3.2.2 函数的奇偶性（7个题型归纳）讲义-2026年新高一数学暑假预习人教A版必修第一册

2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【3.2.2 函数的奇偶性】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 奇函数 一般地，设函数的定义域是，如果对任意的，有______，且______，那么称函数为奇函数． 关于原点对称 偶函数 一般地，设函数的定义域是，如果对任意的，有______，且_ _____，那么称函数为偶函数． 关于轴对称 当函数是奇函数或偶函数时，称具有__ 奇偶性____．奇函数和偶函数的定义域关于__原点____对称． 2．若为偶函数且在区间（）上单调递增，则在上_单调递减 ________，即在对称区间上单调性__相反______．符号相同 3．若为奇函数且在区间上单调递增，则在上___单调递增_____，即在对称区间上单调性___一致（相同）_____．符号相同 4．函数的对称性 （1）已知，则的图象关于__直线___对称； （2）已知，则的图象关于_____对称； 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：判断函数的奇偶性】 【练方法】 公式结论 1.必要前提：函数定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数 2.偶函数定义：若函数定义域关于原点对称，且对定义域内任意，都有，则为偶函数 3.奇函数定义：若函数定义域关于原点对称，且对定义域内任意，都有，则为奇函数 4.奇函数重要性质：若为奇函数且，则 方法技巧 1.判定两步法先判断定义域是否关于原点对称再验证与的关系 2.多项式函数速判只含偶次项为偶函数只含奇次项为奇函数 3.分段函数需分、、三段完整验证 判断下列函数的奇偶性：经典例题1例题 (1)； (2)； (3)； (4)； (5). （24-25高一上·上海宝山·阶段检测）已知函数的表达式为．经典例题2例题 (1)求的值； (2)作出该函数的图象，判断并证明其奇偶性． （25-26高一上·海南儋州·期中）设函数小试牛刀1 (1)求的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并加以证明. （25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）（1）已知是奇函数，是偶函数，试将下图中的函数图象补充完整.小试牛刀2 （2）判断下列函数的奇偶性： ①； ②； ③； （25-26高一上·河北·期中）已知函数．小试牛刀3 (1)判断函数的奇偶性； (2)求函数的值域. 【题型2：由函数的奇偶性求参数】 【练方法】 公式结论 1.偶函数恒成立条件：对定义域内任意，恒成立多项式对应同类项系数全部为0 2.奇函数恒成立条件：对定义域内任意，恒成立多项式对应同类项系数全部为0 3.奇函数含原点定义域：可直接利用求解参数 方法技巧 1.多项式函数通过恒等式系数对应相等列方程求解参数 2.含参奇函数优先代入快速求解结果必须回代核验奇偶性 3.分式根式函数先满足定义域关于原点对称再列参数约束条件 若函数是定义在上的偶函数，则（ ）经典例题1例题 A．6 B．5 C．4 D．3 （25-26高二下·重庆·期末）已知函数为奇函数，则（   ）经典例题2例题 A．2 B．1 C．0 D． 若函数是上的偶函数，则的值为______．小试牛刀1 （25-26高一下·四川泸州·期中）设函数是定义在上的奇函数，且，则___________．小试牛刀2 （2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数为奇函数，则（   ）小试牛刀3 A．1 B．2 C．3 D．4 【题型3：由函数的奇偶性求解析式】 【练方法】 公式结论 1.已知解析式求解析式：令则代入已知区间解析式 2.偶函数负区间公式：时 3.奇函数负区间公式：时 4.奇函数在有定义时恒有 方法技巧 1.负区间统一换元为正区间利用对称关系转化解析式 2.完整解析式必须分段书写严格区分、、 3.求出解析式后必须验证整体奇偶性成立 设函数是定义在上的偶函数，且当时，，求的解析式.经典例题1例题 （25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，画出函数的图像，并求出的解析式．经典例题2例题 （25-26高二下·浙江金华·期末）（多选）设函数的定义域为，定义，．若为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是（   ）小试牛刀1 A． B．的解析式为 C．在区间上单调递增 D．的最大值为 设函数的定义域为，.若为奇函数，为偶函数，则的最大值为_____.小试牛刀2 （25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数是定义在上的奇函数．小试牛刀3 (1)求的值； (2)判断的单调性并用定义证明． 【题型4：由函数奇偶性单调性判断函数的图像】 【练方法】 公式结论 1.偶函数单调性规律图像关于轴对称正负区间单调性相反 单调递增单调递减 单调递减单调递增 2.奇函数单调性规律图像关于原点对称正负区间单调性一致 单调递增单调递增 单调递减单调递减 方法技巧 1.偶函数沿轴翻折作图奇函数绕原点中心对称作图 2.偶函数零点成对奇函数有定义必过原点 3.区间端点空心实心必须对称统一 （25-26高一上·山东青岛·期中）的函数图象大致为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （24-25高三上·安徽阜阳·阶段检测）函数的部分图象大致为（    ）经典例题2例题 A．   B．   C．     D．   （25-26高一下·山东潍坊·期中）函数的图象大致为（    ）小试牛刀1 A．    B．    C．    D．    （25-26高一下·湖南益阳·期中）函数的图象大致为（     ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·甘肃兰州·模拟预测）函数的大致图象为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型5：由函数的奇偶性单调性解抽象不等式】 【练方法】 公式结论 1.偶函数标准化公式： 2.奇函数单调递增： 3.奇函数单调递减： 4.不等式求解必须满足：所有自变量在函数定义域内 方法技巧 1.偶函数不等式统一加绝对值转化为正区间单调性解题 2.双重约束定义域约束与单调性不等关系同时满足 3.多约束条件取交集结果整理为标准区间形式 （25-26高一上·福建泉州·期中）若奇函数定义域为，在区间上单调递增且，则不等式的解集为（ ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二下·天津津南·阶段检测）已知函数是定义在上的函数，且满足，，当时，，则不等式的解集为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，对任意且，都有，且，则不等式的解集是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，则 的解集为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高一下·江西九江·期中）若定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则关于的不等式的解集为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型6：抽象函数的奇偶性单调性】 【练方法】 公式结论 1.抽象函数奇偶判定：赋值、构造与关系式 2.抽象函数单调性判定：任取且判断正负 3.经典抽象函数结论：为奇函数 方法技巧 1.优先赋值求辅助奇偶判定 2.作差彻底变形后再判断符号禁止主观判断 3.负自变量统一转化为正自变量区间分析单调性 （25-26高一上·广东汕头·期中）定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时.经典例题1例题 (1)求及的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)解不等式：. （25-26高一上·辽宁·阶段检测）定义在上的函数满足，且当时，，求证：经典例题2例题 (1)是奇函数； (2)在上是增函数； (3)，其中 （25-26高一上·贵州毕节·期中）定义在上的函数，对任意都有，且当时，.小试牛刀1 (1)求证：为奇函数； (2)求证：为上的增函数； （25-26高一上·湖南衡阳·期中）定义在上的函数是单调函数，满足，且，（，）．小试牛刀2 (1)求，； (2)判断的奇偶性； (3)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围 （2025高一上·江苏南通·专题练习）已知函数满足对任意的x，恒有，当时，，小试牛刀3 (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若不等式对任意，恒成立，求实数m的取值范围． 【题型7：奇偶性单调性对称性综合】 【练方法】 公式结论 1.偶函数周期对称：若则对称轴为 2.奇函数周期性质：若则最小正周期 3.偶函数恒等变形： 4.奇函数恒等变形： 方法技巧 1.综合题解题顺序先奇偶转化自变量再用单调性比大小解不等式 2.比较函数值大小统一转化为绝对值利用正区间单调性判断 3.周期、对称、单调分层分析避免条件混淆 （25-26高三上·安徽淮北·期中）已知是定义在的奇函数，当时，，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D．16 （24-25高二上·贵州遵义·阶段检测）已知关于点中心对称，若的最小正周期为1，则下列说法中正确的个数是（    ）经典例题2例题 ①的周期为2； ②； ③的一个对称中心为； ④的一条对称轴为. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （25-26高二上·湖南·期中）已知函数是定义域为的奇函数，函数是偶函数，,则_____．小试牛刀1 （25-26高一上·江苏南京·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（　　）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，且，则______．小试牛刀3 课后针对训练 一、单选题 1．（2026·河北·三模）已知函数是奇函数，则（    ） A．3 B． C．1 D． 2．（25-26高一上·河北唐山·期中）下列函数中是奇函数且是增函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·陕西汉中·期末）已知奇函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 4．（25-26高二下·湖南·期末）已知是定义在上且周期为3的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 7．（广西贺州市2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题）已知是定义域为的奇函数，若为偶函数，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高二下·河北沧州·期末）定义在上的函数满足，且当时，，下列说法正确的有（    ） A． B．是偶函数 C．在上单调递减 D．若，则不等式的解集为 三、填空题 9．（第04讲函数的奇偶性（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）设 是定义在上的奇函数，则______ 10．（25-26高一下·贵州铜仁·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则________． 11．（24-25高二下·陕西榆林·期中）已知偶函数满足：当时，，则_______． 12．（25-26高二下·浙江丽水·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是______. 13．（2026·湖南长沙·三模）若定义在 上的函数为奇函数，则__ 四、解答题 14．（假期作业11函数的概念）已知函数． (1)若为奇函数，求a的值； (2)试判断在内的单调性，并用定义证明． 15．（25-26高一下·四川泸州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式：． 16．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数是定义在上的奇函数， (1)用定义证明在上单调递增； (2)解关于的不等式. 17．（第11讲函数的奇偶性（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且，求和的解析式. 18．（25-26高二下·河北承德·期末）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，． (1)求实数，的值； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围． 19．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 20．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知定义在上的函数满足：对任意的，，，且当时，． (1)求，； (2)证明：是偶函数； (3)若在上单调递减，求不等式的解集． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【3.2.2 函数的奇偶性】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 奇函数 一般地，设函数的定义域是，如果对任意的，有______，且______，那么称函数为奇函数． 关于原点对称 偶函数 一般地，设函数的定义域是，如果对任意的，有______，且_ _____，那么称函数为偶函数． 关于轴对称 当函数是奇函数或偶函数时，称具有__ 奇偶性____．奇函数和偶函数的定义域关于__原点____对称． 2．若为偶函数且在区间（）上单调递增，则在上_单调递减 ________，即在对称区间上单调性__相反______．符号相同 3．若为奇函数且在区间上单调递增，则在上___单调递增_____，即在对称区间上单调性___一致（相同）_____．符号相同 4．函数的对称性 （1）已知，则的图象关于__直线___对称； （2）已知，则的图象关于_____对称； 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：判断函数的奇偶性】 【练方法】 公式结论 1.必要前提：函数定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数 2.偶函数定义：若函数定义域关于原点对称，且对定义域内任意，都有，则为偶函数 3.奇函数定义：若函数定义域关于原点对称，且对定义域内任意，都有，则为奇函数 4.奇函数重要性质：若为奇函数且，则 方法技巧 1.判定两步法先判断定义域是否关于原点对称再验证与的关系 2.多项式函数速判只含偶次项为偶函数只含奇次项为奇函数 3.分段函数需分、、三段完整验证 判断下列函数的奇偶性：经典例题1例题 (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1)偶函数； (2)奇函数； (3)奇函数； (4)非奇非偶函数； (5)既是奇函数又是偶函数 【分析】先求出（1）（2）（3）（4）（5）中函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义分别判断即可；. 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数． （2）由，则函数的定义域为，它关于原点对称， 又， 所以为奇函数． （3）由， 则函数定义域为，关于原点对称， 此时，所以， 所以， 所以， 所以是奇函数． （4）由， 则函数的定义域为， 所以函数定义域不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数． （5）由，所以， 所以函数的定义域为，关于原点对称. 因为对定义域内的每一个，都有， 所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. （24-25高一上·上海宝山·阶段检测）已知函数的表达式为．经典例题2例题 (1)求的值； (2)作出该函数的图象，判断并证明其奇偶性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）代入求值即可； （2）画出函数图象即可判断奇偶性，利用定义法证明即可. 【详解】（1）由题意； （2）的函数图象如图所示： 由图可知是上的奇函数，定义法证明如下： 显然，定义域是， 若，则，此时， 若，则，此时， 综上所述，是上的奇函数. （25-26高一上·海南儋州·期中）设函数小试牛刀1 (1)求的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并加以证明. 【答案】(1) (2)为偶函数，证明见解析 【分析】（1）由求解即可得定义域； （2）先判断函数奇偶性，再利用函数奇偶性的定义证明即可. 【详解】（1）由题意，解得， 所以的定义域为； （2）为偶函数. 由（1）知：的定义域关于原点对称， 又，所以为偶函数. （25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）（1）已知是奇函数，是偶函数，试将下图中的函数图象补充完整.小试牛刀2 （2）判断下列函数的奇偶性： ①； ②； ③； 【答案】（1）图象见解析；（2）①偶函数，②奇函数，③非奇非偶函数. 【分析】（1）根据奇偶函数图象的对称性画出大致图象即可； （2）利用奇偶性的定义判断各函数的奇偶性. 【详解】（1）由为奇函数，其图象关于原点对称，故大致图象如下， 由为偶函数，其图象关于轴对称，故大致图象如下， （2）①的定义域为R，且，即函数为偶函数， ②的定义域为R，且，即函数为奇函数， ③的定义域为R，且，即函数为非奇非偶函数. （25-26高一上·河北·期中）已知函数．小试牛刀3 (1)判断函数的奇偶性； (2)求函数的值域. 【答案】(1)偶函数 (2) 【分析】（1）根据题意，利用函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解； （2）设，则且，把函数转化为关于的二次函数，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由函数有意义，需使，解得， 所以的定义域为，关于原点对称， 又由恒成立， 即，所以函数为定义域上的偶函数． （2）设，则且， 则， 该抛物线的开口向下且对称轴为直线，所以在区间上单调递增， 又由，所以，即， 所以函数的值域为． 【题型2：由函数的奇偶性求参数】 【练方法】 公式结论 1.偶函数恒成立条件：对定义域内任意，恒成立多项式对应同类项系数全部为0 2.奇函数恒成立条件：对定义域内任意，恒成立多项式对应同类项系数全部为0 3.奇函数含原点定义域：可直接利用求解参数 方法技巧 1.多项式函数通过恒等式系数对应相等列方程求解参数 2.含参奇函数优先代入快速求解结果必须回代核验奇偶性 3.分式根式函数先满足定义域关于原点对称再列参数约束条件 若函数是定义在上的偶函数，则（ ）经典例题1例题 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即， ， ， ， ， ． （25-26高二下·重庆·期末）已知函数为奇函数，则（   ）经典例题2例题 A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性的性质求解即可. 【详解】已知函数为奇函数，则，解得. 因为，所以，解得. 因此. 若函数是上的偶函数，则的值为______．小试牛刀1 【答案】 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即． ， ， ， ． （25-26高一下·四川泸州·期中）设函数是定义在上的奇函数，且，则___________．小试牛刀2 【答案】0 【分析】根据奇函数的性质求得，再由求参数，即可得. 【详解】由题意， 所以，在上恒成立，则， 所以，又，可得， 综上，. （2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数为奇函数，则（   ）小试牛刀3 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质求解即可． 【详解】由奇函数的定义域为，得，解得． 当时，0，则， 又时，，所以，所以． 【题型3：由函数的奇偶性求解析式】 【练方法】 公式结论 1.已知解析式求解析式：令则代入已知区间解析式 2.偶函数负区间公式：时 3.奇函数负区间公式：时 4.奇函数在有定义时恒有 方法技巧 1.负区间统一换元为正区间利用对称关系转化解析式 2.完整解析式必须分段书写严格区分、、 3.求出解析式后必须验证整体奇偶性成立 设函数是定义在上的偶函数，且当时，，求的解析式.经典例题1例题 【答案】 【分析】利用偶函数的性质求时的函数解析式，即可得. 【详解】设，则，所以， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以，则时，， 综上，. （25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，画出函数的图像，并求出的解析式．经典例题2例题 【答案】， 【分析】先利用奇函数的图像关于原点对称画出函数图像，再利用奇函数的定义求出解析式． 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以图像关于原点对称且，图像如图所示： 当时，， 所以当时，，则， 整理有， 所以的解析式为． （25-26高二下·浙江金华·期末）（多选）设函数的定义域为，定义，．若为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是（   ）小试牛刀1 A． B．的解析式为 C．在区间上单调递增 D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】由为奇函数，为偶函数，整理得到的解析式；根据的函数类型，结合函数的单调性即可分析在区间的单调性；结合函数的性质，即可求得的最大值. 【详解】为奇函数，， ，即； 为偶函数，， ，即. 联立，解得. ， 故是一个二次函数，其二次项系数，函数图象开口向下，对称轴为. 在上单调递增，在上单调递减； 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由在上单调递增，且，在区间上单调递增，故C正确； 对于D，，二次项系数，得时，取得最大值，此时，故D正确. 设函数的定义域为，.若为奇函数，为偶函数，则的最大值为_____.小试牛刀2 【答案】/ 【分析】根据奇、偶函数定义可求出的解析式，再由二次函数性质可求得其最大值. 【详解】对任意，有即 所以，即， 因此. 当时，取得最大值. 故答案为： （25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数是定义在上的奇函数．小试牛刀3 (1)求的值； (2)判断的单调性并用定义证明． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）利用函数是奇函数，建立方程关系解出； （2）利用定义法证明函数的单调性． 【详解】（1）∵为定义在上的奇函数， ∴，∴； 当时，，∴，满足为定义在上的奇函数综上所述：． （2）在上单调递增，证明如下： 任取，则， ∵，又函数在上为增函数，∴ 所以，∴ 所以在上单调递增． 【题型4：由函数奇偶性单调性判断函数的图像】 【练方法】 公式结论 1.偶函数单调性规律图像关于轴对称正负区间单调性相反 单调递增单调递减 单调递减单调递增 2.奇函数单调性规律图像关于原点对称正负区间单调性一致 单调递增单调递增 单调递减单调递减 方法技巧 1.偶函数沿轴翻折作图奇函数绕原点中心对称作图 2.偶函数零点成对奇函数有定义必过原点 3.区间端点空心实心必须对称统一 （25-26高一上·山东青岛·期中）的函数图象大致为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用时，，排除AD；利用，函数单调递减，排除B得解. 【详解】由，当时，，排除AD； 当时，函数单调递减，当时，函数单调递减，排除B. 故选：C. （24-25高三上·安徽阜阳·阶段检测）函数的部分图象大致为（    ）经典例题2例题 A．   B．   C．     D．   【答案】D 【分析】根据函数值在上的符号可判断AC不正确；根据函数在上的单调性可判断B不正确. 【详解】当时，，故AC不正确； 当时，，且为减函数，所以为增函数，故B不正确. 故选：D. （25-26高一下·山东潍坊·期中）函数的图象大致为（    ）小试牛刀1 A．    B．    C．    D．    【答案】D 【分析】首先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后利用函数的单调性确定正确选项. 【详解】令，其定义域为，关于原点对称. 因为， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B，C； 又因为，当时，函数单调递增，函数单调递增， 所以函数在上单调递增，故排除选项A，选项D正确. （25-26高一下·湖南益阳·期中）函数的图象大致为（     ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于函数的定义域为，且对任意的，，故为偶函数，其图像关于轴对称，此时排除CD选项， 当时，，此时可排除A，故选B. （2026·甘肃兰州·模拟预测）函数的大致图象为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，函数的定义域为，关于原点对称， 由，所以为奇函数，排除A； 又，排除C和D. 【题型5：由函数的奇偶性单调性解抽象不等式】 【练方法】 公式结论 1.偶函数标准化公式： 2.奇函数单调递增： 3.奇函数单调递减： 4.不等式求解必须满足：所有自变量在函数定义域内 方法技巧 1.偶函数不等式统一加绝对值转化为正区间单调性解题 2.双重约束定义域约束与单调性不等关系同时满足 3.多约束条件取交集结果整理为标准区间形式 （25-26高一上·福建泉州·期中）若奇函数定义域为，在区间上单调递增且，则不等式的解集为（ ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原不等式等价于或，然后由函数单调性，奇偶性结合题设可得答案. 【详解】因为奇函数在区间上单调递增且，所以函数在区间上单调递增且， 因此，当或时，；当或时，， 不等式等价于或，解得或， 所以不等式的解集为. （25-26高二下·天津津南·阶段检测）已知函数是定义在上的函数，且满足，，当时，，则不等式的解集为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用偶函数的定义求出参数的值，再根据函数单调性列出不等式组求解即可. 【详解】由题意知，函数是定义在上的偶函数， 则，解得， 因为，当时，有, 所以函数在区间上单调递减，则由，得, 解得，即，所以不等式的解集是 （25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，对任意且，都有，且，则不等式的解集是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性，结合已知条件判断函数的单调性，再分类讨论解不等式即可. 【详解】因为对任意且， 都有，则在上单调递减， 又是定义在上的奇函数，则在上单调递减， 又，则，即， 当或时，，当或时，， 对于不等式，当时，则，即， 当时，则，即， 所以不等式的解集是. （2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，则 的解集为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的对称性得到函数在上单调递减，将不等式转化为含自变量绝对值的不等式，结合定义域求解即可. 【详解】因是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则在上单调递减. 则等价于，可得，即， 由①得；由②得或 故 的解集为. （25-26高一下·江西九江·期中）若定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则关于的不等式的解集为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，将不等式转化为不等式组，再结合偶函数及函数单调性求解. 【详解】由上的偶函数满足，得， 不等式，化为或， 而函数在区间上单调递减，则或， 解得或，所以原不等式的解集为. 【题型6：抽象函数的奇偶性单调性】 【练方法】 公式结论 1.抽象函数奇偶判定：赋值、构造与关系式 2.抽象函数单调性判定：任取且判断正负 3.经典抽象函数结论：为奇函数 方法技巧 1.优先赋值求辅助奇偶判定 2.作差彻底变形后再判断符号禁止主观判断 3.负自变量统一转化为正自变量区间分析单调性 （25-26高一上·广东汕头·期中）定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时.经典例题1例题 (1)求及的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)解不等式：. 【答案】(1)，； (2)函数是偶函数，证明见解析； (3). 【分析】（1）令可得，令可得； （2）令，结合偶函数的定义即可证明； （3）先用定义证明函数在上单调递增，利用单调性和奇偶性将不等式转化为，解不等式即可得到答案. 【详解】（1）在中，令，可得，解得. 令，可得，解得. （2）函数是偶函数，理由如下： 的定义域是，，， 令，可得，所以函数是偶函数. （3）任意时，，由题意得： ， 所以在上是增函数， 可化为，即， 又由（2）知是偶函数，所以可化为， 又在上是增函数，所以，且， 解得：且， 所以不等式的解集为. （25-26高一上·辽宁·阶段检测）定义在上的函数满足，且当时，，求证：经典例题2例题 (1)是奇函数； (2)在上是增函数； (3)，其中 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，令，求得，令，得到，进而得到，即可得证； （2）设，则，根据，得到，结合题意，求得，即可证； （3）化简得到，得到原式，结合（1），得到，得到，即可得证. 【详解】（1）证明：由函数的定义域为，关于原点对称， 因为函数满足， 令，可得，所以， 令，可得，即， 所以函数是的奇函数. （2）证明：设，则， 因为， 所以，所以， 当时，，所以， 即，所以函数在上是增函数. （3）证明：由， 所以 ， 因为时，，且函数在上的奇函数， 所以当时，，， 又因为，所以， 所以，故. （25-26高一上·贵州毕节·期中）定义在上的函数，对任意都有，且当时，.小试牛刀1 (1)求证：为奇函数； (2)求证：为上的增函数； 【答案】(1) 根据题意，令得，解得， 令，则，即， 所以函数为奇函数. (2) 任取，且，则， 令，则， 因为时，，所以， 所以， 因为函数为奇函数，所以， 所以，即， 所以为上的增函数. （25-26高一上·湖南衡阳·期中）定义在上的函数是单调函数，满足，且，（，）．小试牛刀2 (1)求，； (2)判断的奇偶性； (3)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围 【答案】(1)0，2 (2)奇函数 (3) 【分析】（1）令可求出，令再继续分解，结合可求出的值； （2）令，对变形可得答案； （3）先利用奇偶性把不等式转化为，再根据题意确定函数的单调性，进而把问题转化为不等式恒成立问题，进一步转化为函数的最值问题即可. 【详解】（1）取，得，即，， ， 又因为，得，可得. （2）取，得，移项得， 函数是奇函数. （3）是奇函数，且在上恒成立， 在上恒成立， 因为函数是单调函数且； 在上是增函数， 在上恒成立，在上恒成立， 令 . 由于，， ， ，即实数k的取值范围为. （2025高一上·江苏南通·专题练习）已知函数满足对任意的x，恒有，当时，，小试牛刀3 (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若不等式对任意，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)函数是奇函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）合理赋值即可证明是奇函数； （2）结合（1），先说明的单调性，再求出其最大值，最后对于关于的一次函数恒成立问题，列不等式求解即可. 【详解】（1）令得，令，得， 所以函数是奇函数． （2）由（1）得，对任意的x，恒成立， 任取， 则， 由于当时，，所以，即， 所以是减函数， 则当时，， 所以对任意恒成立， 记函数， 由于函数图象为直线， 故只需满足且即可， 即， 解得 【题型7：奇偶性单调性对称性综合】 【练方法】 公式结论 1.偶函数周期对称：若则对称轴为 2.奇函数周期性质：若则最小正周期 3.偶函数恒等变形： 4.奇函数恒等变形： 方法技巧 1.综合题解题顺序先奇偶转化自变量再用单调性比大小解不等式 2.比较函数值大小统一转化为绝对值利用正区间单调性判断 3.周期、对称、单调分层分析避免条件混淆 （25-26高三上·安徽淮北·期中）已知是定义在的奇函数，当时，，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D．16 【答案】C 【详解】由是奇函数，则， 所以， 所以的图象关于对称，则， . （24-25高二上·贵州遵义·阶段检测）已知关于点中心对称，若的最小正周期为1，则下列说法中正确的个数是（    ）经典例题2例题 ①的周期为2； ②； ③的一个对称中心为； ④的一条对称轴为. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据已知条件先求函数的奇偶性和周期性，然后可判断①②③，取特殊函数当时，当时，且周期为2，可判断④. 【详解】因为关于点中心对称， 所以，由函数图象的平移变换可知，关于点中心对称， 因为的最小正周期为1，所以， 令，则，即，所以的周期为2，①正确； 因为关于点中心对称，且周期为2，所以的图象关于原点对称，为奇函数， 所以，②正确； 因为，即， 所以的图象关于点对称，③正确； 设当时，当时，且周期为2，则函数满足题设条件， 但的图象不关于直线对称，④错误. 故选：C （25-26高二上·湖南·期中）已知函数是定义域为的奇函数，函数是偶函数，,则_____．小试牛刀1 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性，即可求得函数的周期，利用函数的周期性，即可求得函数值． 【详解】 为偶函数，, 又 是定义域为的奇函数， ,且 , , , , , 是一个周期为20的周期函数, , . 故答案为：. （25-26高一上·江苏南京·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（　　）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性以及对称性，即可求解. 【详解】由于为偶函数，故， 又是奇函数，故，所以， 故选：A （24-25高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，且，则______．小试牛刀3 【答案】 【分析】根据函数的对称性和奇偶性，已知函数值的方程，求得参数，写出函数解析式，再利用奇偶性转换自变量的值，解得对应函数值. 【详解】已知为奇函数，则，换元得， 已知为偶函数，则，换元得， 则当时，即，因为，所以， 则，当时，，解得， 可知，即，解得， 所以当时，， 当时，，， 所以. 故答案为：. 课后针对训练 一、单选题 1．（2026·河北·三模）已知函数是奇函数，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】已知是奇函数，根据奇函数定义有， 当时，，则， 所以. 2．（25-26高一上·河北唐山·期中）下列函数中是奇函数且是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】是奇函数，但不是增函数，故A错误； 是奇函数，且在上是增函数，故B正确； 是偶函数，故C错误； 定义域为，是非奇非偶函数，故D错误. 3．（25-26高二下·陕西汉中·期末）已知奇函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】由题意，,求出,再利用奇函数性质代值计算即可. 【详解】因是定义在上的奇函数，则, 即,解得, 则当时，， 故. 4．（25-26高二下·湖南·期末）已知是定义在上且周期为3的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由是定义在上且周期为3的偶函数，当时，， 得. 5．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质得出在上单调递减，再根据单调性及奇偶性解不等式即可． 【详解】因为是偶函数，即关于直线对称，在上单调递增， 所以在上单调递减， 又，所以， 或，解得或． 6．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性解不等式，偶函数在对称区间内单调性相反，可以利用到对称轴的距离列不等式判断． 【详解】因为是定义域为的偶函数，则， 故关于对称； 因为在上单调递减，故在上单调递减； 则在上单调递增； 则等价于 即，左右两边平方可得， 即，解得， 故不等式的解集为． 7．（广西贺州市2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题）已知是定义域为的奇函数，若为偶函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，求出的周期，再利用奇函数的性质和条件，即可求解. 【详解】因为是奇函数，所以， 又因为是偶函数，所以，即， 所以，即， 则，所以的周期为8， 则，， 所以． 二、多选题 8．（25-26高二下·河北沧州·期末）定义在上的函数满足，且当时，，下列说法正确的有（    ） A． B．是偶函数 C．在上单调递减 D．若，则不等式的解集为 【答案】AD 【分析】利用赋值法求，可判断A的真假；探索与的关系，判断B的真假；利用函数单调性定义判断函数的单调性，可判断C的真假；结合函数的单调性解函数不等式，可判断D的真假. 【详解】令，，可得，因为，所以.故A正确． 令，得，所以． 当时，，所以，则不是偶函数，故B错误． 对任意，都有． 因为当时，，，， 所以对任意． 任取，则，， 所以， 所以在上单调递增，故C错误． 由，结合单调性得，解得，故D正确． 三、填空题 9．（第04讲函数的奇偶性（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）设 是定义在上的奇函数，则______ 【答案】2 【分析】由题设得，进而求出a，再检验即可. 【详解】因为 是定义在上的奇函数， 所以，即， 故， 此时 ，所以， 满足 是定义在上的奇函数， 所以. 10．（25-26高一下·贵州铜仁·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则________． 【答案】 【分析】根据奇函数性质求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，， 所以. 11．（24-25高二下·陕西榆林·期中）已知偶函数满足：当时，，则_______． 【答案】18 【详解】因为为偶函数，所以． 12．（25-26高二下·浙江丽水·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是______. 【答案】 【分析】首先根据偶函数的性质转化不等式，然后利用函数的单调性解不等式. 【详解】函数是定义在上的偶函数，， 所以， 当时，单调递增， 所以，即， 解得， 不等式的解集为. 13．（2026·湖南长沙·三模）若定义在 上的函数为奇函数，则__ 【答案】 【详解】由题可知，，所以， 又，即，即对任意恒成立， 所以，所以 四、解答题 14．（假期作业11函数的概念）已知函数． (1)若为奇函数，求a的值； (2)试判断在内的单调性，并用定义证明． 【答案】(1) (2)增函数，证明见解析 【分析】（1）由已知得，先确定函数定义域，再根据奇偶性定义，由求参数. （2）令，应用作差法比较、的大小即可证. 【详解】（1）由已知，得，定义域为 因为是奇函数，所以， 即， 解得． （2）函数在内为增函数． 证明如下：任取，则． 因为，所以，， 所以，即． 所以函数在内是增函数． 15．（25-26高一下·四川泸州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式：． 【答案】(1)，； (2)函数在R上单调递增，理由如下：                                       任取，，且，                                                     则，   由，得， ，                                   则，即， 所以函数在R上单调递增. (3)． 【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数定义求出解析式. （2）确定函数的单调性，再利用单调函数的定义推理得证. （3）利用奇函数的性质及单调性求出不等式的解集. 【详解】（1）由是定义在R上的奇函数，得，                         当时，，则                           所以函数在R上的解析式为，.   （2）略 （3）由是奇函数，得，   又在R上单调递增，则，解得，                         所以原不等式的解集为． 16．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数是定义在上的奇函数， (1)用定义证明在上单调递增； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)对于任意的，且， 则， ∵，∴，，∴， ∴，即， ∴函数在上是增函数. (2) 【分析】（1）对于任意的，且，利用作差法判断的大小关系即可得证； （2）先判断函数的奇偶性，再根据函数的奇偶性结合函数的单调性即可得解. 【详解】（1）略 （2）因为且定义域关于原点对称，所以是奇函数， 则，即， 所以，解得， 则不等式的解集为． 17．（第11讲函数的奇偶性（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且，求和的解析式. 【答案】 【分析】利用奇偶性及方程组法求函数解析式. 【详解】因为函数是上的偶函数，函数是上的奇函数， 所以，， 由①，则，即②， ①＋②得：，则， ①－②得：，则， 所以. 18．（25-26高二下·河北承德·期末）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，． (1)求实数，的值； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据条件可得，，解方程组即可； （2）先由（1）求得时的解析式，再利用是奇函数，有即可得的解析式； （3）先判断的单调性，再结合的定义域，列出关于的不等式组，求解不等式组即可. 【详解】（1）由题意得，解得，． （2）由（1）可知，当时，． 当时，，所以． 因为是定义在上的奇函数， 所以当时，． 所以 （3）因为当时，， 反比例函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增． 因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增． 由题意，得不等式即， 所以． 解得，即实数的取值范围是． 19．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 【答案】(1) (2)在上单调递增.              证明如下：任取且， ， ，且，，， 所以，即，   所以在上单调递增. (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质即可求出函数的解析式； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）结合函数的单调性以及奇函数的性质将问题转化为，解不等式即可求解. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ，则，                           又，则.                         . （2）略 （3） 在上是奇函数且单调递增， 由得  ，          ，解得：  ，         不等式的解集为. 20．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知定义在上的函数满足：对任意的，，，且当时，． (1)求，； (2)证明：是偶函数； (3)若在上单调递减，求不等式的解集． 【答案】(1)， (2)令，则， 即对任意的，，所以是偶函数． (3) 【详解】（1）令，则，又，所以． 令，则，即， 又，所以． （2）略 （3）由(2)知， 因为在上单调递减，，， 所以由，得，解得， 即不等式的解集为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $