15.3.1 课时2 等腰三角形的判定教学设计 2026-2027学年数学人教版八年级上册

该初中数学教学设计聚焦等腰三角形判定定理“等角对等边”，通过海上救生船情境导入，从∠B=∠C判断AB是否等于AC的实际问题出发，衔接已学“等边对等角”性质，构建性质与判定的互逆关系作为学习支架。 以“猜想—验证—证明”流程培养逻辑推理，通过折叠纸片、尺规作图发展几何直观，提炼“平分角+平行=等腰三角形”模型强化模型意识。启发式与合作探究结合，助学生区分性质与判定提升解题能力，为教师提供完整教学方案和多样化例题练习。

15.3.1 等腰三角形 —— 课时2 等腰三角形的判定 课题 15.3.1 等腰三角形 —— 课时2 等腰三角形的判定 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版八年级上册 教学方法 启发式教学、合作探究、讲练结合 教学用具 多媒体课件、直尺、圆规 教材分析 本节课是等腰三角形第2课时，在学习了等腰三角形性质"等边对等角"的基础上，研究其逆命题——等腰三角形的判定定理"等角对等边"。这是全等三角形知识的深化应用，也是后续学习等边三角形、直角三角形等知识的基础。教材通过"探究"栏目引导学生经历"猜想—验证—证明"的完整过程，培养学生的逆向思维和逻辑推理能力。 学情分析 学生已经学习了全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）和等腰三角形的性质，具备一定的几何证明基础。但学生的逆向思维和添加辅助线的能力仍有不足，对"性质"与"判定"的区别容易混淆。八年级学生好奇心强，乐于动手操作和合作探究，教学中应充分利用这一特点，通过问题驱动和变式训练，帮助学生突破难点。 一、教材分析 本节课选自人教版八年级上册第十五章"轴对称"第三节"等腰三角形"第2课时。在此之前，学生已经学习了等腰三角形的定义、性质（等边对等角、三线合一）以及全等三角形的判定方法。本节课是在性质"等边对等角"的基础上，研究其逆命题——"等角对等边"，即等腰三角形的判定定理。 等腰三角形的判定定理是几何推理的重要工具，它提供了证明两条线段相等的又一种方法。通过本节课的学习，学生将进一步体会"性质"与"判定"的互逆关系，理解数学中的"充分条件"与"必要条件"，为后续学习等边三角形的判定、直角三角形的性质等知识奠定基础。 教材编排上，本节课通过"情境导入—探究证明—例题精讲—练习巩固—拓展提升"的流程，引导学生经历"观察—猜想—验证—证明—应用"的完整数学学习过程，充分体现了课程标准"让学生经历知识的形成过程"的理念。 二、学情分析 知识基础：学生已经学习了全等三角形的五种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）和等腰三角形的定义与性质，能够熟练运用全等三角形进行简单的几何证明。但对于"性质"与"判定"的区别和联系，理解还不够深入。 能力基础：学生具备一定的几何推理能力，能够完成两步以内的简单证明。但逆向思维能力和添加辅助线的能力相对薄弱。在证明"等角对等边"时，需要引导学生添加适当的辅助线构造全等三角形，这是本节课的难点。 心理特征：八年级学生正处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡的时期，好奇心强，乐于动手操作，喜欢合作探究。教学中应创设有趣的问题情境，提供充分的动手操作和合作交流的机会，激发学生的学习兴趣，促进思维发展。 三、核心素养目标 1. 数学抽象 （1）能从具体情境中抽象出等腰三角形判定的数学问题，体会从现实问题到数学模型的转化过程。 （2）能理解"等角对等边"这一判定定理所表达的几何关系，并用符号语言进行准确表述。 （3）能区分等腰三角形的"性质"和"判定"，理解二者之间的互逆关系。 2. 逻辑推理 （1）经历"等角对等边"的猜想、验证、证明过程，体会从合情推理到演绎推理的思维过程。 （2）能运用等腰三角形的判定定理进行几何证明，发展严谨的逻辑推理能力。 （3）能灵活选择证明线段相等的方法，培养多角度思考问题的能力。 3. 直观想象 （1）能根据题意画出图形，通过添加辅助线构造全等三角形来证明线段相等。 （2）能通过折叠、作图等操作活动，直观感知等腰三角形的判定方法。 4. 数学运算 （1）能运用等腰三角形的判定定理进行相关的线段长度计算。 （2）在尺规作图（已知底边和高作等腰三角形）中，能准确进行线段度量和作图操作。 四、教学重难点 教学重点 1. 等腰三角形的判定定理"等角对等边"的探索与证明。 2. 运用等腰三角形的判定定理进行证明和计算。 教学难点 1. 灵活运用"等角对等边"解决综合问题，特别是添加辅助线构造证明条件。 2. 理解等腰三角形"判定"与"性质"的区别与联系，避免混淆。 五、教学过程 环节一：情境导入（5分钟） 【教师活动】展示海上救生船问题的情境图，引导学生阅读问题。 问题情境：位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B＝∠C。如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？ 【教师活动】引导学生分析问题：两艘救生船同时出发、速度相同，如果B、C两处到A处的距离相等，即AB＝AC，那么它们就能同时赶到。现在已知∠B＝∠C，问题转化为：当∠B＝∠C时，AB是否等于AC？ 【学生活动】认真观察情境图，思考问题，尝试用自己的语言表达对问题的理解：如果AB＝AC，则两船同时赶到；那么∠B＝∠C这个条件能否推出AB＝AC呢？ 【教师活动】进一步追问：在我们学过的知识中，有没有"由角相等推出边相等"的结论？这和我们学过的等腰三角形性质"等边对等角"有什么关系？ 【学生活动】回忆等腰三角形的性质：如果一个三角形是等腰三角形（AB＝AC），那么它的两个底角相等（∠B＝∠C）。这就是"等边对等角"。现在的条件是∠B＝∠C，要证明AB＝AC，恰好是性质的逆命题。 【过渡语】同学们，刚才我们回忆了等腰三角形的性质"等边对等角"，那么反过来，如果知道一个三角形有两个角相等，能不能推出它所对的边也相等呢？这就是我们今天要研究的问题——等腰三角形的判定。 【设计意图】通过海上救生船的实际问题情境，激发学生的探究兴趣，同时自然引出"等角对等边"的猜想，让学生体会数学来源于生活。 【知识点】本课课题：等腰三角形的判定 —— 等角对等边 环节二：探究·判定定理的发现与证明（12分钟） 【教师活动】引导回顾：上节课我们学习了等腰三角形的性质——"等边对等角"。请同学们回忆性质的内容，并用符号语言表示。 【学生活动】回顾等腰三角形的性质：如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角也相等。符号语言：在△ABC中，若AB＝AC，则∠B＝∠C。 【教师活动】提出逆向问题：反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系呢？请同学们大胆猜想。 【学生活动】猜想：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。即：在△ABC中，若∠B＝∠C，则AB＝AC。 【教师活动】明确探究任务：请同学们思考如何证明这个猜想。已知：在△ABC中，∠B＝∠C。求证：AB＝AC。 【学生活动】独立思考，尝试寻找证明方法。部分学生可能会想到作辅助线，构造全等三角形。 【教师活动】引导学生分析：要证明AB＝AC，可以证明以AB、AC为对应边的两个三角形全等。但△ABC中只有一条边BC，无法直接构造全等。需要添加辅助线。请同学们思考可以添加哪些辅助线。 思考提示：可以类比全等三角形的证明方法，添加一条过A点的辅助线，将△ABC"分成"两个三角形。常见的辅助线有：作高、作角平分线、作中线。 【学生活动】小组讨论，提出不同的辅助线添加方案：①过A点作BC边上的高（AE⊥BC）；②作∠A的平分线交BC于D；③取BC中点D，连接AD。 【教师活动】展示证明方法一：过A点作AE⊥BC，垂足为E。 【教师活动】详细讲解证明过程：在△ABE和△ACE中，∠B＝∠C（已知），∠AEB＝∠AEC＝90°（垂直定义），AE＝AE（公共边）。根据AAS（角角边），可得△ABE≌△ACE。所以AB＝AC（全等三角形对应边相等）。 【教师活动】追问：你还有其他证明方法吗？请同学们思考用不同的辅助线来证明。 【学生活动】思考并交流：也可以作∠A的平分线AD交BC于D。在△ABD和△ACD中，∠B＝∠C（已知），∠BAD＝∠CAD（角平分线定义），AD＝AD（公共边）。根据AAS，可得△ABD≌△ACD，所以AB＝AC。 【知识点】等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。简写成"等角对等边"。 【教师活动】强调：这又是一个判定两条线段相等的依据之一。请同学们注意区分性质和判定：性质是"等边对等角"（由边相等推角相等），判定是"等角对等边"（由角相等推边相等）。两者互为逆命题。 理解要点：性质与判定是互逆的。性质是从"边相等"推"角相等"，判定是从"角相等"推"边相等"。在解题时，要根据已知条件和要证的结论，正确选择使用性质还是判定。 【设计意图】通过"猜想—验证—证明"的完整探究过程，让学生经历数学定理的发现过程，培养学生的逆向思维和逻辑推理能力。多种证明方法的探讨，帮助学生拓展思维，体会辅助线在几何证明中的重要作用。 环节三：例题精讲（10分钟） 【过渡语】我们刚刚学习了等腰三角形的判定定理"等角对等边"，下面我们通过几道例题来学习如何运用这个定理解决实际问题。 例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。 【教师活动】带领学生分析题意：已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC。求证：AB＝AC。 【教师活动】引导学生分析证明思路：要证AB＝AC，根据"等角对等边"，只需证∠B＝∠C。如何由已知条件推出∠B＝∠C？ 【学生活动】在教师引导下分析：由AD∥BC可得同位角相等，内错角也相等。∠1＝∠B（两直线平行，同位角相等），∠2＝∠C（两直线平行，内错角相等）。又已知∠1＝∠2，所以∠B＝∠C。 【教师活动】梳理完整证明过程，板书示范。 证明：∵AD∥BC，∴∠1＝∠B（两直线平行，同位角相等），∠2＝∠C（两直线平行，内错角相等）。∵∠1＝∠2（已知），∴∠B＝∠C。∴AB＝AC（等角对等边）。 【知识点】证明思路：要证线段相等 → 证角相等 → 利用平行线性质找角的关系。这是"等角对等边"的典型应用模式。 解题思路：证明一个三角形是等腰三角形，通常有两种思路：（1）直接证明两边相等（通过全等三角形）；（2）证明两个角相等，再用"等角对等边"推出两边相等。 例2 已知等腰三角形的底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形。 【教师活动】边演示边讲解尺规作图的步骤，引导学生理解每一步的几何原理。 作法： （1）作线段AB＝a； （2）作线段AB的垂直平分线MN，交AB于点D； （3）在MN上取一点C，使DC＝h； （4）连接AC，BC，则△ABC即为所求作的等腰三角形。 【教师活动】分析作图原理：因为点C在AB的垂直平分线上，所以CA＝CB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），因此△ABC是等腰三角形。又因为AB＝a，DC＝h，所以满足已知条件。 【学生活动】理解作图步骤，动手操作，在练习本上完成尺规作图。 【知识点】尺规作图原理：利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，保证了OC＝OB，从而构造出等腰三角形。 【过渡语】通过例1和例2，我们学习了如何运用"等角对等边"来证明等腰三角形，以及如何利用等腰三角形的性质进行尺规作图。接下来，请同学们独立完成几道练习题。 【设计意图】例1帮助学生掌握"等角对等边"的典型应用模式，例2通过尺规作图加深对等腰三角形判定条件的理解，同时培养学生的动手操作能力。 环节四：课堂练习（10分钟） 【过渡语】刚才我们学习了等腰三角形的判定定理及其应用，下面请同学们独立完成以下练习，检验自己的掌握情况。 练习1 已知：AD∥BC，BD平分∠ABC。求证：AB＝AD。 【教师活动】巡视学生练习情况，适时给予个别指导。 【学生活动】独立完成证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC（两直线平行，内错角相等）。∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC。∴∠ABD＝∠ADB。∴AB＝AD（等角对等边）。 【教师活动】请一位学生上台板演证明过程，师生共同点评。 【教师活动】很好！这道题运用了"平分角＋平行线"的模型，通过两次角相等推导出边相等。请同学们思考：这道题中，如果BD平分∠ABC改为BD平分∠ADC，结论还成立吗？ 【学生活动】思考后回答：也成立。因为∠ADB＝∠BDC（两直线平行），又∠ABD＝∠ADB（平分角），所以∠ABD＝∠BDC，但此时只能得到AB∥DC，不能得到AB＝AD。所以结论不成立。 【教师活动】分析得很到位！这说明"平分角＋平行线＝等腰三角形"这个模型需要满足特定条件——平分角的线和平行线必须作用在同一个角上。 练习2 把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 【教师活动】引导学生动手操作：拿出一张长方形的纸，沿对角线折叠，观察重合部分的形状。 【学生活动】动手折叠长方形纸片，观察重合部分，直观感知重合部分是一个等腰三角形。 【教师活动】引导学生用数学语言进行证明：由折叠可知，∠EBD＝∠CBD。∵AD∥BC（长方形对边平行），∴∠EDB＝∠CBD（两直线平行，内错角相等）。∴∠EDB＝∠EBD，∴BE＝DE（等角对等边），△EBD是等腰三角形。 方法总结：当题目中出现"角平分线＋平行线"的条件组合时，往往可以利用"等角对等边"得到等腰三角形。即：平分角＋平行＝等腰三角形。这是一个非常实用的解题模型。 练习3 如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD等于_______。 【教师活动】请学生快速作答，并说明理由。 【学生活动】解答：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC。∵CD∥OB，∴∠DCO＝∠BOC（两直线平行，内错角相等）。∴∠AOC＝∠DCO。∴CD＝OD＝3cm（等角对等边）。答案：3cm。 【知识点】练习3再次验证了"平分角＋平行＝等腰三角形"的模型，是练习2方法总结的直接应用。 【设计意图】三道练习题由浅入深，从规范的几何证明到折叠操作再到长度计算，帮助学生多角度理解和运用"等角对等边"。练习2的折叠操作让学生在动手实践中感受数学，增强直观体验。 环节五：拓展练习（5分钟） 【过渡语】同学们已经基本掌握了等腰三角形判定的基本方法。下面我们来做几道综合性的拓展练习，进一步提升灵活运用知识的能力。 练习4 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为____。 【教师活动】引导学生分析：由BE平分∠ABC和MN∥BC，可得∠MBE＝∠MEB，因此MB＝ME。同理，由CE平分∠ACB和MN∥BC，可得NC＝NE。 【学生活动】在教师引导下完成推理：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE。∵MN∥BC，∴∠MEB＝∠CBE。∴∠MBE＝∠MEB。∴MB＝ME。同理，NC＝NE。∴MN＝ME＋EN＝MB＋NC＝9。答案：9。 【教师活动】总结："角平分线＋平行线＝等腰三角形"模型在综合题中的应用。本题中出现了两次这个模型，分别得到MB＝ME和NC＝NE。 练习5 已知：四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D。求证：BC＝CD。 【教师活动】提示学生：连接BD，构造等腰三角形，利用等边对等角先得到∠ABD＝∠ADB，再通过角的和差得到∠DBC＝∠BDC。 【学生活动】独立完成证明：连接BD。∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB（等边对等角）。∵∠ABC＝∠ADC（已知），∴∠ABC－∠ABD＝∠ADC－∠ADB，即∠DBC＝∠BDC。∴BC＝CD（等角对等边）。 【教师活动】点评：本题巧妙地将"等边对等角"（性质）和"等角对等边"（判定）结合起来使用，体现了性质与判定的密切联系。 【学生活动】举手提问：老师，这道题中如果不连接BD，还有别的证明方法吗？ 【教师活动】很好，这是一个有价值的问题！还可以连接AC，利用AB＝AD和∠B＝∠D来证明△ABC≌△ADC（SAS），从而得到BC＝CD。但连接BD的方法更简洁，因为只需要利用等腰三角形的性质和判定即可。 练习6 AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD交AD的延长线于点E，EF∥AC交AB于点F。求证：AF＝FB。 【教师活动】重点讲解此题，引导学生分步分析：第一步，利用AD平分∠BAC和EF∥AC，得到AF＝FE（第一次等角对等边）。 【学生活动】在教师引导下完成第一步推理：∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠EAC。∵EF∥AC，∴∠FEA＝∠EAC。∴∠FEA＝∠BAE。∴AF＝FE（等角对等边）。 【教师活动】第二步，利用BE⊥AE，得到∠FEA＋∠BEF＝90°，∠BAE＋∠FBE＝90°，从而推出∠FBE＝∠BEF。 【学生活动】在教师引导下完成第二步推理：∵BE⊥AE，∴∠AEB＝90°。∴∠FEA＋∠BEF＝90°，∠BAE＋∠FBE＝90°。由第一步知∠FEA＝∠BAE，∴∠FBE＝∠BEF。∴BF＝EF（等角对等边）。 【教师活动】总结：本题两次运用了"等角对等边"，第一次利用角平分线加平行线，第二次利用垂直构造等角的余角相等。这是本节课最具综合性的题目，体现了"等角对等边"在不同情境下的灵活运用。 【学生活动】总结反思：这道题让我认识到，证明线段相等不一定只用一种方法，学会在不同条件下灵活选用"等角对等边"或"全等三角形"等不同方法，才能提高解题效率。 易错提示：在练习6中，很多同学容易忽略垂直条件。实际上，BE⊥AE是证明∠FBE＝∠BEF的关键，它为等角的余角相等提供了前提。如果漏掉这个条件，就无法完成证明。 【设计意图】三道拓展练习难度递增，练习4巩固"平分角＋平行＝等腰三角形"模型，练习5综合运用性质和判定，练习6是本节课的"压轴题"，两次运用等角对等边，培养学生的综合分析和推理能力。 环节六：课堂小结（3分钟） 【教师活动】引导学生回顾本节课的主要内容，组织学生进行知识梳理。 【学生活动】积极回顾，回答教师的提问，梳理本节课的知识体系。 【教师活动】问题1：如何判断一个三角形是等腰三角形？ 【学生活动】回答：判定一个三角形是等腰三角形的方法有：（1）定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2）判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。 【教师活动】问题2：你能说说我们现在学习了哪些判断两条线段相等的方法吗？ 【学生活动】回答：证明两条线段相等的方法有：（1）全等三角形的对应边相等；（2）等角对等边（等腰三角形的判定定理）；（3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等（例2的作图原理）；（4）等边对等角（等腰三角形性质）的逆用也可以间接证明。 【知识点】核心知识回顾：等腰三角形的判定定理——等角对等边。判定与性质互逆。常用模型：平分角＋平行＝等腰三角形。 【设计意图】通过两个问题的引导，帮助学生系统梳理本节课的核心知识，建立知识框架，同时为后续学习埋下伏笔。 六、板书设计 15.3.1 等腰三角形（课时2） 等腰三角形的判定 一、判定定理 等角对等边 ∵∠B=∠C ∴AB=AC 二、证明方法 作高：AAS 作角平分线：AAS 三、性质与判定的关系 性质：等边→等角 判定：等角→等边 互为逆命题 四、例题 例1：外角平分线∥一边→等腰 例2：尺规作图 五、常用模型 平分角＋平行＝等腰三角形 六、证线段相等的方法 1.全等三角形 2.等角对等边 3.垂直平分线性质 七、教学反思 1. 本节课以海上救生船的情境问题导入，激发了学生的探究兴趣，自然引出"等角对等边"的猜想。情境与数学知识的衔接自然流畅，学生参与度高。 2. 在探究环节中，学生经历了"猜想—验证—证明"的完整过程，通过多种辅助线添加方法的讨论，培养了学生的发散思维和逻辑推理能力。学生在交流中提出了作高和作角平分线两种方法，说明对全等三角形的判定方法掌握较为扎实。 3. 例题和练习的设计遵循了由浅入深、由易到难的原则，特别是"平分角＋平行＝等腰三角形"模型的归纳总结，帮助学生建立了清晰的解题思路，提高了学生分析问题和解决问题的能力。 4. 练习6是本节课的难点，涉及两次"等角对等边"的综合运用。部分学生在利用垂直条件推导等角的余角相等时遇到了困难，需要教师在后续教学中加强等角的余角（补角）相等的训练。 5. 尺规作图环节，学生动手操作积极性高，但部分学生在作垂直平分线时操作不够规范，需要在后续练习中加强尺规作图的基本功训练。 6. 整体来看，本节课教学目标达成度较高，学生能够掌握"等角对等边"的判定定理并运用其进行证明和计算。在今后的教学中，可以进一步增加变式训练的力度，帮助学生更加灵活地运用判定定理解决综合性问题。 学科网（北京）股份有限公司 $