第十五章《轴对称》暑假单元自测卷 2026—2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 八年级数学第十五章《轴对称》单元自测卷，通过选择、填空、解答题（10+4+7题，30+12+58分）全面考查轴对称核心知识，融入奥运徽标、双翼闸机等真实情境，梯度设计兼顾基础与探究，适配暑假巩固提升，培养几何直观、空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称图形识别、坐标对称、折叠问题、角平分线性质|第1题以奥运徽标考轴对称，体现文化情境；第3题双翼闸机问题，培养数学眼光观察现实世界| |填空题|4/12|中垂线性质、动点与等边三角形计算|第13题结合动点运动时间，考查动态几何推理能力| |解答题|7/58|作图、等腰三角形证明、实际测量方案、动态几何探究|第21题含30°三角板与等腰三角形滑动问题，分层设问（求值、说理、探究等腰情形），发展数学思维与创新意识|

第十五章《轴对称》单元自测卷（原卷版） 注意事项： 1.本次考试是数学，建议用时120分钟完成。数学满分100分。 2.考试范围：八年级数学第十五章 第一部分 选择题(共30分) 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的） 1．下列四幅图是奥林匹克运动会会徽，其图案为轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图是平面镜成像的示意图．若以蜡烛的底部和平面镜中像的底部连线为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．某时刻火焰顶部S的坐标为，则此时对应的虚像的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．如图1，是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（   ） A． B． C． D． 4．如图1，将正方形纸片的，分别沿，折叠，使点A，C分别落在，处，且点与点重合． 如图2，将该纸片展平后，将，分别沿，再折叠，使点A，C分别落在上的点处和上的点处． 如图3，纸片展平后，将和分别记为和，则和的数量关系一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是 ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知点关于y轴的对称点在第一象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 7．如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，连接，如果，那么的长是（   ） A．4 B．5 C． D．6 8．如图，等腰三角形的底边长为2，面积是8，腰的垂直平分线分别交、边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为（   ） A． B． C．或 D．或 10．如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在第三象限，是等边三角形，点在线段上，且，点是线段上的动点，点是轴负半轴上的动点，当的值最小时，，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 第二部分 非选择题 (共70分) 二、填空题(本题共4个小题。每空3分。共12分) 11．如图，在中，，是的中垂线，的周长为15，，则的长为______． 12．如图，在中，，P为上一点，以点P为顶点作，交于D，交于E，若，，则的长是______． 13．已知：如图，在等边中，为边上一点，且．动点从点出发沿边以每秒2个单位的速度向点运动，连接，设点运动的时间为秒．若，则的值为_____秒． 14．如图，是等边三角形，点在的延长线上，点在线段上，，与交于点，若，，则的长为_____________． 三、解答题（共58分） 15．如图，点在的内部，且，，分别为点关于直线，的对称点，若，求的度数．    16．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图，已知两条公路、交于点，小明家位于点处，小刚家位于经过点垂直的公路和经过点与平行的公路的交汇处，请作出小刚家所在的位置． 17．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 18．如图，已知，平分，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若于点D，，求的度数． 19．如图，某旅游区要在景观湖的湖心小岛上修建一个度假村，需要知道景点与小岛的距离，施工人员的设计方案如下：在岸边确定点，画出，，射线交于点，只需量出线段的长，就可以知道景点与小岛的距离． (1)说明这样设计的理由； (2)实际测量时，由于在处有一堵墙阻挡了测量路线，无法直接测量出，间的距离，施工人员改进了方案，量得，，，，，求景点与小岛的距离． 20．如图，在平面直角坐标系中，且、、． (1)在图中画出线段关于y轴对称的线段，并直接写出点的坐标为 ； (2)在（1）的基础上，直接写出的面积为 ； (3)在x轴上有一条长度是1的运动线段（点M在点N左边），使得最小，请画出点M．（保留必要的画图的痕迹）． 21．在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． (1)当时， ； (2)当等于何值时，？请说明理由； (3)在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章《轴对称》单元自测卷（解析版） 注意事项： 1.本次考试是数学，建议用时120分钟完成。数学满分100分。 2.考试范围：八年级数学第十五章 第一部分 选择题(共30分) 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的） 1．下列四幅图是奥林匹克运动会会徽，其图案为轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键；因此此题可根据“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”排除选项即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故符合题意； B、不是轴对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，故不符合题意； 故选A． 2．如图是平面镜成像的示意图．若以蜡烛的底部和平面镜中像的底部连线为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．某时刻火焰顶部S的坐标为，则此时对应的虚像的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，解题关键是掌握关于轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数． 由平面镜成像可知，与关于轴对称，根据关于轴对称的点的坐标特征即可得到答案． 【详解】解：由平面镜成像可知，与关于轴对称，且S的坐标为， ， 故选D． 3．如图1，是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了含度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解答本题的关键； 过作于点，过作于点，则可得和的长，依据端点A与B之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【详解】解：过作于点，过作于点，如图： ， ∴在中，， 同理可得：， ∵A与B之间的距离为， ∴通过闸机的物体的最大宽度为， 故选：C； 4．如图1，将正方形纸片的，分别沿，折叠，使点A，C分别落在，处，且点与点重合． 如图2，将该纸片展平后，将，分别沿，再折叠，使点A，C分别落在上的点处和上的点处． 如图3，纸片展平后，将和分别记为和，则和的数量关系一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】折叠问题 【分析】此题主要考查了图形的折叠变换及其性质；根据折叠的性质得，，，，进而得由此得，据此即可得出α与β之间的关系． 【详解】解：根据折叠的性质，结合图1可知：，， 根据折叠的性质，结合图2可知：，， ， ， ∵四边形为正方形， ， ， ． 故选：B． 5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是 ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【详解】①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确． ②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°． 又∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠1=∠2=∠CAB=30°， ∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确． ③∵∠1=∠B=30°， ∴AD=BD． ∴点D在AB的中垂线上．故③正确． ④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°， ∴CD=AD． ∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD． ∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD． ∴S△DAC：S△ABC．故④正确． 综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个． 故选D． 6．已知点关于y轴的对称点在第一象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【知识点】求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了点的坐标与轴对称，解一元一次不等式组，熟练掌握点的坐标与轴对称变换规律是解题关键．先判断出点在第二象限，再根据第二象限的点的横坐标小于0、纵坐标大于0建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：点关于y轴的对称点在第一象限， 点在第二象限， ，， 解得：， 故选：D． 7．如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，连接，如果，那么的长是（   ） A．4 B．5 C． D．6 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 连接，证明为等边三角形，推出，根据全等三角形的对应边相等，得出对应边相等，利用线段的和差即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 8．如图，等腰三角形的底边长为2，面积是8，腰的垂直平分线分别交、边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【知识点】最短路径问题、三线合一、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接、，由于是等腰三角形，点是底边边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接、， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ∴ ∵ ∴当A、M、D三点共线时，值最小， 的长为的最小值， 周长的最小值． 故选：C． 9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：①当为锐角三角形时，如图1，    ∵， ∴， ∴三角形的顶角为； ②当为钝角三角形时，如图2，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴三角形的顶角为； 综上分析可知：这个等腰三角形的顶角为或． 故选：D． 10．如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在第三象限，是等边三角形，点在线段上，且，点是线段上的动点，点是轴负半轴上的动点，当的值最小时，，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了轴对称－最短路径、含的直角三角形的性质等知识点，灵活运用轴对称的性质求解最短路径问题是解题的关键． 如图：作点E关于y轴的对称点，过点作交y轴于点P，进而得出的值最小的情况，然后根据所对的直角边等于斜边的一半进而得出答案． 【详解】解：如图：作点E关于y轴的对称点，过点作交y轴于点P，则此时的值最小， ∵是等边三角形， ， ， ， ， ∵， ， ， ∴点A的坐标为． 故选：B． 第二部分 非选择题 (共70分) 二、填空题(本题共4个小题。每空3分。共12分) 11．如图，在中，，是的中垂线，的周长为15，，则的长为______． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查垂直平分线的性质，三角形的周长． 根据垂直平分线的性质得到，根据的周长为15，得到，从而求得，进而即可解答． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为15， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：9． 12．如图，在中，，P为上一点，以点P为顶点作，交于D，交于E，若，，则的长是______． 【答案】9 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是证明三角形全等． 证明，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：9． 13．已知：如图，在等边中，为边上一点，且．动点从点出发沿边以每秒2个单位的速度向点运动，连接，设点运动的时间为秒．若，则的值为_____秒． 【答案】1 【知识点】全等三角形的性质、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的性质，由等边三角形的性质得，得出，由全等三角形的性质得，再根据“时间=路程÷速度”求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 14．如图，是等边三角形，点在的延长线上，点在线段上，，与交于点，若，，则的长为_____________． 【答案】3 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，解决此题的关键是正确的应用等边三角形的性质． 先根据等边三角形的性质得到三个内角是，再根据角度的计算用表示出相关的角，得到，进而证明，即可解决问题． 【详解】解：如图，在 上截取，连接． 设，则， ∵是等边三角形， ∴,， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 2、 解答题（共58分） 15．如图，点在的内部，且，，分别为点关于直线，的对称点，若，求的度数．    【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称的性质，角的和差，由轴对称的性质可得，，，进而可得，即得点三点共线，得到，再根据角的和差关系计算即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，分别为点关于直线，的对称点， ∴，，， ∵，， ∴点三点共线， ∴， ∴ ． 16．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图，已知两条公路、交于点，小明家位于点处，小刚家位于经过点垂直的公路和经过点与平行的公路的交汇处，请作出小刚家所在的位置． 【答案】点即为所求． 【知识点】过直线外一点作已知直线的平行线、作垂线(尺规作图) 【分析】根据题意，结合垂线的作图方法、平行线的判定画图即可． 本题考查作图—应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：如图，先过点作直线，再在直线的上方作，交射线于点，则点即为所求． 17．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接． 垂直平分， ， ，， ∴垂直平分， ， ； (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定及性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得，，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质和三角形周长公式进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）的周长为21cm， ， ， ， ，， ， ． 18．如图，已知，平分，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若于点D，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】此题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由可得，根据等量代换可得； （2）由垂直的定义得出，可得，由平行线的性质得出，根据角平分线的定义即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 19．如图，某旅游区要在景观湖的湖心小岛上修建一个度假村，需要知道景点与小岛的距离，施工人员的设计方案如下：在岸边确定点，画出，，射线交于点，只需量出线段的长，就可以知道景点与小岛的距离． (1)说明这样设计的理由； (2)实际测量时，由于在处有一堵墙阻挡了测量路线，无法直接测量出，间的距离，施工人员改进了方案，量得，，，，，求景点与小岛的距离． 【答案】(1) 理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴测量出线段的长度，就可以知道景点与小岛的距离． (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定和等腰三角形的判定是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定进行证明即可； （2）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质判断出，进而即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴景点与小岛的距离是． 20．如图，在平面直角坐标系中，且、、． (1)在图中画出线段关于y轴对称的线段，并直接写出点的坐标为 ； (2)在（1）的基础上，直接写出的面积为 ； (3)在x轴上有一条长度是1的运动线段（点M在点N左边），使得最小，请画出点M．（保留必要的画图的痕迹）． 【答案】(1)见解析， (2)5.5 (3)见解析 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、根据成轴对称图形的特征进行求解、利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查了利用轴对称变换进行作图以及最短路线问题，画一个图形的轴对称图形时，是先从确定一些特殊的对称点开始．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形． （1）根据轴对称的性质，得到线段的端点关于y轴对称的点，再连接即可；根据点的位置即可得出点的坐标； （2）根据割补法即可得到的面积； （3）作点B关于x轴的对称点，作轴，使得，连接交x轴于一点，则该交点即为点M． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求，点的坐标为； 故答案为：； （2）解：的面积为； 故答案为：； （3）解：如图，作点B关于x轴的对称点，作轴，使得，连接交x轴于一点，则该交点即为点M，连接， 由，，可得四边形为平行四边形，故， 由轴对称的性质，可得，故（最短）， 而的长为定值，故此时最小． 21．在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． (1)当时， ； (2)当等于何值时，？请说明理由； (3)在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：当时，；理由如下： ∵，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴（）； (3)存在，或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，进而可以解决问题； （2）当时，与全等，理由为：根据，且度数，求出与度数，再由外角性质得到，根据，利用即可得证； （3）点在滑动时，的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当；；，分别求出夹角的大小即可． 本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）解：存在是等腰三角形；理由如下： ∵是等腰三角形， ，， ①当时， ∴， 即， ∴； ②当时，是等腰三角形， ∴，即， ∴； ③当时，是等腰三角形， ∴， ∴， 即， ∴， 此时点与点重合，点和重合， ∵点不与，重合， ∴，舍去， 综合所述，存在是等腰三角形；或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $