∵是等边三角形， 如图，在中点处取点，将绕点A逆时针旋转得，在点C处取点，将绕点A逆时针旋转得， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点H的轨迹是与直线夹角为的直线， ∵， ∴， ∴直线与直线的夹角为， ∴是等边三角形， 过点C作关于直线的对称点，连接，与直线交点H，连接， ∴，当点B，H，三点共线时，有最小值， ∵，， ∴， ∴是等边的中垂线， ∵直线， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∵将沿翻折至所在平面内，得到，点I是直线上的动点， ∴点的轨迹是以M为圆心，为半径的圆上运动， ∵， ∴当点M，，H三点共线时，有最小值， 分别过点M作直线于点K，过点M作于点N， ∴, ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵点I是与直线的交点， ∴， ∵， ∴是等边三角形，即， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 2. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 统计美加墨世界杯全国收视率 B. 检测一批电动车电池的使用寿命 C. 测量初二某班全体学生的身高 D. 检验某知名品牌摩托车踏板质量 4. 反比例函数的图象一定经过下列哪个点（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B. 对角线相等且互相平分的四边形是正方形 C. 有一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 邻边相等且有一个内角是直角的四边形是矩形 6. 估算的值，其结果介于（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 7. 按如图所示的规律拼接餐桌和椅子（每个小半圆代表把椅子），张餐桌配把椅子，张餐桌配把椅子，张餐桌配把椅子，…，若将张餐桌按上述方式拼接摆放，一共需配（ ）把椅子 A. B. C. D. 8. 如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其对称轴为直线，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形中，点为边的中点，连接交对角线于点，连接．为上一点，连接，分别交、于点、，且满足．连接．则为（ ） A. B. C. D. 10. 已知多项式，其中，，…，为自然数，、均为正整数，下列说法： ①若，，时，多项式对应的图象与轴有交点，则满足条件的共有个； ②当且时，则满足条件的共有个； ③令，，当且为奇数，（且为整数）时，存在，则满足条件的共有个． 其中正确的个数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：____________． 12. 月日，记者从重庆市教委获悉，本年度全市初中毕业生约有人，请用科学记数法表示该数是____________． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象上有点，，，则，，的大小关系是____________．（请用“”符号连接） 15. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在边上，且，若，则____________． 16. 如图，中，，点在轴正半轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点、，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为____________． 17. 如图，在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿，折叠，点落在点处，点落在点处，点，，恰好在同一直线上，若，，，则线段的长是____________． 18. 一个四位自然数，各个数位上的数字互不相等，若千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，且和均为，则称为“九九数”．例如：四位数，因，所以是“九九数”；又如四位数，因为，所以不是“九九数”．则最小的“九九数”是____________．对于一个“九九数”，交换其千位与十位的数字，同时交换其百位与个位的数字，得到一个新的“九九数”，记．若为整数，则满足条件的的最大值与最小值的差为____________． 三、解答题：（本大题共8个小题，19题10分，20题8分，21题—26题，每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 解答题： （1）解方程：； （2）计算：． 20. 如图，为平行四边形的对角线，点为的中点． （1）尺规作图：过点作的垂线，分别交，于点，，连接，（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，证明四边形为菱形． 证明：为中点，， ①________，． ． 四边形为平行四边形， ． ②________． ． ， ． 在与中， ． ④________． ． 四边形为菱形． 21. 当前人工智能产品日益丰富，为了解使用体验，促进人工智能行业高质量发展，调研人员对甲、乙两款产品进行使用满意度评分测验，并分别抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：非常满意A．；满意B．；良好C．；不满意D．），下面给出了部分信息． 甲款20份评分数据为：97，95，95，93，91，88，87，86，86，86，82，78，78，76，75，72，66，64，64，61． 乙款评分数据中B组的评分数据为：81，84，85，86，87，87，87，89 甲、乙两款产品满意度评分统计表 设备 甲款 乙款 平均数 81 81 中位数 84 众数 87 根据以上信息，解答下列问题 （1）上述表中________，________，________． （2）根据以上数据，你认为哪款产品更受用户喜爱？说明理由．（写一条理由即可） （3）在此次测验中，有380人对甲款产品进行了评分、400人对乙款产品进行评分，请估计参与测验的人中对所调查的产品非常满意的人数共有多少？ 22. 重庆市某景区是旅游热门景点，景区某商店有A、B两款热销冰箱贴，小鲁和小巴在旅游时购买了这两款冰箱贴，其中小鲁买件A款冰箱贴和件B款冰箱贴共花费元，小巴买件A款冰箱贴和件B款冰箱贴共花费元． （1）求A、B两款冰箱贴每件售价分别是多少元？ （2）景区内游客如潮，该商店推出了B款冰箱贴的优惠活动．若按（1）中求出的单价销售，每天可销售B款冰箱贴件．销售单价每下降元，每天可多售出件．已知B款冰箱贴成本为元，请求出B款冰箱贴每天的销售利润（元）与销售单价下降（元）（）之间的函数关系，当每件售价为多少元时，B款冰箱贴每天的销售利润最大，最大利润是多少？ 23. 如图，四边形是矩形，，，动点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，当点运动停止时，点随之停止运动．设运动时间为秒（），的面积为，的面积为，的面积为，． （1）请直接写出，关于的函数表达式，并分别写出自变量的取值范围． （2）请在给定的平面直角坐标系中（如图）画出函数，的图象，并写出函数的一条性质． （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 24. 如图，，，，在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域处时，收到指令分别途经海上观测点和，并最终到达处执行任务．目的地在观测点的正北方向千米处，甲巡逻艇沿海域的北偏西方向到达观测点，再沿北偏东方向到达目的地，乙巡逻艇沿海域的东北方向到达观测点，再沿北偏西方向到达目的地．（参考数据：，，） （1）求的距离（结果保留根号）； （2）若甲巡逻艇的速度是千米/小时，乙巡逻艇的速度是千米/小时，（停靠观测点、的时间相同），哪艘巡逻艇先到达目的地？请通过计算说明．（结果保留小数点后两位） 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，，过点作射线轴． （1）求抛物线的表达式； （2）点是线段上方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交线段于点，点，为射线、上的动点，连接、、．当取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； （3）在（2）的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移，使新得到的抛物线过线段的中点，抛物线与轴交于点，连接，点为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 26. 为边长为的等边三角形． （1）如图1，点E为边上一点，且，在右侧作等边三角形，连接，过D作的垂线交延长线于点O，求的长度． （2）如图2，点E为边上一动点，连接，G为中点，的垂直平分线与的角平分线交于点F，连接，，，，猜想线段，的数量关系，并证明． （3）如图3，点E为直线上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转至，连接，，当取得最小值时，过点A作，I为上一动点，M为的三等分点，且，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，，当取最小值时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $