计数原理单元复习练习卷-江苏省兴化市2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 2026年新高三数学计数原理单元复习卷，通过单选、多选、填空及解答题的梯度设计，覆盖排列组合、二项式定理等核心知识，解答题如物资分配（19题）、排队问题（15题）注重逻辑推理与数学建模，适配一轮复习基础巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|有序数对、至少1女生选法、二项式常数项|基础概念辨析，如第2题用间接法解决“至少1女生”选法，培养数学思维| |多选|3/18|排列组合结论判断、小球放盒问题|第10题多角度辨析小球分配方案，提升批判性思维与数学表达| |填空|3/15|组合数计算、志愿者分配、展开式系数|第13题“每个社区1-2人”分配，强化分类讨论能力| |解答题|5/77|排队（捆绑/插空）、二项式定理应用、物资分配|19题分“无限制-至少1个-至多3个”层次设计，渗透数学眼光观察现实问题，培养逻辑推理与模型意识|

2026年新高三数学计数原理单元复习练习卷 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。每小题仅有一项符合要求） 1.已知集合，若从集合中任选两个不同元素组成有序数对，且满足，则符合条件的有序数对个数为（） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 2.从 5 名男生、3 名女生中任选 2 人参加志愿服务，要求选出的 2 人中至少有 1 名女生，则不同的选法种数为（） A. 15 B. 18 C. 21 D. 24 3.若，则正整数的值为（） A. 4 B. 6 C. 5 D. 7 4.二项式的展开式中常数项为（） A. B. C. D. 5.现有 4 本不同的教辅书，全部分给 3 名同学，每名同学至少分得 1 本书，则不同的分配方案种数为（） A. 24 B. 48 C. 72 D. 36 6.安排 6 名同学周末值日，分周六、周日两天，每天安排 3 人，则不同的值日安排方法种数为（） A. 10 B. 20 C. 40 D. 120 7.已知的展开式中项的系数为 40，则实数的值为（） A. B. C. D. 8.用这 5 个数字组成无重复数字的三位偶数，个数为（） A. 24 B. 30 C. 36 D. 42 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有错选得 0 分） 9.关于排列、组合及二项式定理的结论，下列说法正确的是（） A. B. C. 二项式的展开式中二项式系数最大项唯一 D. 若，则 10.现有 5 个不同的小球，全部放入编号为 1,2 的两个盒子中，下列说法正确的有（） A. 无任何限制的放法共有 32 种 B. 每个盒子至少放 1 个小球的放法共有 30 种 C. 盒子 1 放 1 个、盒子 2 放 4 个的放法共有 5 种 D. 恰有一个盒子为空的放法共有 2 种 11.对于二项式，下列结论正确的是（） A. 展开式共有 7 项 B. 展开式中不含常数项 C. 展开式中项的系数为 160 D. 展开式中二项式系数之和为 64 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12.计算：______。 13.将 5 名抗疫志愿者分配到 3 个社区服务，每个社区至少 1 人，至多 2 人，则不同的分配方案有______种。 14.已知的展开式中，项的系数为______。 四、解答题（本题共 5 小题，总计 77 分，需写出完整文字说明、演算、证明过程） 15.（13 分）现有 6 名同学，其中 4 名男生、2 名女生，排队参与校园宣讲活动，求下列不同条件下的排队方法种数： (1) 6 人排成一排，2 名女生必须相邻； (2) 6 人排成一排，2 名女生互不相邻； (3) 6 人排成一排，男生甲不站两端。 16.（15 分）已知二项式，且展开式中所有二项式系数之和为 64。 (1) 求的值，并写出展开式的通项公式； (2) 求展开式中的有理项； (3) 求展开式中系数的绝对值最大的项。 17.（15 分）某班级组织团建活动，准备从 6 名班委中选 4 人负责活动统筹，分配 3 项不同的工作，每人至多负责 1 项工作，每项工作至少 1 人负责。 (1) 求不同的工作分配方案总数； (2) 若班委甲必须参与工作，求不同的分配方案种数。 18.（17 分）已知的展开式中，第 5 项的二项式系数最大。 (1) 求的值及展开式中所有项的系数之和； (2) 求展开式中含项的系数； (3) 求展开式中所有奇数项的系数之和。 19.（17 分）现有 7 个完全相同的公益物资礼包，全部发放给 4 个不同的社区，满足下列不同条件，求对应发放方法种数： (1) 无任何限制，每个社区可空、可任意领取； (2) 每个社区至少领取 1 个礼包； (3) 每个社区至少领取 1 个，至多领取 3 个礼包。 参考答案与解析 一、单项选择题 1.答案：B 解析：有序数对满足，，。 符合条件：，合计 6 个。 2.答案：C 解析：总选法；全男生选法； 至少 1 名女生：。 3.答案：C 解析：组合性质，因此； ，解得，正根。 4.答案：A 解析：通项； 令，；常数项，带负号为。 5.答案：D 解析：分组方式；分组数； 分配给 3 人：。 6.答案：B 解析：平均分组，无需区分两天顺序：。 7.答案：D 解析：通项，取； 系数，，。 8.答案：B 解析：分两类： ① 个位为 0：百位 4 种，十位 3 种，； ② 个位为 2、4：个位 2 种，百位 3 种，十位 3 种，； 总计。 二、多项选择题 9.答案：AD 解析： A：，正确； B：二项式全部组合和为，缺少，错误； C：为奇数时二项式系数有两项最大，错误； D：，，正确。 10.答案：ABCD 解析： A：每个小球 2 种选择，，正确； B：去掉全放 1、全放 2 两种空盒，，正确； C：选 1 个放入盒 1，剩余 4 个入盒 2，，正确； D：全部放入盒 1 或全部放入盒 2，共 2 种，正确。 11.答案：AD 解析： A：，展开项数，正确； B：通项，令得，存在常数项，错误； C：令，，系数，错误； D：二项式系数和，正确。 三、填空题 12.答案：41 解析：，，。 13.答案：90 解析：分组只能为；分组数；分配 3 个社区。 14.答案：-15 解析：通项； 原式凑： ：，系数； ：，系数； 合计。 四、解答题 15 解 (1) 捆绑法：2 名女生内部排列；捆绑后 5 个元素全排列； 总数：。 (2) 插空法：先排 4 男生，产生 5 个空位，选 2 个排女生； 总数：。 (3) 优先排男生甲，两端不能站，中间 4 个位置；剩余 5 人全排列； 总数：。 16 解 (1) 二项式系数和，得； 通项： (2) 有理项要求为整数； 时，次数 3；时，次数； 有理项：，。 (3) 设第项系数绝对值最大： 化简得，； 对应项：。 17 解(1) 从6名班委中任选4人，选法种数：； 将选出的4人分成3组，满足每项工作至少1人，分组方式唯一为2,1,1（一组2人，两组各1人）； 平均分组需消除重复分组，分组种数：； 将3组人员对应分配3项不同工作，全排列种数：； 根据分步乘法计数原理，总方案数：。 (2) 班委甲必须参与工作，无需选择甲，只需从剩余5名班委中选取3人，选法种数：； 选出的4人依旧按2,1,1分组、分配3项工作，分组与分配种数不变，为36； 总方案数：。 18 解(1) 二项式展开式共(n+1)项，二项式系数满足“中间项最大”； 已知第5项二项式系数最大，说明第5项为中间项，即展开式共9项。求所有项系数之和，采用赋值法，令式子中x=1； 系数和：。 (2) 由二项式展开式通项公式：，代入n=8、a=1、b=2x，得： ； 要求项的系数，令未知数次数r=4； 代入计算系数：。 (3) 采用赋值法求奇偶项系数和，设： 奇数项系数之和为S奇，偶数项系数之和为S偶； 令x=1：； 令x=-1：； 联立二元一次方程组，两式相加消去S偶： ，解得：。 19 解(1) 每个社区可空、无限制分配 模型公式n个相同元素分给k个不同对象，允许为空，方法数为； 本题中礼包数n=7，社区数k=4，代入得： 。 (2) 每个社区至少领取1个礼包。相同元素不空分配核心思路：n个相同元素排成一排，中间有n-1个空隙，插入k-1个隔板，即可分成k组，每组至少1个； 7个礼包产生6个空隙，插入3个隔板，方法数： 。 (3) 每个社区至少1个、至多3个礼包。先满足最低要求，给4个社区各分1个礼包，消耗4个礼包； 剩余礼包数量：7-4=3个，此时问题转化为：3个相同礼包分给4个社区，每个社区最多再领2个（原有1个+新增≤3个）； 无限制分配剩余3个礼包，方法数：； 排除违规情况，违规条件为单个社区领取超过2个新增礼包（即一次性拿3个）； 4个社区均可违规，共4种违规情况； 合法分配方法数：。 学科网（北京）股份有限公司 $