4.2一元一次方程及解法 暑期讲义 2026--2027学年苏科版数学七年级上册

暑期讲义 · 4.2 一元一次方程及解法 第四章 一元一次方程 4.2 一元一次方程及解法 暑期讲义 一、重难点一览 知识要点 重点 难点 一元一次方程的概念 理解一元一次方程的定义及标准形式 准确判断一元一次方程 移项与合并同类项 掌握移项法则和合并同类项 移项必须变号的理解 去括号解方程 掌握去括号法则解方程 括号前为负号时各项变号 去分母解方程 掌握去分母的方法 不漏乘不含分母的项，分子加括号 含参方程 理解参数对方程解的影响 分类讨论思想的应用 二、教材知识点盘点 知识点一 一元一次方程的概念 一元一次方程：含有____________个未知数，未知数的次数都是____________次的____________方程。 一元一次方程的标准形式：____________（其中 a≠0）。 一元一次方程必须同时满足三个条件：①是____________；②只含____________个未知数；③未知数的最高次数为____________。 注意：分母中____________含有未知数的方程不是一元一次方程。 知识点二 解一元一次方程的一般步骤 解一元一次方程的一般步骤： 第一步——____________：在方程两边同乘各分母的____________，消去分母。注意：____________也要乘，分子是多项式时要加____________。 第二步——____________：利用____________和____________法则去掉括号。注意括号前是负号时，去掉括号后括号内各项都____________。 第三步——____________：把含有未知数的项移到方程____________，常数项移到方程____________。注意：移项必须____________。 第四步——____________：把方程化成 ax=b（a≠0）的形式。 第五步——____________：在方程两边同除以____________，得到 x=。 口诀记忆：去分母、去括号、移项、合并同类项、____________。 知识点三 移项法则 移项：把方程中的某一项____________后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项。 移项的依据是等式的基本性质____________。 移项法则：移项必须____________。即正变负、负变正。 知识点四 去分母的方法 去分母的方法：找出方程中各分母的____________，然后在方程两边同时____________这个最小公倍数。 去分母时的注意事项： ① 方程两边的____________项都要乘（不能漏乘不含分母的项）； ② 当分子是多项式时，去分母后分子要加____________。 三、随堂练习 （一）选择题 1. 下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A. x²+1=0 B. 2x+3y=5 C. +2=3 D. 3x-7=2 2. 方程 2(x-3)-3(x+1)=1 去括号后正确的是（ ） A. 2x-6-3x+3=1 B. 2x-6-3x-3=1 C. 2x-3-3x+1=1 D. 2x-6+3x-3=1 3. 方程 - = 1 去分母后正确的是（ ） A. 3(x-1)-2(2x+1)=1 B. 3(x-1)-2(2x+1)=6 C. 3x-1-4x+1=6 D. 3(x-1)-2(2x+1)=0 4. 方程 3x+5=2x-1 移项后正确的是（ ） A. 3x-2x=-1-5 B. 3x+2x=-1+5 C. 3x-2x=-1+5 D. 3x-2x=1-5 5. 若 2x-3=5，则 x 的值为（ ） A. x=1 B. x=4 C. x=3 D. x=-1 6. 下列变形中，正确的是（ ） A. 由 3x=2x-5 得 3x-2x=5 B. 由 3x=2x-5 得 3x+2x=-5 C. 由 3x=2x-5 得 3x-2x=-5 D. 由 3x=2x-5 得 x=-5 7. 方程 4-2(x-1)=6 的解是（ ） A. x=0 B. x=1 C. x=-1 D. x=2 （二）填空题 8. 若 (m-2)x(m-1)=3 是关于 x 的一元一次方程，则 m=________。 9. 方程 5x-2=3x+6 的解是 x=________。 10. 若 3(x-2)=2x-1，则 x=________。 11. 方程 - = 1 的解是 x=________。 12. 当 x=________时，代数式 2x-3 的值与 5-x 的值相等。 13. 若关于 x 的方程 2x+a=3x-1 的解为 x=3，则 a=________。 （三）解方程 14. 解下列方程： （1）3x+7=2x-5 （2）5-2x=3x+15 （3）4(x-2)=3(x+1)-2 15. 解下列方程： （1） - = 1 （2） - 1 = 16. 解方程： - = + 1 四、分知识点强化训练 知识点一 一元一次方程的概念 （一）选择题 1. 下列方程中是一元一次方程的是（ ） A. 3x²-5=0 B. x+y=7 C. 2x-1=3 D. =5 2. 下列方程中不是一元一次方程的是（ ） A. 2x=0 B. -3x+1=4 C. x=-5 D. x²+x=2 3. 若 (k-1)x|k|+3=0 是关于 x 的一元一次方程，则 k 的值为（ ） A. k=1 B. k=-1 C. k=±1 D. k=0 4. 方程 (a-2)x²+3x-1=0 是关于 x 的一元一次方程，则 a 的值为（ ） A. a=2 B. a=-2 C. a=0 D. a≠2 （二）填空题 5. 已知 (m-3)x(|m|-2)=5 是关于 x 的一元一次方程，则 m=________。 6. 已知 (2k-4)x²+3kx+1=0 是关于 x 的一元一次方程，则 k=________，方程为________。 7. 写出一个解为 x=3 的一元一次方程：________。 8. 若 3x(2n-3)+5=0 是关于 x 的一元一次方程，则 n=________。 （三）解答题 9. 已知方程 (m+1)x(|m|)+3=0 是关于 x 的一元一次方程，求 m 的值及方程的解。 10. 已知关于 x 的方程 (a²-4)x²+(a+2)x+3=0 是一元一次方程，求 a 的值。 知识点二 移项与合并同类项 （一）选择题 1. 方程 3x-5=2x+3 移项正确的是（ ） A. 3x+2x=3-5 B. 3x-2x=3+5 C. 3x-2x=3-5 D. 3x+2x=3+5 2. 方程 7-3x=5x-1 移项后正确的是（ ） A. -3x-5x=-1-7 B. -3x+5x=-1+7 C. 3x+5x=7+1 D. -3x-5x=1-7 3. 下列移项正确的是（ ） A. 由 2x=3x-4 得 2x-3x=4 B. 由 2x=3x-4 得 2x-3x=-4 C. 由 2x=3x-4 得 2x+3x=-4 D. 由 2x=3x-4 得 2x+3x=4 （二）解方程 4. 解下列方程： （1）5x-3=3x+7 （2）2x+1=6x-3 （3）7x-2=4x+10 （4）3-2x=5x+10 5. 解下列方程： （1）4x-7+2x=3x+8 （2）2(x-3)-5=3(x+2)-8 （3）6-3(x-1)=2(x+4)-1 6. 解下列方程： （1）2(3x-1)-3(2x+1)=5 （2）5(x-1)-2(3x+1)=3(1-x) （3）3[x-2(x-1)]=4(x-3) 知识点三 去括号解方程 （一）选择题 1. 方程 -2(3x-1)=4 去括号后正确的是（ ） A. -6x-2=4 B. -6x+2=4 C. -6x+1=4 D. 6x-2=4 2. 方程 3-(2x-5)=7 去括号后正确的是（ ） A. 3-2x-5=7 B. 3-2x+5=7 C. 3+2x-5=7 D. 3-2x+5=-7 3. 方程 2-[3(x-1)-2x]=1 化简后正确的是（ ） A. 2-3x+3+2x=1 B. 2-3x-3-2x=1 C. 2-3x-3+2x=1 D. 2-3x+3-2x=1 （二）解方程 4. 解下列方程： （1）3(x-2)=2(x+1) （2）5(x+3)-2(x-1)=8 （3）4-2(x-3)=3(x+2) 5. 解下列方程： （1）2(x-3)-3(x+2)=4 （2）3[2(x-1)-3]=2(x+4) （3）2[3(x-1)-(2x+3)]=5 6. 解下列方程： （1）3(x-2)-2(x+1)=2(x-3)-1 （2）5(x-1)-3(2x-1)=2(1-x)+3 7. 解下列方程： （1）()(x-3)-()(2x+1)=1 （2）()(x+1)-()(x-2)=2 知识点四 去分母解方程 （一）选择题 1. 方程 + = 1 去分母后正确的是（ ） A. 3(x-1)+2(x+1)=1 B. 3(x-1)+2(x+1)=6 C. 3x-1+2x+1=6 D. 3(x-1)+2(x+1)=12 2. 方程 - = 1 去分母后正确的是（ ） A. 3x-2(2x-1)=6 B. 3x-2(2x-1)=1 C. 3x-4x-1=6 D. 3x-2(2x+1)=6 3. 方程 - 1 = 去分母后正确的是（ ） A. 3(x+1)-1=2(2x-1) B. 3(x+1)-6=2(2x-1) C. 3(x+1)-1=4x-1 D. 3(x+1)-6=4x-2 4. 解方程 - = 1 时，去分母正确的是（ ） A. 2(2x+1)-3(x-1)=1 B. 2(2x+1)-3(x-1)=6 C. 2(2x+1)-3x-1=6 D. 4x+1-3x+1=6 （二）解方程 5. 解下列方程： （1） + = 5 （2） - = 1 （3） - = 1 6. 解下列方程： （1） - 1 = （2） + 1 = （3） - = 7. 解下列方程： （1） - = （2） - = + 1 8. 解下列方程： （1） - = 0.5 （2） - = 2 9. 解下列方程： （1） + 1 = + （2） - = - 1 知识点五 综合解方程与含参问题 （一）选择题 1. 若 x=2 是方程 3(x-a)=a+2 的解，则 a 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若代数式 2x-1 的值比 3x+2 的值大 1，则 x 的值为（ ） A. x=-4 B. x=4 C. x=-2 D. x=2 3. 若方程 2x-3=3 与方程 1-=0 有相同的解，则 a 的值为（ ） A. a=1 B. a=2 C. a=3 D. a=4 4. 若 |x-2|+(y+3)²=0，则 x+y 的值为（ ） A. -1 B. 1 C. 5 D. -5 （二）填空题 5. 当 x=________时，代数式 3x-2 与 5x+6 互为相反数。 6. 当 x=________时，代数式 的值比 的值大 1。 7. 若 2x-3 与 互为倒数，则 x=________。 8. 若关于 x 的方程 (m+1)x=m-1 的解为 x=2，则 m=________。 9. 若 3x-2 的值与 2x+5 的值的差为 3，则 x=________。 （三）解答题 10. 已知 x=3 是方程 2(x-a)-3=3a-x 的解，求 a 的值。 11. 已知方程 2x-3=3x-2a 与方程 3x-4=2x+a 有相同的解，求 a 的值及方程的解。 12. 已知 y₁=2x-3，y₂=3x+1，当 x 取何值时，y₁ 比 y₂ 大 5？ 13. 已知关于 x 的方程 - = 1 的解为 x=1，求 m 的值。 14. 若 |a-2|+(b+3)²=0，求关于 x 的方程 ax+b=0 的解。 15. 已知 x=2 是方程 - = 1 的解，求 m 的值，并求该方程的解是否唯一。 五、答案与解析 随堂练习答案 1. D 【解析】A含x²次数为2；B含两个未知数；C分母含未知数；D是一元一次方程。 2. B 【解析】2(x-3)=2x-6，-3(x+1)=-3x-3，合并得 2x-6-3x-3=1。 3. B 【解析】最小公倍数为6，两边同乘6：3(x-1)-2(2x+1)=6。注意右边1也要乘6。 4. A 【解析】移项：3x-2x=-1-5。移项必须变号。 5. B 【解析】2x=5+3=8，x=4。 6. C 【解析】由 3x=2x-5，移项得 3x-2x=-5，即 x=-5。D虽也对但不是移项过程。 7. A 【解析】4-2x+2=6，6-2x=6，-2x=0，x=0。 8. m=0 【解析】由题意 |m-1|=1 且 m-2≠0。m-1=1 得 m=2（系数为0，舍去）；m-1=-1 得 m=0（系数为-2≠0，满足）。 9. x=4 【解析】5x-3x=6+2，2x=8，x=4。 10. x=5 【解析】3x-6=2x-1，3x-2x=6-1，x=5。 11. 该方程无解 【解析】两边乘4：2(x+1)-(2x-1)=4，化简得 2x+2-2x+1=4，即 3=4，矛盾，故方程无解。 12. x= 【解析】2x-3=5-x，3x=8，x=。 13. a=2 【解析】将 x=3 代入 2x+a=3x-1，得 6+a=9-1=8，a=2。 14. （1）3x-2x=-5-7，x=-12。 （2）5-15=3x+2x，-10=5x，x=-2。 （3）4x-8=3x+3-2，4x-8=3x+1，x=9。 15. （1）乘6：2(x-1)-3(x+2)=6，2x-2-3x-6=6，-x-8=6，-x=14，x=-14。 （2）乘12：3(2x-1)-12=4(x+2)，6x-3-12=4x+8，2x=23，x=。 16. 乘12：6(3x-1)-3(2x+3)=4(x-1)+12，18x-6-6x-9=4x-4+12，12x-15=4x+8，8x=23，x=。 分知识点强化训练答案 【知识点一】 1. C 【解析】A是二次；B含两个未知数；C是一元一次方程；D分母含未知数。 2. D 【解析】x²+x=2 含 x²，次数为2。 3. B 【解析】|k|=1且k-1≠0。k=1舍去，k=-1满足。 4. A 【解析】a-2=0即a=2时，二次项消失。 5. m=-3 【解析】|m|-2=1，|m|=3，m=±3。m=3时系数为0舍去；m=-3时系数为-6≠0。 6. k=2；方程为 6x+1=0 【解析】2k-4=0，k=2。代入得 6x+1=0。 7. 答案不唯一，如 x-3=0 或 2x-6=0 等。 8. n=2 【解析】由 2n-3=1，得 2n=4，n=2。 9. m²=1，m=±1。m+1≠0即m≠-1，所以m=1。方程为 2x+3=0，x=-。 10. a²-4=0，a=±2。a+2≠0即a≠-2，所以a=2。 【知识点二】 1. B 【解析】3x-2x=3+5，移项变号。 2. A 【解析】-3x-5x=-1-7。 3. B 【解析】2x-3x=-4，移项变号。 4. （1）2x=10，x=5。（2）-4x=-4，x=1。（3）3x=12，x=4。（4）-7x=7，x=-1。 5. （1）3x=15，x=5。（2）2x-6-5=3x+6-8，2x-11=3x-2，-x=9，x=-9。 （3）6-3x+3=2x+8-1，9-3x=2x+7，-5x=-2，x=。 6. （1）6x-2-6x-3=5，-5=5，矛盾，方程无解。 （2）5x-5-6x-2=3-3x，-x-7=3-3x，2x=10，x=5。 （3）3[x-2x+2]=4x-12，3[-x+2]=4x-12，-3x+6=4x-12，-7x=-18，x=。 【知识点三】 1. B 【解析】-2(3x-1)=-6x+2。 2. B 【解析】3-(2x-5)=3-2x+5。 3. A 【解析】先化简中括号内：3(x-1)-2x=3x-3-2x=x-3。原式变为 2-(x-3)=1，去括号得 2-x+3=1，即 5-x=1，x=4。验证选项A：2-3x+3+2x=1 化简得 5-x=1，正确。 4. （1）3x-6=2x+2，x=8。（2）5x+15-2x+2=8，3x+17=8，3x=-9，x=-3。 （3）4-2x+6=3x+6，10-2x=3x+6，-5x=-4，x=。 5. （1）2x-6-3x-6=4，-x-12=4，-x=16，x=-16。 （2）3[2x-2-3]=2x+8，3[2x-5]=2x+8，6x-15=2x+8，4x=23，x=。 （3）2[3x-3-2x-3]=5，2[x-6]=5，2x-12=5，2x=17，x=。 6. （1）3x-6-2x-2=2x-6-1，x-8=2x-7，-x=1，x=-1。 （2）5x-5-6x+3=2-2x+3，-x-2=5-2x，x=7。 7. （1）乘6：3(x-3)-2(2x+1)=6，3x-9-4x-2=6，-x-11=6，-x=17，x=-17。 （2）乘12：8(x+1)-3(x-2)=24，8x+8-3x+6=24，5x+14=24，5x=10，x=2。 【知识点四】 1. B 【解析】最小公倍数6，两边乘6：3(x-1)+2(x+1)=6。 2. A 【解析】最小公倍数6：3x-2(2x-1)=6。 3. B 【解析】乘6：3(x+1)-6=2(2x-1)。注意1也要乘6。 4. B 【解析】乘6：2(2x+1)-3(x-1)=6。 5. （1）乘6：3(x+1)+2(x-1)=30，3x+3+2x-2=30，5x+1=30，5x=29，x=。 （2）乘6：2(2x-1)-3(x+1)=6，4x-2-3x-3=6，x-5=6，x=11。 （3）乘12：3(3x+1)-4(2x-1)=12，9x+3-8x+4=12，x+7=12，x=5。 6. （1）乘6：3(x-1)-6=2(2x+1)，3x-3-6=4x+2，3x-9=4x+2，-x=11，x=-11。 （2）乘12：3(2x-1)+12=4(x+2)，6x-3+12=4x+8，6x+9=4x+8，2x=-1，x=-。 （3）乘6：3(x+1)-(x-1)=2(2x+1)，3x+3-x+1=4x+2，2x+4=4x+2，-2x=-2，x=1。 7. （1）乘12：6(3x-2)-3(2x+3)=4(x-1)，18x-12-6x-9=4x-4，12x-21=4x-4，8x=17，x=。 （2）乘12：4(x+1)-3(x-2)=2(2x+1)+12，4x+4-3x+6=4x+2+12，x+10=4x+14，-3x=4，x=-。 8. （1）原方程 -=0.5，两边乘30：10(0.5x-1)-15(0.3x+1)=15，5x-10-4.5x-15=15，0.5x-25=15，0.5x=40，x=80。 （2）=4x-3，=12x+2。方程：4x-3-(12x+2)=2，-8x-5=2，-8x=7，x=-。 9. （1）乘6：2(3x-1)+6=3(x+2)+(2x-1)，6x-2+6=3x+6+2x-1，6x+4=5x+5，x=1。 （2）乘12：3(x-1)-4(2x+1)=2(3-x)-12，3x-3-8x-4=6-2x-12，-5x-7=-6-2x，-5x+2x=-6+7，-3x=1，x=-。 【知识点五】 1. A 【解析】代入x=2：3(2-a)=a+2，6-3a=a+2，6-2=a+3a，4=4a，a=1。 2. A 【解析】(2x-1)-(3x+2)=1，2x-1-3x-2=1，-x-3=1，-x=4，x=-4。 3. C 【解析】2x-3=3，x=3。代入第二方程：1-=0，=1，2a-3=3，a=3。 4. A 【解析】x=2, y=-3, x+y=-1。 5. x=- 【解析】互为相反数则和为0：(3x-2)+(5x+6)=0，8x+4=0，x=-。 6. x= 【解析】乘12后：4(2x-1)-3(x+2)=12，8x-4-3x-6=12，5x=22，x=。 7. x=3 【解析】互为倒数则积为1：(2x-3)×()=1，2x-3=3，x=3。 8. m=-3 【解析】代入x=2：2(m+1)=m-1，2m+2=m-1，m=-3。 9. x=10 【解析】(3x-2)-(2x+5)=3，3x-2-2x-5=3，x-7=3，x=10。 10. 代入x=3：2(3-a)-3=3a-3，6-2a-3=3a-3，3-2a=3a-3，6=5a，a=。 11. 由 2x-3=3x-2a，得 x=2a-3。由 3x-4=2x+a，得 x=a+4。所以 2a-3=a+4，a=7。方程的解 x=11。 12. y₁-y₂=5，即 (2x-3)-(3x+1)=5，2x-3-3x-1=5，-x-4=5，-x=9，x=-9。 13. 代入x=1：-=1。乘6：2(2-m)-3(m+1)=6，4-2m-3m-3=6，1-5m=6，-5m=5，m=-1。 14. a=2, b=-3。方程为 2x-3=0，x=。 15. 代入x=2：-=1。乘6：3(2+m)-2(2-m)=6，6+3m-4+2m=6，5m+2=6，5m=4，m=。方程为(x+-(x-=1，该方程解唯一，x=2。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $