计数原理：相邻问题与不相邻问题、分组分配问题专项训练-2026届高三数学一轮复习

计数原理：相邻问题与不相邻问题、分组分配问题专项训练 计数原理：相邻问题与不相邻问题、分组分配问题专项训练 考点目录 相邻问题与不相邻问题 分组分配问题 考点一 相邻问题与不相邻问题 例1．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）现有5本不同的书《天工开物》、《梦溪笔谈》、《齐民要术》、《本草纲目》、《九章算术》，则下列说法正确的是（ ） A．将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，有种不同的放法 B．将全部的书放在同一层书架上，要求《本草纲目》和《九章算术》相邻，有96种不同的放法 C．将五本书排成一排，则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右（可以不相邻）的顺序排列的不同的排法有120种 D．将书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人2本，有90种不同的分法 【答案】D 【详解】对于A，将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，每本书均有6种不同的放法， 根据分步计数乘法原理，共有种放法，所以A不正确； 对于B，将全部的书放在同一层书架上，要求《本草纲目》和《九章算术》相邻， 可把《本草纲目》和《九章算术》看成一本书，共有种放法，所以B不正确； 对于C，将五本书并排成一排，， 则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右（可以不相邻）的顺序排列的排法有种， 所以C不正确； 对于D，将5本不同的书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人2本， 有种分组方法， 再将其分给三人，共有种分法，所以D正确. 故选：D 例2．（25-26高二上·陕西汉中·月考）某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（   ） A．24种 B．36种 C．72种 D．144种 【答案】D 【详解】第一步，将甲班的2人捆绑，连同丙班的2人作全排列，有种站法； 第二步，将乙班的2人插入前后4个空档，有种站法. 根据分步乘法计数原理，不同的站法共有种. 故选：D. 例3．（2025·陕西西安·模拟预测·多选）3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（   ） A．共有60种不同的坐法 B．空位不相邻的坐法有32种 C．空位相邻的坐法有24种 D．两端不是空位的坐法有12种 【答案】AC 【详解】对于A，共有种不同的坐法，故A正确； 对于B，空位不相邻的坐法有种，故B错误； 对于C，空位相邻的坐法有种，故C正确； 对于D，两端不是空位的坐法有种，故D错误， 故选：AC. 例4．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考·多选）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则（    ） A．课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 B．课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 C．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 【答案】ABD 【详解】对于选项A，课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，通过捆绑法，将课程“礼”“乐”“射”看成一个整体， 与其他3门课程全排列，共有种排法，故A正确； 对于选项B，在所有排列中，课程“礼”排在“乐”的后面与课程“乐”排在课程“礼”的后面的情况等可能， 各占一半，所以课程“礼”排在课程“乐”的后面的排法有种，故B正确； 对于选项C，课程“射”“御”排在不相邻两周，通过插空法，先排好其他的4门课程，有5个空位可选， 在其中任选2个，安排课程“射”“御”共有种排法，故C错误； 对于选项D，课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，用总的排法数减去课程“乐” 排在第一周的排法数，再减去课程“御”排在最后一周的排法数，然后加上课程“乐” 排在第一周且 课程“御”排在最后一周的排法，则总的排法为种，若课程“乐”排在第一周的排法为种， 若课程“御”排在最后一周的排法为种， 课程“乐”排在第一周且课程“御”排在最后一周的排法为种， 则满足条件的排法数为种，故D正确. 故选：ABD. 例5．（25-26高二上·河南驻马店·月考）从单词“”中选取5个不同的字母排成一排，含有“”（其中“”相连且顺序不变）的不同排列共有 种．（用数字作答） 【答案】480 【详解】要选取5个字母，首先从其它6个字母中选3个有种结果， 再将选出的3个字母与视为一个整体的“”进行全排列共有 种. 故答案为：480 例6．（25-26高二上·山东日照·月考）7个人站成一排照相，其中甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻，则共有 种不同安排方式. 【答案】1200 【详解】甲乙两人相邻的情况：将甲乙捆绑，再与其他5人作全排列， 所以共有种情况， 其中甲乙、甲丙都相邻的情况：乙丙在甲的两侧并作捆绑，再与其他4人作全排列， 所以共有种情况， 所以甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻共有种. 故答案为： 例7．（25-26高二上·河南驻马店·月考）甲、乙、丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. (1)6名同学站成一排，若甲、乙、丙必须相邻，则不同的排列方案有多少种? (2)6名同学站成一排，甲、乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种? (3)6名同学平均分成三组，进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种? 【答案】(1)144 (2)144 (3)90 【详解】（1）将甲、乙、丙组成一个整体，再与其余3人全排列， 共有种排列方案； （2）从除甲、乙以外的4人中任取2人排在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下2个人全排列， 则有种排列方案； （3）名学生平均分配到三项不同的社区有种方法. 例8．（25-26高二上·江西景德镇·月考）为丰富广大人民群众文化生活，增强群众文化获得感、幸福感，某省开展群众美术主题创作展.若此次展览中打算安排国画、油画、水彩画、插画、漫画、素描画六件艺术作品的展出顺序. (1)若要求第一件展出的艺术作品不能是国画，则共有多少种不同的安排方案？ (2)若要求油画和插画的展出顺序相邻，则共有多少种不同的安排方案？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）将六件艺术作品展出，则展出顺序共有种， 若第一件展出的艺术作品是国画，则展出顺序共有种， 则第一件展出的艺术作品不是国画，共有种不同的安排方案； （2）因油画和插画的展出顺序相邻，则将其捆绑为一个整体，再将其与剩下的四件艺术作品一起排序，共有种不同的安排方案. 变式1．（25-26高二上·吉林长春·期末）有甲、乙、丙、丁、戊5辆车需要停放在5个并排车位中，并且甲车不与乙车相邻停放，则停放方法共有（   ）种 A．36 B．48 C．72 D．144 【答案】C 【详解】先将5辆车任意排放，停放方法共有种， 若甲车与乙车相邻停放，则停放方法共有种， 所以甲车不与乙车相邻停放，则停放方法共有种. 故选：C. 变式2．（25-26高二上·甘肃平凉·期末）某学校组织学生体检，高二年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队的不同安排方案共有（    ） A．240种 B．120种 C．188种 D．156种 【答案】B 【详解】甲班排在第一位，丙班和丁班排在一起的情况有（种），将剩余的三个班全排列， 安排到剩下的3个位置，有（种）情况，此时有（种）安排方案； 甲班排在第二位，丙班和丁班在一起的情况有（种），将剩下的三个班全排列， 安排到剩下的三个位置，有（种）情况，此时有（种）安排方案； 甲班排在第三位，丙班和丁班排在一起的情况有（种），将剩下的三个班全排列， 安排到剩下的三个位置，有（种）情况，此时有（种）安排方案 由分类加法计数原理可知共有（种）方案． 故选：B． 变式3．（25-26高二上·辽宁大连·期末·多选）某产品的加工需要经过道工序，下列说法正确的是（   ） A．其中某道工序放在最前，有种不同的加工顺序 B．其中某道工序不放在最前，也不放在最后，有种不同的加工顺序 C．其中某两道工序必须相邻，有种不同的加工顺序 D．其中某两道工序不能相邻，有种不同的加工顺序 【答案】ABD 【详解】A：某道工序放在最前，其他道工序进行排列即可， 则有种方法，因此本选项说法正确； B：因为某道工序不放在最前，也不放在最后，所以从其他道工序中选出道工序放在最前最后两个位置， 这道工序和剩下的道工序进行排列，则有种方法，因此本选项说法正确； C：因为某两道工序必须相邻，所以把这两道工序捆绑，连同其他道工序进行排列， 则有种方法，因此本选项说法不正确； D：因为某两道工序不能相邻，所以首先其他道工序进行排列，形成个空，然后这两道工序进行插空， 则有种方法，因此本选项说法正确. 故选：ABD 变式4．（25-26高三上·贵州·月考·多选）为鼓励学生们进行兴趣爱好的培养，某学校拟在校园音乐节上邀请某乐队演唱6首风格不同的歌曲，设编号分别为A、B、C、D、E、F，且为了一定效果需对这6首歌的演唱顺序进行一定调整，则（   ） A．若歌曲B、C、D必须三首连续进行演唱，则有144种安排方式 B．若歌曲B、C、D任意两首不连续进行演唱，则有144种安排方式 C．若歌曲必须在歌曲之前进行演唱，则有120种安排方式 D．若歌曲必须第一个进行演唱，歌曲不能最后进行演唱，则有96种安排方式 【答案】ABD 【详解】6首歌曲的全排列总数为种.要求B、C、D三首必须连续，采用捆绑法. 将B、C、D看作一个整体，与A、E、F共同进行排列， 将、C、D视为1个元素，与另外3个元素进行全排列，共有种排法， B、C、D这个整体内部进行全排列，共有种排法，故总安排方式为种，故A正确； 要求B、C、D任意两首不连续，采用插空法，先将A、E、F三首歌曲进行全排列，共有种排法， A、E、F排好后形成4个空位（包含首尾），从这4个空位中选3个插入B、C、D，共有种排法. 总安排方式为种，故B正确； 要求在之前演唱且无需连续，利用对称性分析， 在全排列中，在前和在前的概率均等，各占总数的一半. 故总安排方式为种，故C错误； 要求必须先演唱，必须不最后演唱，先确定的位置，固定在第1位，有1种排法， 再确定的位置，不能在第1位，也不能在第6位， 只能在第2、3、4、5位中选择，共有种排法， 则剩余的4首歌曲在剩下的4个位置进行全排列，共有种排法， 总安排方式为种，故D正确. 故选：ABD. 变式5．（25-26高二上·河南驻马店·月考）甲、乙均在内的5人坐在一排的5个座位上，若甲、乙相邻，且甲、乙均不在这排座位的两端，则不同的坐法有 种. 【答案】 【详解】甲乙两人的排列方式有种，将甲乙看成一人，可选的位置有2种， 剩余3人的排列方式有种， 所以若甲、乙相邻，且甲、乙均不在这排座位的两端，不同的坐法有种. 故答案为： 变式6．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）某校团委举办《强国有我》主题演讲比赛，共有7人进入决赛，其中高一年级有3人，高二年级有2人，高三年级有2人.现采取抽签法决定演讲顺序，设事件“高一年级的3个人不相邻”，事件“高二年级的2个人相邻”，则 . 【答案】/ 【详解】事件包含的样本点数的计算： 第一步，安排高二、高三年级4人，由种不同的排法； 第二步，将高一年级人插空，有种不同的排法， 故事件包含的样本点数共有个. 事件包含样本点数的计算： 第一步，高二年级人内部排列，有种不同的排法； 第二步，将高二年级人看作一个元素，与高三年级共个元素全排列，有种不同的排法； 第三步，将高一年级人插空，有种不同的排法； 故事件AB包含的样本点数共有个 所以. 变式7．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种? (1)两个女生必须相邻而站； (2)4名男生互不相邻； (3)老师不站中间，女生甲不站左端. 【答案】(1)1440种 (2)144种 (3)3720种 【详解】（1）两个女生必须相邻而站，∴把两个女生看作一个元素，则共有6个元素 进行全排列，还有女生内部的一个排列，所以共有（种）站法． （2）∵4名男生互不相邻，∴应用插空法， 对老师和女生先排列，形成四个空再排男生，共有（种）站法． （3）当老师站左端时，其余六个位置可以进行全排列，所以共有（种）站法： 当老师不站左端时，老师有5种站法，女生甲有5种站法， 余下的5个人在五个位置进行排列，共有（种）站法． 根据分类加法计数原理知共有（种）站法． 变式8．（25-26高三上·广东东莞·月考）有4个学生和2个老师围绕圆桌入座，问： (1)有多少种就座方法？ (2)如果老师必须相邻，有多少种就座方法？ (3)如果老师必须不相邻，有多少种就座方法？ 【答案】(1)120 (2)48 (3)72 【详解】（1）将师生6个人全排列，有种， 由于6种直排列对应同一种环状排列， 故共有（种）． （2）由于老师相邻，可把2个老师看作1个整体， 可得共有（种）． （3）只要在所有环状排列中减掉老师相邻的种数即为老师不相邻的种数， 故有（种）． 考点二 分组分配问题 例1．（25-26高二上·河南驻马店·月考）某城市举办国际马拉松比赛，在某路段设三个服务点，某高校包括甲与乙在内的5名同学到三个服务点做志愿者，每名同学只去一个服务点，每个服务点至少1人，则甲与乙不去同一个服务点的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】5名同学分成3个小组， 若按2人，2人，1人来分有种分组方式， 若按3人，1人，1人来分有种分组方式， 再把这三个小组排列到三个服务点去共有种分配方法， 所以每个服务点至少有1人的不同安排方法有：种. 若甲乙去同一个服务点且该服务点有两人，则有种分组方式； 若甲乙去同一个服务点且该服务点有三人，则有种分组方式； 再把这三个小组排列到三个服务点去共有种分配方法， 所以甲乙去同一个服务点的不同安排方法有：种. 因此，甲乙去同一个服务点的概率为， 则甲与乙不去同一个服务点的概率为. 故选：B. 例2．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）某学校安排4名教师分别到3个村庄支教，若每个村庄至少安排1名教师，则不同分配方案共有（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】C 【详解】从3个村庄中选出1个村庄，有种选法； 再从4名教师中选出2名教师到该村庄，有种选法； 将剩下的2名教师安排到剩下的2个村庄，有种方法， 故其分配方案共有种. 故选：C 例3．（25-26高二上·甘肃武威·期末·多选）2025年国庆假期，小张､小李､小王､小刘四人计划去南京旅游.现有玄武湖､明孝陵､牛首山､银杏湖四个景点可供选择，且每人只能去一个景点，则（    ） A．每个景点都有人去的情况共有24种 B．有景点没人去的情况共有256种 C．恰有1个景点没人去的情况共有144种 D．4人只选择“玄武湖”“明孝陵”两个景点的情况有14种 【答案】ACD 【详解】对于A，每个景点都有人员选择去的情况数为，故A正确； 对于B，4人选择四个景点，每人只能去一个的总的情况数为， 结合A，则有景点没人去的情况数为，故B错误； 对于C，先将四个人分为3组，则有种情况， 故恰有1个景点没人去的情况数为，故C正确； 对于D，方法一：4人从“玄武湖”“明孝陵”两个景点中，每人选择1个景点，共种情况， 若4人均选择同一个景点，情况为2种， 故4人只选择“玄武湖”“明孝陵”两个景点的情况数为； 方法二：将4人分为两组，若其中1组为1人，另一组为3人，则有种情况， 若平均分为两组，则有种情况， 故4人只选择“玄武湖”“明孝陵”两个景点的情况数为，故D正确. 故选：ACD. 例4．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末·多选）下列说法正确的是（    ） A．将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，那么不同的放法种数是 B．将5个相同的小球放入6个编号不同的盒子中，每个盒子至多放1个小球，而且小球必须全部放入盒中，那么不同的放法种数是 C．将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，每个盒子至少放1个小球，那么不同的放法种数是 D．将6个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，每个盒子放2个小球，那么不同的放法种数是 【答案】ABD 【详解】对于A，将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中， 由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数是，A选项正确； 对于B，将5个相同的小球放入6个编号不同的盒子中，每个盒子至多放1个小球，而且小球必须全部放入盒中， 则需要在6个盒子选出5个放入小球，不同的放法种数是，B选项正确； 对于C，将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，每个盒子至少放1个小球， 将其中2个球捆绑在一起，与另两个球分别放入3 个盒子中，不同的放法种数是，C选项错误 对于D， 将6个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，每个盒子放2个小球， 把6个球平均分成3组，再分别放入3个盒子中，不同的放法种数是，D选项正确. 故选：ABD. 例5．（25-26高三上·湖北襄阳·月考）某校招聘了6名教师，现平均分配给学校的两个校区，其中2名英语教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有 种. 【答案】12 【详解】由题意知，先将2名英语教师分到两个校区，有2种方法， 第二步将3名数学老师分成2组，一组1人另一组2人，有种分法，然后再分到两个校区，共有种方法， 第三步只需将其他1人分到人数少的一个校区，根据分步乘法计数原理知不同的分配方案共有. 故答案为：12 例6．（25-26高二上·云南·月考）某地区有3个学生社会实践服务点A，B，C.4名学生需在寒假完成社会实践，每个服务点至少有一名学生，则不同的社会实践安排共有 种. 【答案】36 【详解】先从4名学生中选出2人组成一个小组，有种方法； 再将这个两人小组与其余2名学生安排到3个不同的服务点，有种方法， 根据分步乘法计数原理，共有种不同的安排. 故答案为：36 例7．（25-26高二上·甘肃庆阳·期末）有四个编号为1，2，3，4的四个不同的盒子，又有编号为1，2，3，4的四个不同的小球，现把小球放入盒子里. (1)小球全部放入盒子中有多少种不同的放法； (2)恰有一个盒子没放球有多少种不同的放法. 【答案】(1)256 (2)144 【详解】（1）每个小球都有四个盒子可以选，用分步乘法计数原理：总放法数为种. （2）先选空盒：从四个盒子中选一个空盒，有种选法； 再分小球：把四个小球分成三组，必然是一组两个，另外两组各一个，分组的方法数为种； 最后放小球：将分好的三组小球放入剩下的三个盒子里，进行全排列，有种排法； 根据分步乘法计数原理，总放法数为：种. 例8．（25-26高二上·辽宁·月考）（1）要把6本不同的课外书分给甲、乙、丙三名同学： （i）如果每人都得2本，则共有不同的分法多少种？ （ii）如果要求甲得1本，乙得2本，丙得3本，则共有不同的分法多少种？ （iii）如果要求一人得1本，一人得2本，一人得3本，则共有不同的分法多少种？ （2）要把6本不同的课外书分别装到三个相同的手提袋里： （i）如果一个袋子中1本，一个袋子中2本，一个袋子中3本，则共有不同的分法多少种？ （ii）如果每个袋子中都是2本，则共有不同的分法多少种？ （iii）如果每个袋子中至少1本，则共有不同的分法多少种？ （计算结果用数字作答） 【答案】（1）（i）种，（ii）种，（iii）种.（2）（i）种，（ii）种，（iii）种. 【详解】（1）（i）从6本书中选择2本书给甲，有种方法； 再从剩余4本书中选择2本书给乙，有种方法； 剩余的2本书给丙，有种方法;所以有种分配方法． （ii）从6本书中选一本给甲，有种分配方法；从剩余5本书中选2本给乙，有种分配方法，将剩余3本书给丙，有种分配方法. 所以分配方式共有种. （iii）将6本书按照1组1本，1组2本，1组3本的分组方式进行分组，有种方法，再将分好的组分给甲乙丙三人，则有种分配方法. （2）（i）因为手提袋相同，所以即为将6本不同的书分为3组，1组1本，1组2本，1组3本， 种方法， （ii）每袋2本，为平均分组，所以要除以重复的部分，所以共有种. （iii）每个袋子至少1本，有可能有2组各1本，1组4本，有种方法， 有可能1组1本，1组2本，1组3本，有种方法， 有可能每组2本，有种方法，所以共有种. 变式1．（24-25高二上·贵州遵义·期末）某地区有3个学生社会实践服务点A，B，C．4名学生需在寒假完成社会实践，每个服务点至少有一名学生，则不同的社会实践安排共有（   ） A．72种 B．36种 C．24种 D．64种 【答案】B 【详解】先从4名学生中选出2人组成一个小组，有种方法； 再将这个两人小组与其余2名学生安排到3个不同的服务点，有种方法， 根据分步乘法计数原理，共有种不同的安排. 故选：B 变式2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）第二十七届哈尔滨冰雪大世界主塔名为“冰灯启梦”．景观以雪花托举的“山”字为意象，是对冰雪童话世界的诗意呼应，更是借山之坚韧与巍峨，隐喻生态与发展共生共荣的永恒力量．冰雪大世界现招募志愿者，从哈三中的8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能负责语言服务工作，则不同的选法种数共有（   ） A．102种 B．105种 C．210种 D．288种 【答案】C 【详解】先从8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作， 共有种. 其中甲乙丙3人有一人负责语言服务工作，有种， 故符合条件的选法共有种. 故选：C. 变式3．（25-26高二上·山东·月考·多选）李清照，齐州章丘（今山东省济南市章丘区）人，宋代女词人，婉约词派代表，有“千古第一才女”之称．现将李清照不同的9本诗集全部奖励给3名同学（每人至少会分到1本），则下列选项正确的有（   ） A．若刚好每人分到3本书，则有1680种不同的分法 B．若每人至少分到2本书，则有11508种不同的分法 C．若刚好有1人只分到1本书，则有6326种不同的分法 D．若每人至多分到4本书，则有13020种不同的分法 【答案】AB 【详解】若刚好每人分到3本书，则有种不同的分法，故A正确； 若每人至少分到2本书，则3人分书的本数可能是，，， 所以有种不同的分法，故B正确； 若刚好有1人只分到1本书，则3人分书的本数可能是，，， 所以有种不同的分法，故C不正确； 若每人至多分到4本书，则3人分书的本数可能是，，， 所以有种不同的分法，故D不正确． 故选：AB 变式4．（2026·江苏徐州·模拟预测·多选）某班要举办一次学科交流活动，现安排A，B，C，D，E这五名同学负责语文、数学、英语、物理学科相关工作．则下列说法中正确的是（ ） A．若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种 B．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有240种不同的方案 C．若数学学科必须安排两人，其余学科安排一人，则有60种不同的方案 D．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，其中A不负责语文且B不负责数学工作，则有144种不同的方案． 【答案】BC 【详解】对于A：这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种，故A错误； 对于B：根据若每人安排一门学科，每门学科至少一人， 我们把这五人分成四组共有种方法，再将这四组人去负责四个学科相关工作共有种， 根据分步计数乘法原理可知：有种不同的方案，故B正确； 对于C：若数学学科必须安排两人，则有种方法，其余学科各安排一人共有种， 根据分步计数乘法原理可知：有种不同的方案，故C正确； 对于D：“每人安排一门学科，每门学科至少一人”的总方案数为240（同选项B），需排除“A负责语文”或“B负责数学”的情况，用容斥原理计算： 情况1：A负责语文 固定在语文，分2种子情况： ①语文为“2人组”（人）：选1人加入语文（），剩余3人分配到其他3科（），方案数： ②语文为“1人组”（仅A）：先B、C、D、E分为三组（2，1，1），有种方法，再将三组分到数学、英语、物理，有种方法，故总的方法数为：； 情况1总方案数：． 情况2：B负责数学 与“情况1”对称，总方案数同样为60． 情况3：A负责语文且B负责数学（重复减去的部分） 负责语文且B负责数学，并保证英语、物理学科均有人负责.分情况讨论如下： ①语文或数学为“2人组”：剩余3人选2人分配到英语和物理有种方法，最后1人去语文或数学有种方法，方法数：； ②英语或物理为“2人组”：3人分成两组（2，1），有种分法，两组分配到英语和物理，有种分法，故方案数为； 故情况3总方案数：． 根据容斥原理，不符合条件的方案数为：， 因此，符合条件的方案数为：，故D错误. 故选：BC． 变式5．（25-26高二上·辽宁·期末）将5个完全相同的小球全部放入编号为1，2，3，4的4个小盒，恰好有1个空盒的不同放法有 种. 【答案】24 【详解】解法一：先从4个盒子中选出3个，共有种方法， 将5个完全相同的小球全部放入3个盒且无空盒，需要两个“隔板”， 所以分配方案共有种情况， 所以总方法数为种； 解法二：先从4个盒子中选出3个，共有种方法， 将5个完全相同的小球全部放入3个盒且无空盒，共有2种情况， ①从3个盒中选1个放3个球，剩余两个盒各放1个，共有种， ②从3个盒中选1个放1个球，剩余两个盒各放2个，共有种， 所以总方法数为种； 故答案为：24 变式6．（25-26高三上·安徽阜阳·月考）6名同学相约去游乐场游玩，进场时按顺序验票，则甲、乙、丙按顺序进场的不同情况有 种;进场后他们选定了3个游玩项目，每人都只玩1个项目，且每个项目都有人玩，则A项目恰有2个人游玩的不同分配方法有 种.(请用数字作答) 【答案】 120 210 【详解】甲、乙、丙按顺序进场的不同情况有=120种， A项目恰有2人游玩的组合有(+)=210种. 故答案为：；. 变式7．（25-26高二上·北京·月考）现有6本不同的书，分给甲乙丙三人.按以下要求，各有几种分法？（用数字作答） (1)甲得1本，乙得1本，丙得4本； (2)一人得1本，一人得1本，一人得4本； (3)平均分给甲､乙､丙三人； (4)一人得1本，一人2本，另外一人3本. 【答案】(1)30 (2)90 (3)90 (4)360 【详解】（1）（1）甲､乙､丙依次选书，得； （2）在（1）的基础上，得4本书的可以是甲､乙､丙三人的任何一个，共； （3）甲､乙､丙依次选书，得； （4）先把书分三堆，再分给三个人：. 变式8．（25-26高二上·甘肃嘉峪关·期末）甲、乙、丙等6名学生准备利用假期时间从三个社区中选一个参加志愿者活动，每个社区至少安排1人． (1)若每个社区刚好安排2人，则不同的安排方法有多少种？ (2)若甲、乙、丙全部分到同一个社区，则不同的安排方法有多少种？ (3)若甲、乙、丙分别分到三个社区，则不同的安排方法有多少种？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）将6名学生平均分成3组， 分法数为（种）， 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）； （2）①甲、乙、丙看作一组，有1种分法． 将剩下的3人分成2组，分法数为（种）， 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）； ②甲、乙、丙和剩余3人中的1人形成一组，其余2人各一组，有3种分法． 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）； 综上不同的安排方法有（种）； （3）甲、乙、丙分别安排到3个社区，有（种）， 剩下的3人每人都可以选择3个社区中的任意一个，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）. 2 学科网（北京）股份有限公司 $计数原理：相邻问题与不相邻问题、分组分配问题专项训练 计数原理：相邻问题与不相邻问题、分组分配问题专项训练 考点目录 相邻问题与不相邻问题 分组分配问题 考点一 相邻问题与不相邻问题 例1．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）现有5本不同的书《天工开物》、《梦溪笔谈》、《齐民要术》、《本草纲目》、《九章算术》，则下列说法正确的是（ ） A．将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，有种不同的放法 B．将全部的书放在同一层书架上，要求《本草纲目》和《九章算术》相邻，有96种不同的放法 C．将五本书排成一排，则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右（可以不相邻）的顺序排列的不同的排法有120种 D．将书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人2本，有90种不同的分法 例2．（25-26高二上·陕西汉中·月考）某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（   ） A．24种 B．36种 C．72种 D．144种 例3．（2025·陕西西安·模拟预测·多选）3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（   ） A．共有60种不同的坐法 B．空位不相邻的坐法有32种 C．空位相邻的坐法有24种 D．两端不是空位的坐法有12种 例4．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考·多选）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则（    ） A．课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 B．课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 C．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 例5．（25-26高二上·河南驻马店·月考）从单词“”中选取5个不同的字母排成一排，含有“”（其中“”相连且顺序不变）的不同排列共有 种．（用数字作答） 例6．（25-26高二上·山东日照·月考）7个人站成一排照相，其中甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻，则共有 种不同安排方式. 例7．（25-26高二上·河南驻马店·月考）甲、乙、丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. (1)6名同学站成一排，若甲、乙、丙必须相邻，则不同的排列方案有多少种? (2)6名同学站成一排，甲、乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种? (3)6名同学平均分成三组，进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种? 例8．（25-26高二上·江西景德镇·月考）为丰富广大人民群众文化生活，增强群众文化获得感、幸福感，某省开展群众美术主题创作展.若此次展览中打算安排国画、油画、水彩画、插画、漫画、素描画六件艺术作品的展出顺序. (1)若要求第一件展出的艺术作品不能是国画，则共有多少种不同的安排方案？ (2)若要求油画和插画的展出顺序相邻，则共有多少种不同的安排方案？ 变式1．（25-26高二上·吉林长春·期末）有甲、乙、丙、丁、戊5辆车需要停放在5个并排车位中，并且甲车不与乙车相邻停放，则停放方法共有（   ）种 A．36 B．48 C．72 D．144 变式2．（25-26高二上·甘肃平凉·期末）某学校组织学生体检，高二年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队的不同安排方案共有（    ） A．240种 B．120种 C．188种 D．156种 变式3．（25-26高二上·辽宁大连·期末·多选）某产品的加工需要经过道工序，下列说法正确的是（   ） A．其中某道工序放在最前，有种不同的加工顺序 B．其中某道工序不放在最前，也不放在最后，有种不同的加工顺序 C．其中某两道工序必须相邻，有种不同的加工顺序 D．其中某两道工序不能相邻，有种不同的加工顺序 变式4．（25-26高三上·贵州·月考·多选）为鼓励学生们进行兴趣爱好的培养，某学校拟在校园音乐节上邀请某乐队演唱6首风格不同的歌曲，设编号分别为A、B、C、D、E、F，且为了一定效果需对这6首歌的演唱顺序进行一定调整，则（   ） A．若歌曲B、C、D必须三首连续进行演唱，则有144种安排方式 B．若歌曲B、C、D任意两首不连续进行演唱，则有144种安排方式 C．若歌曲必须在歌曲之前进行演唱，则有120种安排方式 D．若歌曲必须第一个进行演唱，歌曲不能最后进行演唱，则有96种安排方式 变式5．（25-26高二上·河南驻马店·月考）甲、乙均在内的5人坐在一排的5个座位上，若甲、乙相邻，且甲、乙均不在这排座位的两端，则不同的坐法有 种. 变式6．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）某校团委举办《强国有我》主题演讲比赛，共有7人进入决赛，其中高一年级有3人，高二年级有2人，高三年级有2人.现采取抽签法决定演讲顺序，设事件“高一年级的3个人不相邻”，事件“高二年级的2个人相邻”，则 . 变式7．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种? (1)两个女生必须相邻而站； (2)4名男生互不相邻； (3)老师不站中间，女生甲不站左端. 变式8．（25-26高三上·广东东莞·月考）有4个学生和2个老师围绕圆桌入座，问： (1)有多少种就座方法？ (2)如果老师必须相邻，有多少种就座方法？ (3)如果老师必须不相邻，有多少种就座方法？ 考点二 分组分配问题 例1．（25-26高二上·河南驻马店·月考）某城市举办国际马拉松比赛，在某路段设三个服务点，某高校包括甲与乙在内的5名同学到三个服务点做志愿者，每名同学只去一个服务点，每个服务点至少1人，则甲与乙不去同一个服务点的概率为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）某学校安排4名教师分别到3个村庄支教，若每个村庄至少安排1名教师，则不同分配方案共有（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 例3．（25-26高二上·甘肃武威·期末·多选）2025年国庆假期，小张､小李､小王､小刘四人计划去南京旅游.现有玄武湖､明孝陵､牛首山､银杏湖四个景点可供选择，且每人只能去一个景点，则（    ） A．每个景点都有人去的情况共有24种 B．有景点没人去的情况共有256种 C．恰有1个景点没人去的情况共有144种 D．4人只选择“玄武湖”“明孝陵”两个景点的情况有14种 例4．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末·多选）下列说法正确的是（    ） A．将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，那么不同的放法种数是 B．将5个相同的小球放入6个编号不同的盒子中，每个盒子至多放1个小球，而且小球必须全部放入盒中，那么不同的放法种数是 C．将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，每个盒子至少放1个小球，那么不同的放法种数是 D．将6个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，每个盒子放2个小球，那么不同的放法种数是 例5．（25-26高三上·湖北襄阳·月考）某校招聘了6名教师，现平均分配给学校的两个校区，其中2名英语教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有 种. 例6．（25-26高二上·云南·月考）某地区有3个学生社会实践服务点A，B，C.4名学生需在寒假完成社会实践，每个服务点至少有一名学生，则不同的社会实践安排共有 种. 例7．（25-26高二上·甘肃庆阳·期末）有四个编号为1，2，3，4的四个不同的盒子，又有编号为1，2，3，4的四个不同的小球，现把小球放入盒子里. (1)小球全部放入盒子中有多少种不同的放法； (2)恰有一个盒子没放球有多少种不同的放法. 例8．（25-26高二上·辽宁·月考）（1）要把6本不同的课外书分给甲、乙、丙三名同学： （i）如果每人都得2本，则共有不同的分法多少种？ （ii）如果要求甲得1本，乙得2本，丙得3本，则共有不同的分法多少种？ （iii）如果要求一人得1本，一人得2本，一人得3本，则共有不同的分法多少种？ （2）要把6本不同的课外书分别装到三个相同的手提袋里： （i）如果一个袋子中1本，一个袋子中2本，一个袋子中3本，则共有不同的分法多少种？ （ii）如果每个袋子中都是2本，则共有不同的分法多少种？ （iii）如果每个袋子中至少1本，则共有不同的分法多少种？ （计算结果用数字作答） 变式1．（24-25高二上·贵州遵义·期末）某地区有3个学生社会实践服务点A，B，C．4名学生需在寒假完成社会实践，每个服务点至少有一名学生，则不同的社会实践安排共有（   ） A．72种 B．36种 C．24种 D．64种 变式2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）第二十七届哈尔滨冰雪大世界主塔名为“冰灯启梦”．景观以雪花托举的“山”字为意象，是对冰雪童话世界的诗意呼应，更是借山之坚韧与巍峨，隐喻生态与发展共生共荣的永恒力量．冰雪大世界现招募志愿者，从哈三中的8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能负责语言服务工作，则不同的选法种数共有（   ） A．102种 B．105种 C．210种 D．288种 变式3．（25-26高二上·山东·月考·多选）李清照，齐州章丘（今山东省济南市章丘区）人，宋代女词人，婉约词派代表，有“千古第一才女”之称．现将李清照不同的9本诗集全部奖励给3名同学（每人至少会分到1本），则下列选项正确的有（   ） A．若刚好每人分到3本书，则有1680种不同的分法 B．若每人至少分到2本书，则有11508种不同的分法 C．若刚好有1人只分到1本书，则有6326种不同的分法 D．若每人至多分到4本书，则有13020种不同的分法 变式4．（2026·江苏徐州·模拟预测·多选）某班要举办一次学科交流活动，现安排A，B，C，D，E这五名同学负责语文、数学、英语、物理学科相关工作．则下列说法中正确的是（ ） A．若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种 B．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有240种不同的方案 C．若数学学科必须安排两人，其余学科安排一人，则有60种不同的方案 D．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，其中A不负责语文且B不负责数学工作，则有144种不同的方案． 变式5．（25-26高二上·辽宁·期末）将5个完全相同的小球全部放入编号为1，2，3，4的4个小盒，恰好有1个空盒的不同放法有 种. 变式6．（25-26高三上·安徽阜阳·月考）6名同学相约去游乐场游玩，进场时按顺序验票，则甲、乙、丙按顺序进场的不同情况有 种;进场后他们选定了3个游玩项目，每人都只玩1个项目，且每个项目都有人玩，则A项目恰有2个人游玩的不同分配方法有 种.(请用数字作答) 变式7．（25-26高二上·北京·月考）现有6本不同的书，分给甲乙丙三人.按以下要求，各有几种分法？（用数字作答） (1)甲得1本，乙得1本，丙得4本； (2)一人得1本，一人得1本，一人得4本； (3)平均分给甲､乙､丙三人； (4)一人得1本，一人2本，另外一人3本. 变式8．（25-26高二上·甘肃嘉峪关·期末）甲、乙、丙等6名学生准备利用假期时间从三个社区中选一个参加志愿者活动，每个社区至少安排1人． (1)若每个社区刚好安排2人，则不同的安排方法有多少种？ (2)若甲、乙、丙全部分到同一个社区，则不同的安排方法有多少种？ (3)若甲、乙、丙分别分到三个社区，则不同的安排方法有多少种？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $