2.4概率的简单应用提高练习2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学“概率的简单应用”同步提高练习，分层清晰，从基础计算到综合应用，适配新授课知识巩固，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|概率公式、频率估计概率|如摸球概率计算（选择1-2）、频率稳定求数量（填空9-10），巩固概念理解| |进阶层|两步事件概率、游戏公平性|如不放回摸球（选择3）、电路开关概率（填空12），用列表法分析（解答13-14）| |综合层|概率与方程、几何概型|如方程求球数（选择6）、不规则图形面积估计（选择4），结合转盘游戏设计（综合16-18）|

2.4概率的简单应用 提高练习 一、选择题 1．某口袋中有10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该是（　　） A．3 B．4 C．1 D．2 2．不透明的口袋中装有3个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在0.6，则n的值最可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 3．将分别标有“大”、“美”、“织”、“金”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀．随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球．两次摸出的球上的汉字能组成“织金”的概率是（　　） A． B． C． D． 4．小明为估计一个不规则图案的面积，采取了以下办法：首先用一个面积为10cm2的长方形将不规则图案围起来（如图①）；然后在一固定位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在边界线上或长方形区域外不计试验结果）；最后将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图．请估计不规则图案的面积大约为（　　） A．4cm2 B．3.5 cm2 C．4.5 cm2 D．5 cm2 5．不透明的袋子里有50张冬奥会宣传卡片，卡片上印有会徽、吉祥物冰墩墩、吉祥物雪容融图案，每张卡片只有一种图案除图案不同外其余均相同，其中印有冰墩墩的卡片共有 张．从中随机摸出1张卡片，若印有冰墩墩图案的概率是 ，则 的值是（　　） A．250 B．10 C．5 D．1 6．一个不透明的口袋中装有红球6个，黄球9个，绿球3个，这些球除颜色外没有其他任何区别．现从中任意摸出一个球．如果要使摸到绿球的概率为，需要在这个口袋中再放入绿球(　　)个 A．4 B．3 C．2 D．1 7． 如果一个袋子里有16个除颜色外其他完全相同的球，若摸到黑球的概率为，则可估计袋中黑球的个数为（　　） A．12 B．6 C．4 D．不能确定 8．在多次重复抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，随机事件“正面向上”发生的频率为，每次试验该事件的概率为．下列说法错误的是（　　） A．的值为0.5 B．随着试验次数的增加，的值可能发生变化 C．当试验次数很大时，在附近摆动，并趋于稳定 D．试验次数越多，的值越大 二、填空题 9．在一个不透明的布袋中，黄色、红色的乒乓球共10个，这些球除颜色外其他都相同．小刚通过多次摸球实验后发现其中摸到黄球的频率稳定在60%，则布袋中红色球的个数很可能是　 　个． 10．为了估计水塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2.5%左右，则鱼塘中估计有鱼　 　条． 11．甲、乙两人玩抽扑克牌游戏，游戏规则：从一副去掉大、小王的扑克牌中，随机抽取一张，若所抽取的牌面数字为奇数，则甲获胜；若所抽取的牌面数字为偶数，则乙获胜．（J，Q，K分别代表11，12，13），这个游戏　 　.（填“公平”或“不公平”） 12．电路图上有四个开关和一个小灯泡，如果同时闭合中的两个开关，那么使得小灯泡发亮的概率是　 　． 三、解答题 13．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小都相同．有两辆汽车经过这个十字路口，观察这两辆车经过这个十字路口的情况． （1）列举出所有可能的情况； （2）求出至少有一辆车向左转的概率． 14．如图所示某地铁站有三个闸口． （1）一名乘客随机选择此地铁闸口通过时，选择闸口通过的概率为　 　 ． （2）当两名乘客随机选择此地铁闸口通过时，请用树状图或列表法求两名乘客选择不同闸口通过的概率． 15．太阳发出的光经过三棱镜折射后，可以形成红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫等色光组成的光带，这是光的色散现象，说明太阳发出的白光是由不同色光组成的．自然界大部分彩色的光都可以通过红、绿、蓝三种颜色的光按照不同比例混合而成，所以这三种色光又被称为光的“三原色”．在一次数学课上，老师利用光的三原色设计了一个“配紫色”游戏，如图所示是一个可以自由转动的转盘，转盘被分成面积相等的三个扇形，分别对应红、绿、蓝三种颜色，转动转盘2次，记下两次指针指向的区域（若指针指向扇形分界线，则需要重新转动），如果转出的两种颜色分别是红色和蓝色，则可以配成紫色． （1）用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； （2）求转动2次转盘，恰好可以配成紫色的概率． 四、综合题 16．一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，另有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区域，分别标有数字1，2，3(如图所示).小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去；否则小亮去. （1）用树状图法或列表法求出小颖参加比赛的概率； （2）你认为游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请修改该游戏规则，使游戏公平. 17．盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别． （1）从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是 ，写出表示x和y关系的表达式． （2）往盒中再放进10枚黑棋，取得黑棋的概率变为 ，求x和y的值． 18．在学校开展的数学活动课上，小明和小刚制作了一个正三棱锥（质量均匀，四个面完全相同），并在各个面上分别标记数字1，2，3，4，游戏规则如下：每人投掷三棱锥一次，并记录底面的数字，如果底面数字的和为奇数，那么小明赢；如果底面数字的和为偶数，那么小刚赢. （1）请用列表或画树状图的方法表示上述游戏中的所有可能结果. （2）请分别求出小明和小刚能赢的概率，并判断此游戏对双方是否公平. 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：∵甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜， ∴要使对甲、乙双方公平， ∴绿球和黑球的数量相等， ∴黑球的个数为2x个， ∴x+2x+2x+10， 解之：x=2. 故答案为：D 【分析】利用已知条件，可知此事件是抽取放回，要使对甲、乙双方公平，则绿球和黑球的数量相等，由此可得到关于x的方程，解方程求出x的值. 2．【答案】C 【解析】【解答】根据题意可得：， 解得：n=6， 故答案为：C. 【分析】利用“摸到蓝球的频率稳定在0.6”列出方程，再求出n的值即可. 3．【答案】B 【解析】【解答】根据题意可列出如下的列表： 　 1 2 3 4 1 　 （2，1） （3，1） （4，1） 2 （1，2） 　 （3，2） （4，2） 3 （1，3） （2，3） 　 （4，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） 　 ∴共有12种等可能的情况数，其中符合题意的情况数有2种， ∴P（两次摸出的球上的汉字能组成“织金”）=， 故答案为：B. 【分析】先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。 4．【答案】B 【解析】【解答】解：假设不规则图案的面积为x cm2， 由已知得：长方形面积为10cm2， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：， 当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35， 综上：=0.35， 解得：x=3.5， ∴不规则图案的面积大约为3.5cm2， 故答案为：B． 【分析】假设不规则图案的面积为x cm2，根据题意列出方程=0.35，再求出x=3.5即可。 5．【答案】B 【解析】【解答】解：由题意得， ， 解得 ． 故答案为：B． 【分析】利用概率公式列出等式方程求解即可。 6．【答案】C 【解析】【解答】解：设需要在这个口袋中再放入x个绿球，得：， 解得：x=2. 所以需要在这个口袋中再放入2个绿球. 故答案为：C. 【分析】设需要在这个口袋中再放入x个绿球，根据题意列出方程，再求出x的值即可。 7．【答案】A 【解析】【解答】解：设袋中黑球的个数为x， 根据题意可得：， 解得：x=12， 故答案为：A. 【分析】设袋中黑球的个数为x，根据题意列出方程，再求解即可. 8．【答案】D 【解析】【解答】解：A、P的值为0.5，故选项不符合题意； B、随着试验次数的增加，的值可能发生变化，故选项不符合题意； C、当试验次数很大时，在附近摆动，并趋于稳定，故选项不符合题意； D、试验次数越多，在附近摆动，并趋于稳定，故选项符合题意. 故选：D. 【分析】大量反复试验的时候，某个事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小有可能发生. 9．【答案】4 【解析】【解答】解：设黄球的个数为x， ∵共有黄色、红色的乒乓球10个，黄球的频率稳定在60%， ∴， 解得：， ∴布袋中红色球的个数很可能是（个）． 故答案为：4． 【分析】设黄球的个数为x，根据题意列出方程求解即可。 10．【答案】2000 【解析】【解答】解：50÷2.5%=2000. 故答案为：2000. 【分析】根据样本的概率估计总体的概率的即可求出鱼塘中的鱼. 11．【答案】不公平 【解析】【解答】解：，， ， 这个游戏不公平. 故答案为：不公平. 【分析】去掉大、小王的扑克牌共有52张， 其中牌面数字为奇数有28张，牌面数字为偶数有24张，分别求得甲、乙的获胜概率可得甲获胜的机率比乙大，故游戏不公平. 12．【答案】 【解析】【解答】解：列表如下， 　 S1 S2 S3 S4 S1 　 S1S2 S1S3 S1S4 S2 S2S1 　 S2S3 S2S4 S3 S3S1 S3S2 　 S3S4 S4 S4S1 S4S2 S4S3 　 由表可知，共有12种结果，能使小灯泡发亮的有4种， 能使小灯泡发亮的概率是. 故答案为： . 【分析】先根据题意列表，然后数出所有出现的结果数，并找出符合题意的所有结果数，再根据概率计算公式计算即可. 13．【答案】（1）解：两辆车分别记为车1，车2，可以用表格列举出所有可能出现的情况． 车1 车2 直行 左转 右转 直行 （直行，直行） （左转，直行） （右转，直行） 左转 （直行，左转） （左转，左转） （右转，左转） 右转 （直行，右转） （左转，右转） （右转，右转） （2）解：由（1）可知，所有可能出现的情况共有9种，它们出现的可能性相等，至少有一辆车向左转的情况有5种．所以P（至少有一辆车向左转）． 【解析】【分析】（1）根据题意列出表格即可求解； （2）根据（1）中表格信息得到所有可能出现的情况共有9种，它们出现的可能性相等，至少有一辆车向左转的情况有5种，利用概率公式代入数据计算即可求解. 14．【答案】（1） （2）解：画树状图为： 共有种等可能的结果，其中两名乘客选择不同闸口通过的结果数为， 所以两名乘客选择不同闸口通过的概率． 【解析】【解答】解：(1)一名乘客随机选择此地铁闸口通过时，总共有3个闸口，选择A闸口通过的概率为； 故答案为：. 【分析】(1)由概率公式计算即可求解. (2)画树状图展示所有9种等可能的结果，两名乘客选择不同闸口通过的结果数为6，根据概率公式计算即可求解. 15．【答案】（1）解：列表如下： 　 红 绿 蓝 红 （红，红） （红，绿） （红，蓝） 绿 （绿，红） （绿，绿） （绿，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，绿） （蓝，蓝） 由表格可知，共有9种等可能的结果． （2）解：由表格可知，转出的两种颜色分别是红色和蓝色的结果有2种， ∴转动2次转盘，恰好可以配成紫色的概率为． 【解析】【分析】（1）用表格的行表示第一次转盘的结果（三种：红，绿，蓝），用列表示第二次转盘的结果（三种：红，绿，蓝），据此求解； （2）利用表格确定所有等可能的结果数量和 转出的两种颜色分别是红色和蓝色的结果数量，利用概率公式求解即可。 16．【答案】（1）解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，所指数字之和小于4的有3种情况， ∴P（和小于4）= = ， ∴小颖参加比赛的概率为： ； （2）解：不公平， ∵P（小颖）= ， P（小亮）= . ∴P（和小于4）≠P（和大于等于4）， ∴游戏不公平； 可改为：若两个数字之和小于5，则小颖去参赛；否则，小亮去参赛. 【解析】【分析】（1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两指针所指数字之和小于4的情况，则可求得小颖参加比赛的概率； （2）根据小颖获胜与小亮获胜的概率，比较概率是否相等，即可判定游戏是否公平；使游戏公平，只要概率相等即可. 17．【答案】（1）解：∵盒中有x枚黑棋和y枚白棋， ∴袋中共有（x+y）个棋， ∵黑棋的概率是 ， ∴可得关系式 （2）解：如果往口袋中再放进10个黑球，则取得黑棋的概率变为 ，又可得 ； 联立求解可得x=15，y=25 【解析】【分析】（1）根据，就可得出表示x和y的关系式。 （2）由题意可知，与（1）中的方程联立方程组。求出方程组的解即可解决问题。 18．【答案】（1）解：列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 （2）解：从图表可知，共有16种等可能的情况，其中两次所掷数字的和为奇数的情况有8种，和为偶数的有8种， 所以小明获胜的概率为、小刚获胜的概率为， 故此游戏对两人是公平的. 【解析】【分析】（1）根据列表法可得所有可能出现的结果； （2）根据（1）的表格可得所有可能出现的情况数以及两次所掷数字的和为奇数、偶数的情况数，利用概率公式求出小明、小刚获胜的概率，然后进行比较即可判断. 1 学科网（北京）股份有限公司 $