5.5.2 简单的三角恒等变换（二）课后作业-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层梯度清晰，从基础变换到综合应用再到实际建模，构建“概念巩固-能力提升-实践创新”的知识巩固路径，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础训练题|三角恒等变换化简、函数性质（周期/奇偶性/对称中心）、最值计算|选择/填空/解答题结合，如第3题对称中心判断，巩固公式应用与运算能力| |综合训练题|三角变换与不等式、函数综合|跨知识点融合，如第11题不等式有解问题，培养推理意识| |能力提升题|几何与实际问题中的三角建模|实际情境应用，如第13题半圆形绿地面积优化，发展模型观念与应用意识|

5.5.2简单的三角恒等变换（二） 学习目标 1．能够利用三角恒等变换对三角函数进行化简、合并. 2．能够利用三角恒等变换解决几何中的问题以及生活中的实际问题． 课后作业 一、基础训练题 1．等于(　　) A． B．1 C． D． 2．若sin α－cos α＝，则cos等于(　　) A． B．－ C． D．－ 3．函数f(x)＝sin x＋cos x的一个对称中心是(　　) A． B． C． D． 4．函数f(x)＝(1＋cos 2x)·sin2x(x∈R)是(　　) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 5．若函数f(x)＝|3sin x＋4cos x＋m|的最大值是8，则m等于(　　) A．3 B．13 C．3或－3 D．－3或13 6．(多选题)已知函数f(x)＝sin xcos x＋sin2x，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最大值为2 B．f(x)的最小正周期为π C．f(x)关于直线x＝－对称 D．f(x)在上单调递增 7．已知函数f(x)＝2sin x＋3cos x，x1，x2∈R，则f(x1)－f(x2)的最大值是________． 8．如图，扇形OAB的半径为1，圆心角为，若P为弧上异于A，B的点，且PQ⊥OB交OB于点Q，当△POQ的面积大于时，∠POQ的取值范围为________． 9．已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x. (1)求函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离； (2)求函数f(x)在区间上的最大值与最小值，以及此时x的取值． 10．已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x. (1)求f(x)的最小正周期及最大值； (2)若α∈，且f(α)＝，求α的值． 二、综合训练题 11．若不等式4sin2x＋4sin xcos x＋5≤m在上有解，则实数m的最小值为(　　) A．11 B．5 C．－5 D．－11 12．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，则f(x)的最大值是 ． 三、能力提升题 13．如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m. (1)如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？ (2)沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选择A，D位置，使步行小路的距离最远？ 14．点P在直径AB＝1的半圆上移动，过点P作切线PT，且PT＝1，∠PAB＝α，则当α为何值时，四边形ABTP的面积最大？ 参考答案 1、答案　A 解析　＝＝＝＝. 2、答案　D 解析　∵sin α－cos α＝2＝－2cos＝，∴cos＝－. 3、答案　D 解析　因为f(x)＝sin x＋cos x＝sin，根据函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心特征可知，对称中心是函数f(x)的图象与x轴的交点，四个选项中只有当x＝－时，f ＝0， 即函数f(x)的一个对称中心为. 4、解析：选D　因为f(x)＝(1＋cos 2x)(1－cos 2x)＝(1－cos22x)＝sin22x＝(1－cos 4x)．又f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是最小正周期为的偶函数，选D． 5、答案　C 解析　∵f(x)＝|3sin x＋4cos x＋m|，∴f(x)＝|5sin(x＋φ)＋m|，∵－5≤5sin(x＋φ)≤5， ∴当m>0时，f(x)max＝|5＋m|＝8，解得m＝3； 当m<0时，f(x)max＝|－5＋m|＝8，解得m＝－3. 6、答案　BCD 解析　∵f(x)＝sin 2x＋＝(sin 2x－cos 2x)＋＝sin＋， ∴f(x)max＝＋＝，最小正周期T＝＝π. 当x＝－时，sin＝－1，∴直线x＝－为对称轴． 当x∈时，2x－∈，∴f(x)在上单调递增， 综上有B，C，D正确，A不正确． 7、答案　2 解析　因为f(x)＝2sin x＋3cos x＝sin(x＋φ)， 所以f(x)max＝，f(x)min＝－，因为x1，x2∈R， 所以f(x1)－f(x2)的最大值为f(x1)max－f(x2)min＝－(－)＝2. 9、解　f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin＋1. (1)函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离为＝. (2)∵x∈，∴2x＋∈， ∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值为3；当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值为0. 10、解 (1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x＝cos 2xsin 2x＋cos 4x＝(sin 4x＋cos 4x)＝sin， 所以f(x)的最小正周期为，最大值为. (2)因为f(α)＝，所以sin＝1， 因为α∈，所以4α＋∈.所以4α＋＝，故α＝. 11、答案　B 解析　设y＝4sin2x＋4sin xcos x＋5＝2(1－cos 2x)＋2sin 2x＋5＝4sin＋7. 因为x∈，所以2x－∈， 所以y＝4sin＋7∈[5,11]， 又y≤m有解，故实数m的最小值为5. 12、答案　2　[f(x)＝(1＋tan x)cos x＝cos x＝sin x＋cos x＝2sin. 解析　∵0≤x<，∴≤x＋<，∴当x＋＝时，f(x)取到最大值2. 13、解　 (1)连接OB，如图所示，设∠AOB＝θ， 则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且θ∈. 因为A，D关于原点对称，所以AD＝2OA＝40cos θ. 设矩形ABCD的面积为S，则S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ. 因为θ∈，所以当sin 2θ＝1，即θ＝时，Smax＝400(m2)． 此时AO＝DO＝10(m)． 故当A，D距离圆心O为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2. (2)由(1)知AB＝20sin θ，AD＝40cos θ， ∴AB＋BC＋CD＝40sin θ＋40cos θ＝40sin， 又θ∈，∴θ＋∈， 当θ＋＝，即θ＝时，(AB＋BC＋CD)max＝40，此时AO＝DO＝10， 即当A，D距离圆心O为10 m时，步行小路的距离最远． 14、解　如图所示．因为AB为半圆的直径， 所以∠APB＝，又AB＝1，所以PA＝cos α，PB＝sin α.又PT切半圆于P点， 所以∠TPB＝∠PAB＝α， 所以S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB＝PA·PB＋PT·PB·sin α＝sin αcos α＋sin2α ＝sin 2α＋(1－cos 2α)＝sin＋. 因为0＜α＜，所以－＜2α－＜，所以当2α－＝，即α＝时， S四边形ABTP取得最大值＋. www.21cnjy5.5.2简单的三角恒等变换（二） 班级 姓名 学习目标 1．能够利用三角恒等变换对三角函数进行化简、合并. 2．能够利用三角恒等变换解决几何中的问题以及生活中的实际问题． 学习过程 自学指导 自学检测及课堂展示 完成右边的公式 默写 一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1．两角和的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α＋β)＝ ． (2)cos(α＋β)＝ ． (3)tan(α＋β)＝ ． 2．两角差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α－β)＝ ． (2)cos(α－β)＝ ． (3)tan(α－β)＝ ． 二、二倍角公式及其变形公式 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α＝ ． (2)cos2α＝ ． (3)tan2α＝ ． 2．降幂公式 (1)sin2α＝ ； (2)cos2α＝ ； (3)sin αcos α＝ ． 3．升幂公式 (1)1＋cos α＝ ； (2)1－cos α＝ ； (3)1＋sin α＝ ； (4)1－sin α＝ ． 三、辅助角公式 asinα＋bcosα＝ ，其中cosφ＝，sinφ＝ 或 asinx＋bcosx＝ ，其中cosθ＝，sinθ＝ 恒等变换与三角函数图象性质的综合 例1、已知函数f(x)＝2sin(x－3π)·sin＋2sin2－1，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值； (2)若f(x0)＝，x0∈，求cos2x0的值． 恒等变换与三角函数图象性质的综合 例2、已知函数f(x)＝cos·cos，g(x)＝sin 2x－. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合． 三角函数在实际问题中的应用 例3、某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)． 课后作业 一、基础训练题 1．等于(　　) A． B．1 C． D． 2．若sin α－cos α＝，则cos等于(　　) A． B．－ C． D．－ 3．函数f(x)＝sin x＋cos x的一个对称中心是(　　) A． B． C． D． 4．函数f(x)＝(1＋cos 2x)·sin2x(x∈R)是(　　) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 5．若函数f(x)＝|3sin x＋4cos x＋m|的最大值是8，则m等于(　　) A．3 B．13 C．3或－3 D．－3或13 6．(多选题)已知函数f(x)＝sin xcos x＋sin2x，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最大值为2 B．f(x)的最小正周期为π C．f(x)关于直线x＝－对称 D．f(x)在上单调递增 7．已知函数f(x)＝2sin x＋3cos x，x1，x2∈R，则f(x1)－f(x2)的最大值是________． 8．如图，扇形OAB的半径为1，圆心角为，若P为弧上异于A，B的点，且PQ⊥OB交OB于点Q，当△POQ的面积大于时，∠POQ的取值范围为________． 9．已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x. (1)求函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离； (2)求函数f(x)在区间上的最大值与最小值，以及此时x的取值． 10．已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x. (1)求f(x)的最小正周期及最大值； (2)若α∈，且f(α)＝，求α的值． 二、综合训练题 11．若不等式4sin2x＋4sin xcos x＋5≤m在上有解，则实数m的最小值为(　　) A．11 B．5 C．－5 D．－11 12．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，则f(x)的最大值是 ． 三、能力提升题 13．如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m. (1)如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？ (2)沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选择A，D位置，使步行小路的距离最远？ 14．点P在直径AB＝1的半圆上移动，过点P作切线PT，且PT＝1，∠PAB＝α，则当α为何值时，四边形ABTP的面积最大？ 5.5.2简单的三角恒等变换（二） 参考答案 1、答案　A 解析　＝＝＝＝. 2、答案　D 解析　∵sin α－cos α＝2＝－2cos＝，∴cos＝－. 3、答案　D 解析　因为f(x)＝sin x＋cos x＝sin，根据函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心特征可知，对称中心是函数f(x)的图象与x轴的交点，四个选项中只有当x＝－时，f ＝0， 即函数f(x)的一个对称中心为. 4、解析：选D　因为f(x)＝(1＋cos 2x)(1－cos 2x)＝(1－cos22x)＝sin22x＝(1－cos 4x)．又f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是最小正周期为的偶函数，选D． 5、答案　C 解析　∵f(x)＝|3sin x＋4cos x＋m|，∴f(x)＝|5sin(x＋φ)＋m|，∵－5≤5sin(x＋φ)≤5， ∴当m>0时，f(x)max＝|5＋m|＝8，解得m＝3； 当m<0时，f(x)max＝|－5＋m|＝8，解得m＝－3. 6、答案　BCD 解析　∵f(x)＝sin 2x＋＝(sin 2x－cos 2x)＋＝sin＋， ∴f(x)max＝＋＝，最小正周期T＝＝π. 当x＝－时，sin＝－1，∴直线x＝－为对称轴． 当x∈时，2x－∈，∴f(x)在上单调递增， 综上有B，C，D正确，A不正确． 7、答案　2 解析　因为f(x)＝2sin x＋3cos x＝sin(x＋φ)， 所以f(x)max＝，f(x)min＝－，因为x1，x2∈R， 所以f(x1)－f(x2)的最大值为f(x1)max－f(x2)min＝－(－)＝2. 9、解　f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin＋1. (1)函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离为＝. (2)∵x∈，∴2x＋∈， ∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值为3；当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值为0. 10、解 (1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x＝cos 2xsin 2x＋cos 4x＝(sin 4x＋cos 4x)＝sin， 所以f(x)的最小正周期为，最大值为. (2)因为f(α)＝，所以sin＝1， 因为α∈，所以4α＋∈.所以4α＋＝，故α＝. 11、答案　B 解析　设y＝4sin2x＋4sin xcos x＋5＝2(1－cos 2x)＋2sin 2x＋5＝4sin＋7. 因为x∈，所以2x－∈， 所以y＝4sin＋7∈[5,11]， 又y≤m有解，故实数m的最小值为5. 12、答案　2　[f(x)＝(1＋tan x)cos x＝cos x＝sin x＋cos x＝2sin. 解析　∵0≤x<，∴≤x＋<，∴当x＋＝时，f(x)取到最大值2. 13、解　 (1)连接OB，如图所示，设∠AOB＝θ， 则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且θ∈. 因为A，D关于原点对称，所以AD＝2OA＝40cos θ. 设矩形ABCD的面积为S，则S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ. 因为θ∈，所以当sin 2θ＝1，即θ＝时，Smax＝400(m2)． 此时AO＝DO＝10(m)． 故当A，D距离圆心O为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2. (2)由(1)知AB＝20sin θ，AD＝40cos θ， ∴AB＋BC＋CD＝40sin θ＋40cos θ＝40sin， 又θ∈，∴θ＋∈， 当θ＋＝，即θ＝时，(AB＋BC＋CD)max＝40，此时AO＝DO＝10， 即当A，D距离圆心O为10 m时，步行小路的距离最远． 14、解　如图所示．因为AB为半圆的直径， 所以∠APB＝，又AB＝1，所以PA＝cos α，PB＝sin α.又PT切半圆于P点， 所以∠TPB＝∠PAB＝α， 所以S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB＝PA·PB＋PT·PB·sin α＝sin αcos α＋sin2α ＝sin 2α＋(1－cos 2α)＝sin＋. 因为0＜α＜，所以－＜2α－＜，所以当2α－＝，即α＝时， S四边形ABTP取得最大值＋. .com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $