15.3.2 等边三角形-【重难点手册】2025-2026学年八年级上册数学（人教版·新教材）

重难点手册人年级数学上册划 15.3.2等边三角形 重点和难点 课标要求 重点：等边三角形的概念及性质，等边 1.用等腰三角形的性质去研究等边三角形的性质. 三角形除概念外的两种判定方法 2.类比等腰三角形的判定方法去学习等边三角形的判定方法. 难点：在直角三角形中，30°角所对的 3.在等边三角形和一边高线组成的图形中去认识含30°角 直角边等于斜边的一半。 的直角三角形 01一必备知识梳理。 知识点1等边三角形的定义与性质 例②已知等边三角形一边上的高为3，点 1.等边三角形的定义 P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的 三条边都相等的三角形叫作等边三角形 距离之和为() 2.等边三角形的性质 A终 B.3 c D.不能确定 等边三角形具有等腰三角形的所有性质， 其中不同的是：等边三角形的三个内角都相 解析如图，过，点A作AH⊥BC于点H, 等，每一个角都等于60°. 连接PA,PB,PC 例1如图，∠AOB=60°，OA=OB,C为 线段OB上一点，以AC为边在右侧作等边 △ACD,连接BD. (1)求证：DBOA; (2)探究AB,CB与BD之间的数量关系， :'SAABC-=SAAPB+S△BPC+S△APC' 并说明理由. 2AI·-2PD·B+号PE· BC+PF·AC 又AB=BC=CA, ..PD+PE+PF=AH=3. 解析(1)易证△AOB为等边三角形， 答案B ∴.AB=OA,∠OAB=60°. 特别提醒 易证△AOC≌△ABD(SAS), 等边三角形三边上的高、中线、角平分线分别 ∴.∠ABD=∠AOB=60°=∠OAB 重合，且相等。 ∴.BDOA. 知识点2等边三角形的判定 (2)CB十BD=AB.理由如下： 特别提国 .△AOC≌△ABD,∴.BD=OC. 1.定义法：证三边都相等， ..CB+BD=CB+OC=OB=AB. 根据等边三角形的定义，如果三角形中三条边 60 第十五章釉对称么出 ,∠ABE=∠BCD,AB=BC, 都相等，就可以直接得到等边三角形.利用定义证 明等边三角形是最直接的一种方法， ∴.△ABF≌△BCD(AAS). 2.等角法：证三个角都相等 .'BF=CD. 三个角都相等的三角形是等边三角形.在实际 .EF+BF=BE, 的证明过程中，想要证明三角形的三个内角相等， ∴.AE+CD=BE. 只需证明两个角相等且都等于60°就可以了. 3.等腰三角形法：有一个角是60°的等腰三角 易错点忽略特殊与一般的关系 形是等边三角形， 例如图1，已知∠AOB=120°，OP平分 例3如图1，在△ABC中，AB=AC,D ∠AOB,且OP=2,若点M,N分别在OA, 为△ABC内一点，AE∥CD,交BD的延长线 OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上 于点E,∠E=60°，∠ABE=∠BCD 述条件的△PMN有( (1)求证：△ABC为等边三角形； (2)探究AE,CD与BE之间的数量关系， B 并证明. 图1 图2 A.2个B.3个 C.4个D.无数个 错解B 错因容易由3个特殊位置得到只有 3个等边三角形 图1 正解如图2，作∠MPN=60°时，在 解析(1).AECD, OA上截取OE=OP, ∴.∠E=∠CDE=60° .∠CDE=∠CBD+∠BCD,∠ABE= :∠A0P-2∠AOB=60, ∠BCD, ∴.△OPE是等边三角形 ∴.∠ABE+∠CBD=60°，即∠ABC=60°. 易证△MPE≌△NPO, .'AB=AC, ∴.PM=PN ∴.△ABC为等边三角形， 又.∠MPN=60°， (2)AE十CD=BE.理由如下： ∴.△MPN是等边三角形. 如图2，在BE上截取EF=AE,连接AF, '.只要∠MPN=60°，△PMN就是等边 ∴.△AEF为等边三角形. .∠AFE=60° 三角形，故这样的三角形有无数个.故选D, .∠AFB=∠BDC 知识点3含30°角的直角三角形的性质 1.在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 例④如图，△ABC是边长为6的等边三 角形，P是AC边上一动点，由点A向点C运 图2 动（点P与点A,C不重合），Q是CB延长线 61 重难点手册人年级数学上册团 上的一点，与点P同时以相同的速度由点B向 如图，作点C关于直角边AB的对称点 CB的延长线方向运动（点Q不与点B重合）. D,则号DC=BD=BC-2AC,即DC=AC. 过点P作PE⊥AB于点E,连接PQ交AB于 又因为AD=AC,所以△ADC为等边三 点D.当∠BQD=30°时，求AP的长 角形，∠C=60°，故∠BAC=30°. 例5在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC 于点D,AC=2BD,则∠BAC= ←QB 答案30°或150°. 解析，△ABC是边长为6的等边三角形， 例6如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴.∠ACB=60°. AB边的垂直平分线MN交AB于点M,交 设AP=QB=x, BC于点N,且∠B=15°，AC=4cm,求BN 则PC=6-x,QC=QB十BC=6十x. 的长 当∠BQD=30°时，可得∠QPC=90°， M PC-QC,即6-x-26+x, N 解得x=2,即AP的长为2. 图1 图2 2.在直角三角形中，如果一条直角边等于 解析如图2，连接AN. 斜边的一半，那么这条直角边所对的角等 .MN为AB边的垂直平分线， 于30°. ∴.AN=BN.∴.∠NAB=∠B=15. ∴.∠ANC=∠B+∠NAB=30°. 在Rt△ACN中，∠ANC=30°， ∴.AN=2AC=2×4=8cm. ∴.BN=8cm 口02一关键能力提升。 题型1补形构造特殊三角形 例7如图1，已知∠BAD=120°，BD= 1.在三角形的问题中，120°角也是常见角， CD,AB十AD=AC. 可以利用120°角的外角找到60°角，通过添加 求证：AC平分∠BAD. 线段关系，构造等边三角形 2.在顶角为120°的等腰三角形中可以找 到30°角，通过作垂线的办法，构造含30°角的 直角三角形 3.遇到15°角时，常以15°角为底角，构造 图 图2 等腰三角形，其顶角的补角为30°. 62 第十五章 釉对称么组 证明如图2，延长BA到点E,使AE= AD,连接DE,则BE=AC MA 由∠BAD=120°知∠EAD=60°， R \2.7 故△ADE为等边三角形， BP Q 得DE=AD,∠E=60°. 解析作直线MN,PQ,SR,分别交于点 又BD=DC,所以△ACD≌△EBD(SSS)」 B,C,A. .六边形的每个内角都是120°， 所以∠CAD=∠E=60°，∠BAC=120° .可得正△AMS,正△NBP,正△RQC, 60°=60. 正△ABC 故AC平分∠BAD. .'四边长MN=3,NP=2.7,SR=2,MS=5, ◆变式1如图，在△ABC中，AB=AC,点 ∴.AB=BC=CA=10.7.∴.PQ+QR=8. D是△ABC外的一点，且∠ABD=∠ACD= ∴.该六边形的周长为20.7. 60°.求证：BD+DC=AB, 题型2作平行构造等边三角形 例9如图1，△ABC是等边三角形，D是 AC的中点，点E在BC的延长线上，点F在 AB上，∠EDF=120°. (1)求证：DE=DF; (2)若AB=4,求BE+BF的值， ●变式2如图，已知在四边形ABCD中， AB=AD,∠BAD=60°，∠BCD=120°.求证： BC+CD=AC. M/ 图1 图2 解析(1)如图2，作DM∥BC交AB于点 M,则△ADM为等边三角形，证△DCE≌ 例8如图，一个六边形的每个内角都是 △DMF即可. 120°，连续四条边的长依次是2.7,3,5,2，则该 (2)由(1)知CE=MF, 六边形的周长是多少？ ..BE+BF=BC+BM=4+2=6. 03热点考向聚焦。口 考向1等边三角形与全等三角形 (2)点P,Q是BC边上的两个动点（不与 例10（经典·北京中考）在等边△ABC中： 点B,C重合)，点P在点Q的左侧，且AP= (1)如图1，点P,Q是BC边上的两点， AQ,点Q关于直线AC的对称点为M,连接 AP=AQ,∠BAP=20°，求∠BAQ的度数； AM,PM. 63 重难点手册人年级数学上册划 ①依题意将图2补全 ,点Q关于直线AC的对称点为M, ②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P, ∴.AQ=AM=AP,∠QAC=∠MAC Q运动的过程中，始终有PA=PM.小茹把这 ∴.∠MAC=∠BAP 个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了 ∴.∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=6O° 证明该猜想的几种想法. ∴.∠PAM=60°. 想法1：要证明PA=PM,只需证△APM ∴.△APM是等边三角形. 是等边三角形； ∴.PA=PM 想法2：在BA上取一点N,使得BN= 考向2含30°角的直角三角形中斜边 BP,要证明PA=PM,只需证△ANP≌ 和直角边的关系 △PCM; 例11如图1，△ABC是等边三角形，D 想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转 是AC的中点，E是BC延长线上一点，CE= 60°，得到线段BK,要证PA=PM,只需证 CD,ED的延长线交AB于点F.求证： PA=CK,PM=CK. (1)EF⊥AB; 请你参考上面的想法，帮助小茹证明 (2)DE=2DF PA=PM(一种方法即可). B PQ C 图1 图2 图1 解析(1).AP=AQ, 证明(1)，△ABC是等边三角形， ∴.∠APQ=∠AQP. .AB=BC,∠ABC=∠ACB=60°. ∴.∠APB=∠AQC .CD=CE,∴.∠E=∠CDE. .△ABC是等边三角形， ,∠ACB=∠E+∠CDE, ∴.∠B=∠C=60° ∴.∠E=∠CDE=30°. ∴.∠BAP=∠CAQ=20°. ∴.∠ABC+∠E=90° ∴.∠BAQ=∠BAC-∠CAQ=60° ∴.∠BFE=90°. 20°=40°. ∴.EF⊥AB (2)①如图3. (2)如图2，连接BD ②（想法1）.AP=AQ, M ∴.∠APQ=∠AQP. B P Q ∴.∠APB=∠AQC. 图3 .△ABC是等边三角形， ∴.∠B=∠C=60° 图2 ∴.∠BAP=∠CAQ .AB=BC,D为AC的中，点， 64 第十五章釉对称么超 ∴.BD平分∠ABC ∴.∠ABD=∠CBD=30°=∠E. ∴.DE=BD=2DF. A D E 考向3夹半角模型 图1 如图1，在△ABC中，AB=AC,∠BAC= 证明如图2，顺时针作∠ECF=120°，CF =CE,连接AF,DF. a,∠DAE=,在△ABC外侧作AF,使 ∠DAF=∠BAC=a,且AF=AD,连接FC, B FE,则△ABD≌△ACF,△ADE≌△AFE D 图2 (SAS). ∴.∠FCE=∠ACB=120°. ∴.∠FCA=∠ECB, .'CA=CB,CF=CE, E ∴.△ACF≌△BCE(SAS) 图1 图2 ∴.BE=AF,∠CAF=∠B=30°. 如图2，在四边形ABCD中，AB=AD, ∴.∠FAD=∠CAF+∠CAB=60°. ∠BAD=a,∠EAF=号，在四边形外作AN, .∠FCE=120°，∠DCE=60°， ∴.∠FCD=60°=∠ECD. 使∠EAN=∠BAD=a,且AN=AE,连接 .CF=CE, FN,ND,则△ABE≌△ADN,△AEF≌ ∴.△FCD≌△ECD(SAS). △ANF(SAS). .DE=DF,∠CDF=∠CDE=75° 例12(2025·湖北武汉江岸区模拟)如 ∴∠ADF=30° 图1，在△ABC中，CA=CB,∠ACB=120°， ∴.∠FAD+∠ADF=60°+30°=90°. 点D,E在AB上，∠DCE=60°，∠CDE= ∴.∠AFD=90° 75°.求证：AD=2BE. ∴.AD=2AF=2BE 65