1.4.2第2课时用空间向量研究夹角问题同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 本同步练习聚焦空间向量研究夹角问题，通过三级梯度设计（基础巩固-中档综合-提升探究），实现从单一公式应用到复杂几何体综合运算的知识进阶，培养空间观念与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|线面角、异面直线夹角的基本计算|单选/填空直接应用公式，如第1题方向向量与法向量夹角转化| |中档综合|结合长方体、三棱锥的夹角问题|多选型与几何模型结合，如第6题长方体中法向量求解| |提升探究|动态点、旋转体的复杂夹角计算|解答题含多步推理，如第16题旋转体中二面角的空间向量法应用|

第2课时　用空间向量研究夹角问题 1.设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若＜a，n＞＝，则l与α所成的角为（　　） A.　　　 B.　　　C.　　　D. 2.已知A（0，1，1），B（2，－1，0），C（3，5，7），D（1，2，4），则直线AB与直线CD所成角的余弦值为（　　） A. B.－ C. D.－ 3.（2024·日照月考）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则直线BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（　　） A. B. C. D. 4.如图，已知向量m，n分别是平面α和平面β的法向量，若cos＜m，n＞＝－，则二面角α-l-β＝（　　） A.30° B.60° C.120° D.150° 5.（多选）（2024·青岛月考）已知＝（0，1，1），＝（2，－1，2），BE⊥平面BCD，则（　　） A.点A到平面BCD的距离为 B.AB与平面BCD所成角的正弦值为 C.点A到平面BCD的距离为 D.AB与平面BCD所成角的正弦值为 6.（多选）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（　　） A.B1的坐标为（2，2，3） B.＝（－2，0，3） C.平面A1BC1的一个法向量为（－3，3，－2） D.二面角B-A1C1-B1的余弦值为 7.已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为　　　　. 8.已知四边形ABCD，ABEF都是边长为1的正方形，FA⊥平面ABCD，则异面直线AC与BF所成的角等于　　　　. 9.如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为　　　　. 10.（2024·湛江月考）如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E1在A1B1上，F1在C1D1上，且B1E1＝D1F1＝A1B1. （ 1）求向量，的坐标； （2）求BE1与DF1所成角的余弦值. 11.如图所示，在四面体ABCD中，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（　　） A. B. C. D.2 12.（多选）如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠DBC＝120°，则（　　） A.异面直线AD与BC所成角的大小为90° B.异面直线AB与CD所成角的余弦值为 C.直线AD与平面BCD所成角的大小为45° D.直线AD与平面BCD所成角的大小为60° 13.（2024·宿迁月考）已知正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a，D是侧棱CC1的中点，则平面ABC与平面AB1D夹角的余弦值为　　　　. 14. (2025·高二下·惠州期中) 如图，已知四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，. （1）求证：平面； （2）若是的中点，求与平面所成角的正弦值. 15.（2024·信阳月考）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，CC1的中点，P为线段AD上一动点，记α为异面直线PM与D1N所成的角，则α的取值集合是（　　） A.　　　　　　　 B. C. D. 16.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在的直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点. （1）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小； （2）当AB＝3，AD＝2时，求平面AGE与平面ACG夹角的大小. 第2课时　用空间向量研究夹角问题 1.C　线面角的范围是.∵＜a，n＞＝，∴l与法向量所在直线所成角为，∴l与α所成的角为. 2.A　∵＝（2，－2，－1），＝（－2，－3，－3），∴cos＜，＞＝＝＝，∴直线AB，CD所成角的余弦值为. 3.D　如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1），∴＝（－2，0，1），＝（－2，2，0），且易证为平面BB1D1D的一个法向量.设直线BC1与平面BB1D1D所成的角为θ，则sin θ＝｜cos＜，＞｜＝＝＝.∴直线BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为. 4.C　设二面角α-l-β为θ，0°≤θ≤180°，由题图可知，cos θ＝cos＜m，n＞＝－，∴θ＝120°. 5.BC　因为BE⊥平面BCD，所以是平面BCD的一个法向量，所以点A到平面BCD的距离为＝，故A错误，C正确；AB与平面BCD所成角的正弦值为＝＝，故B正确，D错误.故选B、C. 6.ABD　因为AB＝AD＝2，AA1＝3，所以A1（2，0，3），B（2，2，0），B1（2，2，3），C1（0，2，3），所以＝（－2，0，3），＝（0，2，－3），故A、B正确.设平面A1BC1的法向量为m＝（x，y，z），所以则令x＝－3，则y＝－3，z＝－2，即平面A1BC1的一个法向量为m＝（－3，－3，－2），故C错误.由几何体知识易得平面A1B1C1的一个法向量为n＝（0，0，1），所以cos＜m，n＞＝＝＝－，结合图形可知二面角B-A1C1-B1的余弦值为，故D正确.故选A、B、D. 7.45°　解析：如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1，则A（0，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1）.于是＝（0，1，0），取PD的中点E，则E（0，，），∴＝（0，，），易知是平面PAB的法向量，是平面PCD的法向量，∴｜cos＜，＞｜＝，∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°. 8.60°　解析：由题意，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），C（1，1，0），F（0，0，1），B（0，1，0）.∴＝（1，1，0），＝（0，－1，1），∴｜｜＝，｜｜＝，·＝－1，∴cos＜，＞＝＝－，∴＜，＞＝120°.又∵异面直线所成的角θ的取值范围为0°＜θ≤90°，∴AC与BF所成的角为60°. 9.　解析：以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，设AB＝a，则OP＝a，＝（－a，0，a），可求得平面PBC的法向量为n＝（－1，1，），所以cos＜，n＞＝＝，设直线OD与平面PBC所成的角为θ，则sin θ＝. 10.解：（1）由题意可得B（1，1，0），E1（1，，1），D（0，0，0），F1（0，，1）， 故＝（1，，1）－（1，1，0）＝（0，－，1）， ＝（0，，1）－（0，0，0）＝（0，，1）. （2）由（1）可知＝（0，－，1），＝（0，，1）， ∴｜｜＝＝， ｜｜＝＝， ·＝0×0＋（－）×＋1×1＝， ∴cos＜，＞＝＝＝， 故BE1与DF1所成角的余弦值为. 11.B　取BD的中点O，连接OA，OC，由题意知OA，OC，BD两两垂直.如图，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（－1，0，0），C（0，，0），A（0，0，1），∴＝（－1，0，1），＝（－1，－，0），∴cos＜，＞＝＝.∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为. 12.ABC　以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.设AB＝2，则B（0，0，0），A（0，－1，），C（0，2，0），D（，－1，0），所以＝（，0，－），＝（0，2，0），＝（0，1，－），＝（，－3，0）.因为·＝0，所以AD⊥BC，即异面直线AD与BC所成角的大小为90°，故A正确.因为｜cos＜，＞｜＝＝，所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为，故B正确.设直线AD与平面BCD所成的角为θ，θ∈[0°，90°]，因为n＝（0，0，1）是平面BCD的一个法向量，所以sin θ＝｜cos＜，n＞｜＝＝，所以θ＝45°，即直线AD与平面BCD所成角的大小为45°，故C正确，D错误.故选A、B、C. 13.　解析：以点A为坐标原点，以垂直于AC的直线为x轴，以AC所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示.因为ABC-A1B1C1是各棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，所以A（0，0，0），B1（a，，a），D（0，a，），故＝（a，，a），＝（0，a，），设平面AB1D的一个法向量为n＝（x，y，z），则即令y＝1，则z＝－2，x＝，故n＝（，1，－2）.又平面ABC的一个法向量为m＝（0，0，1），所以｜cos＜m，n＞｜＝＝＝，所以平面ABC与平面AB1D夹角的余弦值为. 14.（1）证明：因为，平面，平面，所以平面. （2）解：以，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，因为底面是直角梯形，，，，所以，，，，，，，，，设平面的法向量为，所以，所以，令，则， 设与平面所成角为， 所以， 所以与平面所成角的正弦值为. 15.A　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，P（x，0，0）（0≤x≤1），则M（1，，1），D1（0，0，1），N（0，1，），∴＝（1－x，，1），＝（0，1，－），∴·＝0，∴⊥，∴α＝. 16.解：（1）因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB∩AP＝A，AB，AP⊂平面ABP， 所以BE⊥平面ABP. 又BP⊂平面ABP，所以BE⊥BP. 又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°. （2）以B为坐标原点，BE，BP，BA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意得A（0，0，3），E（2，0，0），G（1，，3），C（－1，，0），则＝（2，0，－3），＝（1，，0），＝（2，0，3）， 设m＝（x1，y1，z1）是平面AGE的法向量. 由得 取z1＝2，可得m＝（3，－，2）. 设n＝（x2，y2，z2）是平面ACG的法向量. 由得 取z2＝－2，可得n＝（3，－，－2）， 所以｜cos＜m，n＞｜＝＝. 因此平面AGE与平面ACG夹角的大小为60°. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $