4.3 第4课时 用一元一次方程解决实际问题4 课件 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦用一元一次方程解决工程问题与分段计费问题，通过回顾工程公式和分段计费思想搭建基础，结合列表分析法梳理数量关系，以例题讲解和课堂练习逐步深入，最终总结“审设找列解验答”七步法，形成从知识回顾到实际应用的学习支架。 其亮点在于融入数学建模与分类讨论思想，如工程问题设总工作量为单位“1”，分段计费通过临界点判断区间，培养学生抽象能力和推理意识。学生能提升问题解决逻辑，教师可借助结构化内容高效开展教学，助力核心素养落地。

苏科版七年级数学上册 | 2026-2027学年 4.3.4用一元一次方程解决实际问题 本课学习重点：本节课聚焦两类核心实际应用题型： ① 工程问题：② 分段计费问题： 1.7.2013 同学们好，今天我们继续学习第四章第三节的内容，用一元一次方程解决实际问题。在前几节课中，我们已经掌握了一些基本的解题方法。今天，我们将聚焦两类非常重要的实际问题：工程问题和分段计费问题。通过本节课的学习，大家将学会如何运用列表分析法，更清晰、更高效地解决这些看似复杂的应用题。让我们一起开始今天的数学之旅吧！ ‹#› 学习目标 明确方向，高效学习，掌握核心方法 01 知识与技能 掌握一元一次方程解决工程问题和分段计费问题的方法。 熟练运用列表分析法梳理数量关系，准确找出等量关系，建立方程模型求解。 02 过程与方法 全程经历“问题情境→建立模型→求解验证”的数学活动流程。 在解题中体会并应用数学建模思想和分类讨论思想，提升逻辑分析能力。 03 情感与价值 通过解决生活中的实际问题，切实感受数学的应用价值，激发学习兴趣。 在小组合作交流中，培养严谨求实的科学态度与勇于探索的钻研精神。 学习寄语：数学源于生活，又服务于生活。今天就让我们带着这些目标，一起探索一元一次方程在解决实际问题中的奥秘！ 1.7.2013 在开始今天的课程之前，我们首先要明确本节课的学习目标。知识上，我们要掌握解决工程问题和分段计费问题的方法，并学会使用列表分析法。过程与方法上，我们将体验从实际问题到数学模型的转化过程。情感上，希望大家能感受到数学的实用价值，培养严谨的科学态度。请大家带着这些目标，投入到接下来的学习中。 ‹#› 知识回顾 01. 工程问题基本公式 核心公式：工作总量 = 工作效率 × 工作时间 ｜ 工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间 ｜ 工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率 关键思考：当题目未给出具体的总工作量时，为方便计算，统一将总工作量看作单位“1”，此时工作效率可表示为“每天完成总工作量的几分之一”。 02. 分段计费问题核心思想 口诀：先判断，后计算，分段求和是关键 第一步先确定计费数量（如用水度数、打车里程、消费金额等）落在哪个收费区间；第二步分阶段计算每个区间对应的费用；最后将各分段计算出的费用相加，得到总费用。这类问题的易错点是在区间临界点上的判断，需格外注意收费标准的变化点。 1.7.2013 在学习新知识之前，我们先来回顾一下相关的旧知识。对于工程问题，大家要牢记这三个基本公式，明确工作总量、效率和时间的关系，特别是当题目没有具体工作量时，把总量看作“1”是解题的通用技巧。 接着是分段计费问题，它的核心口诀就是“先判断，后计算”。做题时，一定要先看清数量在哪个区间，再分开计算各段费用，最后求和。这些都是我们今天要用到的重要基础，请大家务必熟练掌握。 ‹#› 例题讲解 例 1 题目：一项工程，甲队单独做需要30天完成，乙队单独做需要20天完成。现在甲、乙两队合作施工，请问一共需要多少天才能完成整个工程？ 参与角色 工作效率（每天） 合作工作时间 完成工作量 甲队 1/30 x x/30 乙队 1/20 x x/20 01. 核心等量关系：甲队完成工作量 + 乙队完成工作量 = 总工程量（将总工程量看作“1”） 02. 根据关系列方程：x/30 + x/20 = 1（解此方程即可求出合作时间 x） 1.7.2013 好，我们来看第一个新知识：工程问题。这里有一个基础例题，请大家看题。一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，求合作时间。 解决这类问题的关键是列表分析，把题目中的条件梳理清楚。 我们设合作需要x天完成。那么，甲队的工作效率是每天完成总量的1/30，工作x天，完成的工作量就是x/30。同理，乙队的工作效率是1/20，工作量就是x/20。 表格里清晰列出了这些信息。最关键的一步是找到等量关系：甲和乙完成的工作量加起来，正好等于整个工程，也就是单位“1”。 所以，我们就可以列出方程：x/30 加 x/20 等于 1。这就是解决这道题的核心列式。 ‹#› 基础例题1 解含分母的一元一次方程 x/30 + x/20 = 1 第一步：去分母方程两边同时乘以分母30和20的最小公倍数60，消去分母：60×(x/30) + 60×(x/20) = 60×1 → 2x + 3x = 60 第二步：合并同类项将含有未知数x的项合并计算：5x = 60 第三步：系数化为1方程两边同时除以未知数系数5，求出解：x = 60 ÷ 5 → x = 12 第四步：检验解的正确性将 x=12 代入原方程左边：12/30 + 12/20 = 2/5 + 3/5 = 1，与右边相等，说明解正确。 最终结论：因此，甲、乙两队合作完成该项工作，一共需要12天。 ★ 关键技巧：解含分母的一元一次方程时，去分母是第一步，注意要给方程两边的每一项都乘以所有分母的最小公倍数，不要漏乘常数项。 1.7.2013 列出方程后，我们来解这个方程。这是一个含有分母的方程，第一步是去分母，两边同乘以60，得到2x + 3x = 60。合并同类项后是5x=60，解得x=12。 最后，别忘了检验。把x=12代回原方程，左边等于1，等于右边，说明我们的解是正确的。所以，答案是两队合作需要12天完成。 ‹#› 课堂练习 1.某市政工程，若由甲工程队单独施工，需要 45 天完成；若由乙工程队单独施工，需要 30 天完成。现计划先由甲队单独施工 10 天后，剩余的工程由甲、乙两队合作完成，请问两队合作还需要多少天才能完成全部工程？ 【分析提示】 解题思路：设两队合作还需要 x 天完成，则甲队总共工作了 (10 + x) 天，乙队仅在合作阶段工作了 x 天。 等量关系：甲队完成的工作量 + 乙队完成的工作量 = 总工作量（记为 1） 列方程：(10 + x)/45 + x/30 = 1 1.7.2013 现在，我们来做一个课堂练习，检验一下大家是否掌握了工程问题的解题方法。这道题比刚才的例题稍微复杂一点，是典型的“先单独做，后合作做”的分段工程问题。 题目是关于市政工程的，甲队和乙队单独做的时间都告诉我们了。关键信息是：甲先单独干了10天，然后剩下的部分两队一起干。 请大家尝试用我们刚才讲的列表分析法来梳理条件。建议设还需要合作的天数为x。那么，甲队总共工作了多少天？乙队呢？ 大家可以根据屏幕上给出的等量关系提示，试着列出方程，然后动笔计算一下，看看最终还需要合作多少天能完成任务。算好的同学可以举手示意。 ‹#› 例题讲解 新知讲解二：分段计费问题 例 2 用电量范围（度） 收费标准（元/度） 月用电量不超过 180 0.52 超过180但不超过280的部分 0.57 超过 280 的部分 0.82 问题：小明家2026年10月付电费131.3元，求该月用电量？（提示：先判断费用落在180-280度区间） 等量关系：第一段电费（180度） + 第二段电费（超出180度部分） = 总电费131.3元 列方程：180×0.52 + (x - 180)×0.57 = 131.3 1.7.2013 接下来我们学习第二类问题：分段计费问题。这类问题在生活中很常见，比如水电费、电话费等。 看这个例题，电费分三段计费。小明家电费131.3元，求用电量。 解题的第一步是判断用电量在哪个区间。通过计算，我们发现131.3元大于180度的费用，小于280度的费用，所以用电量在180到280度之间。 我们设用电量为x度，然后用表格列出每一段的电费。第一段是180度，费用是180×0.52。第二段是超过180的部分，即(x-180)度，费用是(x-180)×0.57。两者相加等于总电费131.3元，方程就列出来了。 ‹#› 【方程求解步骤】 1. 原方程：180×0.52 + (x - 180)×0.57 = 131.3 2. 去括号/计算：93.6 + 0.57x - 102.6 = 131.3 3. 合并同类项：0.57x - 9 = 131.3 4. 移项化简：0.57x = 140.3 5. 系数化为1：x ≈ 246.14 【检验】：180×0.52 + (246.14-180)×0.57 ≈ 93.6 + 37.7 = 131.3，与等式右边相等，解正确。 【答】：小明家这个月用电约 246.14 度。 基础例题2：电费计算方程求解 解题示范 1.7.2013 我们来解这个方程。先计算180乘以0.52等于93.6，然后展开括号，得到93.6加0.57x减102.6等于131.3。合并同类项后是0.57x减9等于131.3。移项得到0.57x等于140.3，最后解得x约等于246.14。 检验一下，这个结果代入计算后，总电费确实约等于131.3元，说明解是正确的。所以答案是小明家这个月用电约246.14度。注意，实际生活中度数出现小数是正常的，这符合数学计算的结果。 ‹#› 课堂练习2 【题目背景】某地电话拨号上网有两种收费方式供用户选择：(A)计时制：0.05元/分钟；(B)包月制：50元/月。此外，每种上网方式都需加收通信费0.02元/分钟。 (1) 费用表达：若某用户某月上网时间为x小时，请分别写出两种收费方式下该用户应支付的总费用（用含x的代数式表示）。 (2) 方案选择：若该用户估计一个月内上网时间为20小时，请通过计算说明此时采用哪种方式更合算？ 💡 关键分析提示：① 单位统一：需将“小时”全部转换为“分钟”，即 x 小时 = 60x 分钟； ② 费用拆解：计时制无固定费用，总费用为每分钟单价之和乘以总时长；包月制包含50元固定费 + 按分钟计算的通信费。 参考对比：A方式总费用 = (0.05+0.02)×60x = 4.2x 元； B方式总费用 = 50 + 0.02×60x = 50 + 1.2x 元。代入x=20即可算出具体金额比较！ 1.7.2013 我们来看这个上网收费的方案选择问题，这是典型的分段计费应用。 题目给出了两种方式：计时制和包月制，大家注意题目里说每种方式都要加收通信费，这一点很容易漏掉。 解题第一步，也是最关键的一步，就是统一单位。题目给的上网时间是小时，而收费是按分钟算的，所以必须先把小时换成分钟，也就是乘以60。 然后，我们来拆解两种费用。计时制没有固定费用，每分钟要交的钱是0.05加0.02，再乘以总分钟数。包月制是先交50块钱，然后还要交通信费，通信费还是按分钟算。 最后第二问，大家把20小时代进去，算一算两种方式分别要交多少钱，就知道选哪个更划算了。现在大家动笔算一算。 ‹#› 用一元一次方程解决实际问题（七步法） 步骤总结 01 审（审题）：仔细读题，明确已知量、未知量，梳理题目中的数量关系背景。 02 设（设元）：选取关键未知量，设为字母（如x），可直接设也可间接设，注明单位。 03 找（找等量）：分析题意，挖掘能表达题目全部含义的等量关系，这是列方程的核心。 04 列（列方程）：根据找到的等量关系，把已知数和未知数代入，列出一元一次方程。 05 解（解方程）：运用等式的性质，规范求解方程，得出未知数的数值解。 06 验（检验）：① 代入方程左右验证等式成立；② 检查解是否符合实际问题的意义（如人数为正整数）。 07 答（作答）：完整写出问题的最终答案，包括相应的单位名称，保证书写规范。 ★ 核心要点：“找等量关系”是列方程的关键，“检验”是确保答案有效的保障！ 1.7.2013 学习了这么多例题和练习，我们来总结一下用一元一次方程解决实际问题的一般步骤，我把它归纳为“七步法”：审、设、找、列、解、验、答。 审题是基础，设元是关键的第一步，找等量关系是核心，然后是列方程、解方程。 特别重要的是“检验”，不仅要检验解是否满足方程，更要检验它是否符合实际情况。 最后，写出清晰的答案。掌握了这七个步骤，大家解决应用题的能力就会大大提高。 ‹#› 课堂小结 一、两类核心问题 1. 工程问题：核心等量关系为“各部分工作量之和 = 总工作量”，通常将总工作量设为单位“1”计算。｜ 2. 分段计费问题：遵循“先判断区间，后分段计算”原则，最后将各段费用求和得到总价。 二、方法与通用流程 列表分析法：梳理已知量与未知量的对应关系，化繁为简。 解题七步法：审 → 设 → 找 → 列 → 解 → 验 → 答（规范步骤，减少失误）。 三、数学思想感悟 建模思想：将生活中的实际问题抽象转化为一元一次方程的数学模型解决。 分类讨论思想：在处理分段计费等问题时，需按不同情况分类研究，避免漏解。 💡 总结：掌握方法、遵循流程、活用思想，是攻克应用题的关键！课后请针对性练习巩固。 1.7.2013 好了，这节课的主要内容就到这里。我们来回顾一下，今天我们学习了两类典型的应用题：工程问题和分段计费问题。我们掌握了一种非常有效的分析方法——列表分析法。同时，我们还总结了解决这类问题的通用流程——七步法。在思想方法层面，大家要体会建模思想和分类讨论思想的应用。希望同学们课后能多加练习，熟练掌握这些知识和方法。 ‹#› 小灶课 欢迎来到数学小灶课！ 同学们，相信大家已经熟练掌握了基础题型，接下来让我们一起挑战更有趣、更具挑战性的复杂应用题！在这个“小灶课”环节，我们将跳出固定套路，锻炼分析问题的深层逻辑，体会数学知识在不同场景下的灵活运用。 这不仅能帮大家巩固知识，更能培养严谨的推理能力和创新思维。准备好迎接挑战，一起探索数学里隐藏的奥秘了吗？让我们马上开始！ ✨ 调整状态，集中注意力，精彩内容即将呈现！ ✨ 1.7.2013 同学们，基础题已经掌握了，想不想挑战一下更有趣、更复杂的应用题？接下来，我们将进入“小灶课”时间。这部分内容将帮助你们提升分析复杂问题的能力，体会数学知识的灵活应用，并培养严谨的逻辑推理和创新思维。准备好了吗？让我们一起探索数学的奥秘吧！ ‹#› 例题讲解 例 1 题目：一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要18天完成。现在先由甲做了若干天后，乙加入一起合作2天，最后乙再单独做3天完成全部工程。求甲一开始单独做了多少天？ 阶段 & 角色 工作效率 工作时间(天) 完成工作量 第一阶段：甲独做 1/12 x x/12 第二阶段：甲乙合作 1/12 + 1/18 2 2/12 + 2/18 第三阶段：乙独做 1/18 3 3/18 等量关系：各阶段工作量之和 = 总工作量（1） ｜列方程：x/12 + (2/12 + 2/18) + 3/18 = 1 1.7.2013 我们来看第一个拔高类型：复杂工程问题。这道题的工作过程分成了三个阶段：甲先单独做，然后甲乙合作，最后乙再单独做。 解决这类问题的关键是“化整为零”，把每个阶段的工作量都计算出来。我们设甲一开始单独做了x天，然后用表格把每个阶段每个人的工作量都表示出来。 表格清晰地列出了三个阶段各自的效率、时间和工作量。最后，根据“所有阶段工作量之和等于总工作量1”这个核心等量关系，列出方程，就可以求解了。 ‹#› 解题演算 拔高例题1：求解方程并总结工程问题核心思路 ｜ 方程：x/12 + (2/12 + 2/18) + 3/18 = 1 演算步骤：第一步通分 → x/12 + 10/36 + 6/36 = 1 ｜ 合并同类项 → x/12 + 16/36 = 1 → x/12 + 4/9 = 1 移项化简 → x/12 = 1 - 4/9 = 5/9 ｜ 最终求解 → x = (5/9) × 12 = 20/3 最终答案：甲一开始单独做了 20/3 天（即 6又2/3 天）。 ★ 核心方法点拨 01. 化整为零思维： 将复杂工程拆解为独立阶段，分别计算各阶段工作量，最后以“总工作量=1”为等量关系列方程求解。 02. 紧盯“人时”对应： 解题关键在于梳理每个人参与工作的具体时间段，避免混淆不同主体的工作时长，做到“人”与“时间”一一对应。 1.7.2013 这一页我们通过拔高例题1，来具体解析工程问题的求解步骤。 首先看中间的解题演算，面对这个复杂的方程，我们的思路是先通分，把分母统一，然后合并同类项，经过化简，最终解得x等于三分之二十。虽然这个答案是一个分数，但在数学上是完全合理的，代表6又三分之二天。 解决这类复杂工程问题的核心方法，总结在页面下方：第一是“化整为零”，把复杂的合作过程拆解成独立的小阶段分别计算；第二是一定要关注“人”和“时间”的对应关系，明确谁在哪个时间段做了工作，不要混淆。掌握了这两点，这类问题就迎刃而解了。 ‹#› 例题讲解 拔高类型二：进阶分段计费 例 2 题目：某书店推出优惠方案：一次性购书不超过200元，九折优惠；超过200元的部分，其中200元按九折算，超出部分按八折算。小王购书付款212元，请问他所购书的原价是多少元？ 解题思路分析 01. 判断原价区间 计算临界点：原价200元时，折后为200×0.9=180元。实际付款212元＞180元，因此判定书的原价一定超过200元。 02. 列方程求解 设原价为x元(x>200)。费用分两段：200元打9折，超出的(x-200)元打8折，总和为212。方程：200×0.9 + (x-200)×0.8 = 212。 关键技巧：已知付款反求原价时，第一步必须先计算并对比“临界点”的折后金额，以此确定原价落在哪个收费区间，避免列错方程。 1.7.2013 接下来我们看一道进阶的分段计费问题。这道题的难点在于，它不是直接告诉你原价让你算钱，而是反过来，告诉你付款金额，让你求原价。 做这类题的第一步，也是最关键的一步，就是“判断区间”。我们先看优惠的临界点是200元，花200元的话，打完九折是180元。现在小王付了212元，比180元多，说明他买书的原价肯定超过了200元。 确定了区间后，第二步就是列方程。我们设原价是x元。既然超过了200，那就要分段算：其中200元那部分打九折，剩下的(x减200)元那部分打八折。这两部分加起来等于他实际付的212元。把这个等量关系写成方程，这道题就迎刃而解了。大家重点掌握这种先判断区间，再列方程的思路。 ‹#› 拔高例题2解析 折扣优惠计算 · 过程与核心方法 01. 完整解题步骤： 原方程：200×0.9 + (x - 200)×0.8 = 212 ｜ 展开化简：180 + 0.8x - 160 = 212 → 0.8x + 20 = 212 ｜ 移项计算：0.8x = 192 → 解得x = 240 检验：将 x=240 代入，200×0.9 + (240-200)×0.8 = 180 + 32 = 212，与实际付款一致，解成立。答：所购书的原价是240元。 02. 核心方法点拨 — 临界点分析： 解题关键是先找到优惠规则的“价格临界点”（如本题的200元），对比实际付款总额与临界点的折后金额，快速判断原价落在哪个优惠区间，避免计算时选错折扣比例，减少分段讨论的步骤。 03. 数学思想总结 — 分段函数思维： 此类折扣计费本质是“分段函数”模型：最终付款金额（函数值）由商品原价（自变量）所处的不同区间决定不同的计算规则。解题的过程就是逆向推导，根据已知的函数值（付款额），反推其对应的自变量（原价）所在区间并求解。掌握此思维能解决阶梯水费、电费、计程车计费等一系列同类实际问题。 1.7.2013 这道题的解题过程非常清晰：我们列出方程后，经过展开、移项，很容易算出x等于240。大家一定要注意检验，把240代入题目条件，200元打九折，剩下的40元打八折，加起来正好是212元，说明解是对的。 做这类题最重要的有两点： 第一，用“临界点分析”的方法，先判断原价是在哪个档位里的，不要上来就乱算折扣。 第二，要理解背后的“分段函数思想”，因为这种计费方式是分段落的。掌握了这个思想，以后遇到水费、电费、打车费这些题目，都可以用同样的逻辑来解决。 ‹#› 拔高例题3 【例题描述】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲的速度是6千米/小时，乙的速度是4千米/小时，A、B两地相距20千米，问两人出发后几小时相遇？ 【核心类比思路】该行程问题与工程问题数学模型一致：总路程（20千米） ⇌ 总工作量；速度（km/h） ⇌ 工作效率；相遇时间 ⇌ 合作完成时间。 方法一：常规行程解法 等量关系：甲路程 + 乙路程 = 总路程 方程：6x + 4x = 20 → 解得 x = 2（小时） 方法二：工程思想类比 等量关系：速度和占全程比 × 时间 = 1 方程：(6/20 + 4/20)x = 1 → 解得 x = 2（小时） 💡 结论：行程相遇问题本质与工程合作问题一致，两种思路可互通验证，最终相遇时间均为2小时。 1.7.2013 这一页我们来看一个典型的综合拔高题。这是行程中的相遇问题，但它的数学模型与工程问题完全一致。总路程相当于总工作量，速度相当于效率，相遇时间就是合作时间。 第一种方法是常规行程解法，两人路程和等于总路程，6x加4x等于20，直接解得x等于2。 第二种方法是用工程问题思想，把全程看作单位1，两人速度占全程的比例之和乘以时间等于1，算出来的结果也是2。 这说明，只要掌握了数量关系的本质，不同类型的应用题是可以互通的。 ‹#› 点拨 拔高例题3：掌握模型迁移思维 核心原理：许多看似毫无关联的数学问题，其底层逻辑模型是完全相通的。解决此类问题的关键，在于透过现象看本质，剥离具体的“场景外衣”。 01. 行程 · 相遇模型 场景虽为路程和速度，但计算本质遵循：（甲速度 + 乙速度）× 相遇时间 = 总路程。 02. 工程 · 合作模型 看似是工作效率与任务，但计算逻辑与相遇问题完全一致：（甲工效 + 乙工效）× 合作时间 = 总工作量。 1.7.2013 这道拔高例题给我们的核心启发就是掌握“模型迁移”的能力。很多问题，从表面上看一个是行程，一个是工程，风马牛不相及。但它们的数学模型完全一致。 大家看，相遇问题中是两个人一起走完全程，合作问题中是两个人一起完成全部任务。本质上，它们都遵循着同样的数量关系：“效率和乘以时间等于总量”。 大家以后做题，千万不要被题目表面的“路程”、“工作量”这些名词吓到。只要识别出是“多个人/物一起做一件事”，就可以套用这个模型，把各自的效率加起来，再去乘时间。掌握这个方法，就可以事半功倍。 ‹#› 含字母参数的工程应用题 【拔高例题4】 一项工程，甲单独做需要 a 天完成，乙单独做需要 b 天完成。若甲、乙两人合作完成该项工程，问：两人合作需要多少天可以完工？ 01 / 思路解析 ① 代数化：将字母 a、b 看作已知常数，工作总量设为“1”； ② 求效率：甲效率为 1/a，乙效率为 1/b； ③ 列方程：设合作需 x 天，则 (1/a + 1/b)x = 1。 答案：合作完成时间为 x = ab/(a+b) 天。 02 / 方程求解过程 整理方程：(b+a)/(ab) · x = 1 两边同乘 ab：(a+b)x = ab 解得：x = ab/(a+b)（a≠-b）。 03 / 方法点拨 代数思维：将字母参数看作具体数字，参与列式与运算，是从算术到代数的关键跨越。 公式结论：该题结果可作为通用公式记忆，适用于所有已知两人单独完成时间求合作时间的场景。 易错警示：切勿错误将合作时间写成 (a+b)/2，需严格按“总量÷效率和”计算。 1.7.2013 接下来是拔高类型四，含有字母参数的应用题。这道题的工作时间不是具体数字，而是用字母a和b表示。 解题方法和数字题完全一样，我们只需要把字母a和b看作已知的数。首先，把工作总量看作1，甲的效率是1/a，乙的效率是1/b。 设合作x天完成，列出方程(1/a + 1/b)x = 1。解这个方程时，先通分，再变形，最终得到x等于ab/(a+b)。 这个结果可以看作是两人合作时间的一个通用公式，大家可以把它记下来。这道题最关键的是锻炼我们的代数思维，也就是把字母当作具体的数字来进行运算的能力，这是学习后续方程知识的重要基础。 ‹#› 拔高例题 【题干背景】某学校计划2027年组织七年级360名学生春游，需租用客车出行。现有甲、乙两种客车可供选择，具体参数如下：甲客车每辆载客45人，租金250元；乙客车每辆载客30人，租金200元。所有车辆均需保证安全合规使用。 01 / 单一车型核算若学校只选用甲种客车或只选用乙种客车，且要求每辆车都坐满，请分别计算这两种单一方案各自需要花费多少租金？ 02 / 混合方案优化为节省成本，学校决定同时租用甲、乙两种客车，且必须保证每一辆车都坐满无空座。请列出所有符合条件的租车方案，并计算每种方案的总租金，分析并指出最省钱的方案是哪一种？ 思考提示：可设租用甲x辆，乙y辆，建立方程 45x + 30y = 360，转化为求非负整数解后进行费用对比。 1.7.2013 最后，我们来看一个开放性的方案设计问题。这是一个非常贴近生活的租车问题。 题目给出了两种客车的载客量和租金：甲车45人250元，乙车30人200元，总共有360名学生。 第一问比较简单，是单一车型的计算，我们只需要用总人数除以每种车型的载客量，再乘以对应的租金就能得出结果。 第二问是本节课的拔高重点。我们需要设租用甲车x辆，乙车y辆，根据总人数列出方程 45x + 30y = 360。这是一个二元一次方程，核心在于我们要根据实际意义找出所有满足条件的非负整数解。每一组解就对应一种可行的租车方案。 最后，我们把每一组解对应的租金算出来进行比较，就能找到最省钱的方案。大家在解题时，要特别注意“每辆车都坐满”这个关键条件，它决定了我们筛选整数解的规则。 ‹#› 拔高例题5：租车方案费用优化计算 一、单独租车方案计算： ① 只租甲车：总人数360人，甲车每辆45人 车辆数：360 ÷ 45 = 8 辆；租金：8 × 250 =2000元 ② 只租乙车：乙车每辆30人 车辆数：360 ÷ 30 = 12 辆；租金：12 × 200 =2400元 二、混合租车方程建立： 设租用甲车x辆，乙车y辆。根据人数列方程： 45x + 30y = 360 → 化简得 3x + 2y = 24 由正整数限制，x必为偶数，即 x=2、4、6。 三、混合租车费用讨论： ✓ 方案1 (x=2,y=9)：2×250 + 9×200 = 2300元 ✓ 方案2 (x=4,y=6)：4×250 + 6×200 = 2200元 ✓ 方案3 (x=6,y=3)：6×250 + 3×200 = 2100元 ★ 最终最优方案结论： 对比四种方案（2种单独+3种混合），最省钱的是租用甲车6辆、乙车3辆。 最低总租金：2100元 1.7.2013 这一页我们来完整解析拔高例题5的解题步骤。 首先看左边，第一步，我们先分别计算只租一种车的情况。只租甲车的话，需要8辆，花费2000元；只租乙车需要12辆，花费2400元。这两种方案里，甲车单独租已经比较便宜了。 接下来，我们考虑混合租车。设未知数列出方程 45x + 30y = 360，化简后根据整数限制，找出所有可能的方案。 看右边，我们计算了三种混合方案的费用。可以发现，随着甲车数量增加，总租金在减少。 最后对比所有可能的方案，我们得出最终结论：租用6辆甲车和3辆乙车时，总租金最低，仅需2100元。这就是这道题最省钱的方案。 ‹#› 要点复盘 解决复杂应用题的金钥匙 01 精准审题，拆分问题 耐心阅读题干，精准锁定题目中的“主角”（核心量），将冗长复杂的描述化整为零，分段梳理已知条件与未知需求，拒绝信息混乱。 02 寻找关系，建立模型 梳理各量之间的内在联系，挖掘隐藏的等量关系；灵活运用列表格、画线段图等工具辅助分析，把文字语言转化为直观的数学模型。 03 严谨计算，规范步骤 依据建立的数学模型列式计算，书写规范清晰的解题步骤，保持计算过程的严谨性，避免低级失误。 04 检验反思，回归实际 得出答案后必须代入原题情境进行检验，判断结果是否符合实际意义，反思解题方法的优劣，形成完整的解题闭环。 1.7.2013 “小灶课”的内容就到这里。我们来总结一下解决复杂应用题的“金钥匙”。 首先要耐心审题，找准问题中的“主角”。其次，要学会化整为零，分段思考。核心是寻找等量关系，建立数学模型。同时，要活用列表、画图等工具辅助分析。最后，解出答案后一定要检验反思，确保符合实际。 数学的魅力在于它的严谨和灵活，希望同学们在不断的挑战中体会到学习的乐趣！今天的课就到这里，谢谢大家！ ‹#› 循理而行，来日再研 $