1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 练习围绕空间向量求距离、夹角，分层设计基础巩固、综合应用、拓展提升三阶，覆盖线面角、点面距离等核心知识点，适配新授课知识内化与能力进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一公式应用（线面角、点面距离等）|单选1-4、填空12-15直接应用向量公式，强化概念理解| |综合应用|多知识点综合（线线角与面面角结合）|单选5-8、多选10-11结合几何体计算，培养空间观念| |拓展提升|几何模型与动态问题（二面角范围、最值问题）|单选9、填空16-17、解答19-21需建系分析，发展推理能力与创新意识|

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 同步练习（附解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 2．已知平面α的一个法向量，点在内，则到平面的距离为（    ） A．10 B．3 C． D． 3．已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若直线、所成的角等于，则（   ） A． B． C． D． 4．已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 5．在长方体中，，，，E为AB的中点，则异面直线与DE的距离为（    ） A． B． C．1 D． 6．两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 7．在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（    ） A． B． C．3 D． 8．如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在四棱锥中，已知：平面ABCD，，，，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．在空间直角坐标系中，．则下列结论正确的是（   ） A． B．与向量平行且长度为1的单位向量为或 C．向量在向量上的投影向量的坐标为 D．与的夹角的余弦值为 11．下列命题正确的有（   ） A．若向量，满足，，则向量，的夹角是钝角 B．若向量组是空间的一个基底，则向量，，中不能有向量为零向量 C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则与平面所成角的余弦值为 D．已知向量，，则向量在向量上的投影向量是 三、填空题 12．已知平面，的法向量分别为，，则平面和所成角的余弦值为______． 13．在直三棱柱中，分别是的中点，，则BE与AF所成角的余弦值为____________. 14．平行六面体的各棱长均相等，与平面交于点E，则的余弦值为___________. 15．已知是平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为_______. 16．已知正方体的棱长为2，M为棱的中点，P，Q分别为线段，上的动点，则的最小值为_________. 17．如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则直线与平面夹角的余弦值为______. 四、解答题 18．在三棱锥中，已知. (1)若与垂直，求； (2)求点到平面的距离. 19．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 20．如图，在直三棱柱中，是AB的中点，平面与平面ABC夹角的余弦值为. (1)求侧棱的长； (2)若是的中点，设直线BM与平面所成角为，求. 21．如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为在上，在上，且．    (1)求向量的坐标； (2)求与所成角的余弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《1.4.2 用空间向量研究距角、夹角问题 同步练习（附解析）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B B C B D C D BCD 题号 11 答案 BD 1．A 【知识点】已知线面角求其他量 【分析】由线面平行得到直线方向向量与平面法向量垂直，由向量数量积为0建立方程，解得的值. 【详解】若，则，则， 即， ∴. 故选：A. 2．D 【知识点】点到平面距离的向量求法 【详解】由，，可得. 因为平面的一个法向量，点A在内， 所以到的距离为. 3．B 【知识点】已知线线角求其他量 【分析】利用空间向量法可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由题意可得，解得. 故选：B. 4．B 【知识点】已知面面角求其他量 【分析】利用向量的夹角公式列方程求解即可 【详解】因为 所以， 因为平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，化简得，解得或1． 故选：B 5．C 【知识点】异面直线距离的向量求法 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，得出各点坐标，求出与的公垂线的一个方向向量，由空间向量的数量积即可得解. 【详解】分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，，E为AB的中点， 则，，，， 则，， 设与DE的公垂线的一个方向向量为， 则，取，得，则， 又， 所以异面直线与DE之间的距离为. 故选：C. 6．B 【知识点】平行平面距离的向量求法 【分析】两平行平面间的距离可转化为点到平面的距离，结合点到平面距离的向量公式求结论. 【详解】两平行平面，分别经过坐标原点和点，，且两平面的一个法向量，两平面间的距离. 故选：B. 7．D 【知识点】空间向量模长的坐标表示、点到直线距离的向量求法 【分析】由向量法求点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题， 所以点到直线的距离为. 8．C 【知识点】求异面直线所成的角、空间向量夹角余弦的坐标表示、异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，可求得与夹角的余弦值. 【详解】设正方体的棱长为1， 如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 所以与所成角的余弦值是. 故选：C. 9．D 【知识点】面面角的向量求法、已知面面角求其他量 【分析】结合图形，利用空间向量的坐标运算表示面面夹角的余弦值，即可确定点位置，即可求解. 【详解】以为坐标原点，建系如图， 因为二面角的平面角大小为， 所以的轨迹是过点的一条直线， 又因为Q是四边形ABCD内部一点（包括边界）， 所以的轨迹是过点的一条线段， 设以的轨迹与轴的交点坐标为， 由题意可得, 所以, 因为平面，所以平面的一个法向量为, 设平面的法向量为， 所以令则 所以， 因为二面角的平面角大小为， 所以，解得， 所以当在线段BC上时，面积最大，最大值为， 所以面积的取值范围是， 故选:D. 10．BCD 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量垂直的坐标表示、求投影向量 【分析】利用空间向量垂直的坐标运算可判断A，利用单位向量的坐标运算可判断B，利用投影向量的坐标运算可判断C，利用向量夹角的余弦值的坐标运算可判断D. 【详解】对于A， 由于，所以与不垂直， 故A错误； 对于B，与向量平行且长度为1的单位向量为，故B正确； 对于C，向量在向量上的投影向量的坐标为： ， 故C正确； 对于D，， ， 所以与的夹角的余弦值为，故D正确； 故选：BCD 11．BD 【知识点】向量夹角的计算、空间向量基底概念及辨析、线面角的向量求法、求投影向量 【分析】利用向量数量积的定义举反例排除A项；根据空间的基底定义即可判断B项；利用空间向量的夹角公式计算判断C项；根据投影向量的定义计算判断D项. 【详解】对于A，若，反向，满足，但向量，的夹角不是钝角，故A错误； 对于B，假设，，中有向量为零向量，则3个向量共面，则不能作为空间的基底，故B正确； 对于C，设与所成角为，则，即与所成角的正弦值为，故C错误； 对于D，向量在向量上的投影向量为，故D正确. 故选：BD. 12． 【知识点】面面角的向量求法 【分析】利用两个平面所成角的余弦公式求解. 【详解】，则， 又因为，， 所以. 13． 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】以分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 由题意，得， 则. 所以. 故答案为： 14． 【知识点】共面直线夹角的向量求法 【分析】利用基底表示，结合向量夹角公式求得的余弦值. 【详解】连接，，连，设， 不妨设棱长为1，则，易知平面，E是的中心， 又与相似，∴， ∴，又，有， ∴，， ， ， ，， ∴， . 所以. 故答案为： 15．/ 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】表示出，再根据点到平面的距离公式计算可得. 【详解】因为点在平面内，又， 所以，又是平面的一个法向量， 所以点到平面的距离. 故答案为： 16．/ 【知识点】空间向量数量积的应用、异面直线距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，, 则， 设， 故， 由于直线，为异面直线，要使的最小，则是，的公垂线， 故解得， 所以 故， 故答案为：    17． 【知识点】线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法 【分析】根据几何体特征可证明平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系并求出平面的法向量，由线面角的向量求法计算可得结果. 【详解】如下图，连接，因为为BC中点， 所以，又平面底面， 平面底面平面， 所以平面， 又因为平面，所以，故两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，如下图： 设，可得 由，可得， 所以， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，得， 设直线与平面夹角为，则， 所以直线与平面夹角的余弦值为. 故答案为： 18．(1)； (2). 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量垂直的坐标表示、求平面的法向量、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）利用空间向量线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示求解. （2）求出平面的法向量，再利用点到平面距离公式求解. 【详解】（1）由，得，而， 由与垂直，得，即， 所以. （2）设平面的法向量为，则，取，得， 所以点到平面的距离. 19．(1) 证明：连接交于点，连接， 因为为菱形，则为的中点， 又因为为的中点，在三角形中，， 且平面，平面， 所以平面． (2) 【知识点】证明线面平行、求平面的法向量、面面角的向量求法 【分析】（1）连接交于点，根据题意可得，结合线面平行判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，分别求解平面与平面的法向量，结合面面夹角余弦公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）建立如图所示坐标系， 则，，，，， 可得，，， 设平面法向量， 则，令，则 设平面法向量， 则，令，则 设平面与平面夹角， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 20．(1) (2) 【知识点】线面角的向量求法、已知面面角求其他量 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式、面面夹角的定义进行求解即可； （2）根据空间向量共线的性质，结合线面角的定义进行求解即可. 【详解】（1）因为在直三棱柱中，， 建立如下图所示的空间直角坐标系，设， ， 设平面的法向量为， ， ，取，则， 是平面的一个法向量， 因为该棱柱是直棱柱，所以侧棱与底面垂直， 因此平面ABC的一个法向量设为， 因为平面与平面ABC夹角的余弦值为， 所以， 所以侧棱的长为； （2）由（1）可知平面的一个法向量为， 因为是的中点，所以点的坐标为， 因此， 因为， 所以 所以直线BM与平面垂直，因此. 21．(1)， (2) 【知识点】求空间图形上的点的坐标、空间向量的坐标表示、异面直线夹角的向量求法 【详解】（1）由题意可得，，，， 故，. （2）由（1）可知，， 所以，， ， 所以， 故与所成角的余弦值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $