1.1.2空间向量的数量积运算（分层作业）数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以“概念辨析-运算应用-综合提升”为分层逻辑，覆盖空间向量数量积全知识点，通过梯度题型培养数学思维与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|数量积概念辨析|以选择形式考查定义与运算律，强化数学抽象能力| |中档|数量积/投影向量计算|结合坐标与几何模型，提升运算能力与空间观念| |提升|长度/夹角/综合应用|正四面体、正方体等情境题，培养逻辑推理与数学表达|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 1.1.2空间向量的数量积运算 目录 A组 巩固过关 .1 题型01空间向量数量积的概念辨析. .1 题型02求空间向量的数量积. …3 题型03求投影向量.… .3 题型04利用数量积求线长度、夹角： .4 题型05空间向量数量积的应用… …6 题型06数量积的运算律… .7 题型07投影向量的模 9 B组 能力进阶 10 C组 思维拔高 .14 拓展 链接高考 .17 1/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A组 巩固过关 题型01 题型01空间向量数量积的概念辨析 a,b 1.(2024上海长宁一模)已知非零空间向量a,6和，则下列说法正确的是（) A若a16al8,则5rc B.若a1i,a1则blc 若a16,a∥c,则bMd C. D.若i1五.aWc,则51c 2.(24-25高二上山东阶段检测)对于任意空间向量ā，b,c,下列说法正确的是(). A.若a1b,blc,则a⊥c B.a(B+8)=a.B+a.c c.若a.b<0,则a,b的夹角是钝角】 .(a-B)a=a(B-a) 3(24-25高=上河北那合期中)关于空间向量°，万，C,下列运算错误的是（) A.a.b=b.a B.(a+B)c-a-c+B.c C.iab=i(a.B) p.(a-)c=a(6. 题型02 题型02求空间向量的数量积 462526高=下贵州毕节期中)已知向量a=0),万=(0，L,2),则0-万等于() A.0 B.-1 C.1 D.2 5(2526商二下河南开封开学考试)若向量a=(22,3),万=(12,1，则6=（) A.12 B.8 C.5 D.1 219 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6(25-26高二下货州毕节期中)已知向量0=L01,6=0,12）,则a-6等下（) A.0 B.-1 C.1 D.2 题型03 题型03求投影向量 7.(25-26高二上海南儋州期末)已知空间三 40,).B(2-10).C3,L2）,则向量40在向层aC上 的投影向量的模为一 8.(24-25高二下·江苏泰州期末)在棱长为的正方体 BCD-48CD中，M是楼CC上任盒一点，则 AM ABCD 在平面 上的投影向量为() A.AC B.AB D AD 9(25-26高二上广西钦州期末)已知向量a=1,0-2,6=12,2）,则向量“在向量6上的投影向量的坐标 为() 112 A 333 B.(0,1,3), 题型04 题型04利用数量积求线长度、夹角 10.(2026高二全同专题练习)已知空间向量8,6，C的长度均为2，且a-6=0,6-a=66=2,则 a b i +b 与 的夹角为() A.6 B.4 D月 11.(25-26高二上四川成都期末)在正四面体P-ABC中，点E,F分别是线段BC,PC的中点，则 319 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 cos(PE,AF）=() A月 B c.c 12.(25-26高二上四川成都期末)在正四面体P-ABC中，点E,F分别是线段BC,PC的中点，则 cos(PE,AF）=() A.-3 B.3 、1 C.6 1 D.6 颗型05 题型05空间向量数量积的应用 13.(25-26高二全国暑假作业)已知0b是异面直线，且1b.,6 a,b a,b 分别为直线“的单位方向向量，且 m=2g+3gn=kg-4e,m1n,则实数k的值为（) A.-6 B.6 C.3 D.-3 14.(25-26高二上河南郑州期末)在平行六面体 BCD-ABCD中，B=AD=2M=4, ∠BAA=∠DM4=60°，∠BAD=90°，M是BD的中点，则AM的长为《) A26 B.V26 c26 D V34 15.(25-26高二下·上海宝山期末)已知 ,j, 是空间两两垂直的单位向量，空间向量0=1-2)+2( ,则 向量ā的模为() A.1 B.3 C.9 D.(1-2,2) 419 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型06 题型06数量积的运算律 16.(25-26高二上山东聊城期中)在棱长为1的正四面体ABCD中，点E为AB的中点，点F在CD上， 且CF=2FD,则F.AC 为() c.4 17.(25-26高二上山东聊城期中)在棱长为1的正四面体ABCD中，点E为AB的中点，点F在CD上， 且CF=2FD.EF.AC ,则 为() B.一2 c D. 18.(25-26高二上山东潍坊期中)己知正四面体ABCD的棱长都为1，点M,V分别是AD,BC的中点，则 AB·MN=() A.0 B.4 3 D.2 题型07 题型07投影向量的模 925-26高二上贵州铜仁期中)已知空间响量a=5,01.6=20,)3 则方在。上的投影向量的 模为() 3 A. B.2 C.1 2 D.3 0226有-上E期已起空何-Na小.-传胃 则6在。上的投影向量的 模为() 519 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A. B.2 C.1 D,5 21.（25-26高二上河南南阳期末)已知a.6c是两两垂直的单位向量，则日-26+2网」 B组 能力进阶 1.(25-26高二下江苏南京期中)对于任意空间向量ā，b,c,下列说法正确的是() A.若a/1b且b/1e,则a11 B.a(B+c)-a.B+a.c C.若ab=a:c,且a≠0，则b=c D.(a-B)c=a(B.a) 2.(24-25高二上·安徽安庆·阶段检测)给出下列四个命题，其中正确的有() （山若空间向经Q,6,6, 6,6,满足a/历，61，则a1E, (2)空间任意两个单位向量必相等： (3)对于非零向量，由a-8=6-c.则a=6 ·则 (4)在向量的数量积运算中(a:b)c=a(6.c) A.0个 B.1个 C.2个 D.4个 3.(25-26高二上河北唐山期未)三棱锥A-BCD的所有棱长都为2，E,F分别是AB,AD的中点，则 EF.CB=(） A.-1 B.1 C.-2 D.2 4(25-26高二上北京朝阳期末)如图，在正三棱柱16C-4G中，4C=2,4-1,则瓜·BC= () 619 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C B B A.-3 B.-1 C.0 D.1 5.(25-26高二上·天津静海期中)已知四面体ABCD的各棱长均为1，E、F、G分别是BC、AD、DC的 中点，则GE.GF的值为() A.0 B.1 c.i D.8 6(25-26高二上重庆九龙坡期中)如图，在四楼锥P48CD中，DL平面 CD,∠PDC=120° AB1DC,PD=AD=AB=2DC,若点M为棱PC上靠近点C的三等分点，则AW在上的投影向量为 P M D B 4 B.4 D. 6 719 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C组 思维拔高 1.(25:26高二上·浙江金华阶段检测)在空间四边形1BCD 中，已知 AB⊥BD,BD⊥DC.V5AC=2BD ,且 则BD在AC 上的投影向量为() B.4C c. D.AC 2(25-26高二上北京朝阳期末)如图，在正三楼柱1BC-4BG中，4C=2,4=1,则8·BC= () A B A.-3 B.-1 C.0 D.1 3.(25-26高二上·天津静海·期中)已知四面体ABCD的各棱长均为1，E、F、G分别是BC、AD、DC的 中点，则GEGF的值为() 1 A.0 B.1 e D.8 4.(25-26高二上江苏无锡期末)正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M,V分别是AB,CD的 中点，直线BN与DM夹角的余弦值为() 3 2W3 1 A.3 B.3 C.3 。 819 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓展 链接高考 1(25-:26病二上河南南阳期末)已知a6c是两两垂直的单位向量，则5-26+2叫 ABCD-ABC D 2.(25-26高三·全国·一轮复习)（多选题）已知 为正方体，下列说法正确的是() A.(4A+AD+4B)=34B1 B.4C-(48-4)-0 C.向量D与向量4B的夹角是60 D.正方体MBCD-AB,CD的体积为(AA)AD 919 分层作业 1.1.2空间向量的数量积运算 目 录 1 题型01空间向量数量积的概念辨析 1 题型02求空间向量的数量积 3 题型03求投影向量 3 题型04利用数量积求线长度、夹角 4 题型05空间向量数量积的应用 6 题型06数量积的运算律 7 题型07投影向量的模 9 10 14 17 题型01空间向量数量积的概念辨析题型01 1.（2024·上海长宁·一模）已知非零空间向量和，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】若，则或与不共线，故选项A与B错误； 若，则，故选项C错误，选项D正确. 故选：D. 2.（24-25高二上·山东·阶段检测）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ）． A．若，，则 B． C．若，则，的夹角是钝角 D． 【答案】B 【解析】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，由数量积的运算律可知，故B正确； 对于C，若，则，的夹角是钝角或反向共线，故C错误； 对于D，由数量积的运算律可知，等号左面与共线，等号右面与，两边不一定相等，故D错误； 故选：B. 3.（24-25高二上·河北邢台·期中）关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由数量积运算的交换律可得,选项A正确. 由数量积运算的分配率可得，选项B正确. 由数量积运算的数乘结合律可得，选项C正确. 表示与共线的向量，表示与共线的向量，与不一定相等，选项D错误. 故选：D. 题型02求空间向量的数量积题型02 4.（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知向量，，则等于（    ） A．0 B．－1 C．1 D．2 【答案】D 【解析】，故选项D正确. 5.（25-26高二下·河南开封·开学考试）若向量，，则（    ） A．12 B．8 C．5 D．1 【答案】C 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】根据空间向量数量积的公式计算即可. 【解析】因为向量，， 所以. 6.（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知向量，，则等于（    ） A．0 B．－1 C．1 D．2 【答案】D 【解析】，故选项D正确. 题型03求投影向量题型03 7.（25-26高二上·海南儋州·期末）已知空间三点，，，则向量在向量上的投影向量的模为______. 【答案】0 【解析】空间三点，，， 则有，，， 所以，向量在向量上的投影向量的模为0. 故答案为：0 8.（24-25高二下·江苏泰州·期末）在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如下图所示： 因为平面，是棱上任意一点， 所以在平面上的投影向量为. 故选：A. 9.（25-26高二上·广西钦州·期末）已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】, 故向量在向量上的投影向量为， 故选：D 题型04利用数量积求线长度、夹角题型04 10.（2026高二·全国·专题练习）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，即； 又，所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以. 11.（25-26高二上·四川成都·期末）在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设的棱长为2，分别是的中点， 则，夹角为，所以， 则， 又为边长为2的等边三角形，， 故选:C． 12.（25-26高二上·四川成都·期末）在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设的棱长为2，分别是的中点， 则，夹角为，所以， 则， 又为边长为2的等边三角形，， 故选:C． 题型05空间向量数量积的应用题型05 13.（25-26高二·全国·暑假作业）已知是异面直线，且，分别为直线的单位方向向量，且，，，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，即， 所以，解得. 14.（25-26高二上·河南郑州·期末）在平行六面体中，，，，是的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， ，，， , ． 15.（25-26高二下·上海宝山·期末）已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是空间两两垂直的单位向量， 所以， 故. 题型06数量积的运算律题型06 16.（25-26高二上·山东聊城·期中）在棱长为1的正四面体中，点为的中点，点在上，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】    如图，设，依题意， 连接，因 ， 又， 则 . 故选：A. 17.（25-26高二上·山东聊城·期中）在棱长为1的正四面体中，点为的中点，点在上，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】    如图，设，依题意， 连接，因 ， 又， 则 . 故选：A. 18.（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知正四面体的棱长都为1，点分别是的中点，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为分别是的中点，所以， 所以 . 故选：C 题型07投影向量的模题型07 19.（25-26高二上·贵州铜仁·期中）已知空间向量，，则在上的投影向量的模为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【解析】 在 上的投影向量的模为 ， 因为，， 所以 ，， 所以投影向量的模为 ， 故选：A. 20.（25-26高二上·贵州铜仁·期中）已知空间向量，，则在上的投影向量的模为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【解析】 在 上的投影向量的模为 ， 因为，， 所以 ，， 所以投影向量的模为 ， 故选：A. 21.（25-26高二上·河南南阳·期末）已知是两两垂直的单位向量，则________________． 【答案】3 【解析】解：因为是两两垂直的单位向量， 所以， 所以 故答案为：3． 1.（25-26高二下·江苏南京·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】B 【解析】对于A，若，则且，不一定成立，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，若，且，则， 则，无法得出，故C错误， 对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量， 所以与不一定相等，故D错误. 故选：B. 2.（24-25高二上·安徽安庆·阶段检测）给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】A 【解析】对于（1），当时，与不一定平行，故（1）错误； 对于（2），空间任意两个单位向量的模长相等，方向不一定相同，故（2）错误； 对于（3），取，满足， 且，但是，故（3）错误； 对于（4），因为与都是常数，所以和表示两个向量， 若与方向不同，则与不相等，故（4）错误； 故选：A 3.（25-26高二上·河北唐山·期末）三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（　　） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【答案】A 【解析】 分别是的中点，且，即， 又三棱锥的所有棱长都为，任意两条棱的夹角为60°， ， 故选：A. 4.（25-26高二上·北京朝阳·期末）如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【解析】依题意可知, . 故选：B 5.（25-26高二上·天津静海·期中）已知四面体的各棱长均为1，E、F、G分别是、、的中点，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】因为四面体的各棱长均为1，则该四面体为正四面体， 如图，设，，，    则， 又， ， ∴. 故选：A. 6.（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】过点分别作垂直，垂足分别为， 因为平面，平面，所以， 所以在上的投影向量为，又，所以在上的投影向量为， 因为，所以， 设，则，所以， 又，点为棱上靠近点的三等分点，所以， 所以，所以. 故选：D    1.（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意， 则，， 因为， 所以在上的投影向量为. 故选：C 2.（25-26高二上·北京朝阳·期末）如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【解析】依题意可知, . 故选：B 3.（25-26高二上·天津静海·期中）已知四面体的各棱长均为1，E、F、G分别是、、的中点，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】因为四面体的各棱长均为1，则该四面体为正四面体， 如图，设，，，    则， 又， ， ∴. 故选：A. 4.（25-26高二上·江苏无锡·期末）正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图可得，， 设正四面体的棱长为，则 , 结合题意可得. 因为两条异面直线的夹角的范围是， 故直线与夹角的余弦值为. 故选：D. 1.（25-26高二上·河南南阳·期末）已知是两两垂直的单位向量，则________________． 【答案】3 【解析】解：因为是两两垂直的单位向量， 所以， 所以 故答案为：3． 2.（25-26高三·全国·一轮复习）（多选题）已知为正方体，下列说法正确的是（   ） A． B． C．向量与向量的夹角是 D．正方体的体积为 【答案】AB 【解析】 对于A，由向量的加法运算得到， ，，故A正确； 对于B，，，故B正确； 对于C，是等边三角形，，又， 异面直线与所成的角为，但是向量与向量的夹角是，故C错误； 对于D，，，则，故D错误． 故选：AB． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $