第十四章《全等三角形》暑假单元自测卷 2026—2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 八年级《全等三角形》单元卷，以文化传承与现实应用为情境，覆盖全等判定、性质及动态综合，适配暑假巩固与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|全等图形识别（刺绣实例）、判定条件（SSS/SAS）|融合非遗文化（沙燕风筝），考查几何直观| |填空题|6/18|中线性质（第13题）、动点全等（第15题）|结合网格与坐标系，发展空间观念| |解答题|7/52|实际测量（军事情境）、旋转综合（第22题）|设计分层任务，从基础证明到创新探究，体现推理能力与应用意识|

第十四章《全等三角形》单元自测卷（解析版） 注意事项： 1.本次考试是数学，60分钟完成。数学满分100分。 2.考试范围：八年级数学第十四章 第一部分 选择题(共30分) 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的） 1．刺绣是中国古老的手工技艺之一，已经有2000多年的历史，下列是几组刺绣作品图片，其中是全等图形的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的定义，熟悉掌握全等图形的识别是解题的关键．根据全等图形的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．两图大小不一样，故不是全等图形，故A错误； B．两图大小形状一样，故是全等图形，故B正确； C．两图形状不一样，故不是全等图形，故C错误； D．两图大小不一样，故不是全等图形，故D错误． 故选：B． 2．下列条件中能判断的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．三组对应角相等，根据不能判定，不合题意； B．两组对应角相等，一组对应边相等，根据能判定，符合题意； C．和的夹角应为，而和的夹角应为，题目未给出，无法满足条件，不能判定，不合题意； D．和的夹角应为，而和的夹角应为，题目未给出，无法满足条件，不能判定，不合题意； 故选：B． 3．如图，若，C，D是对应顶点，则下列结论错误的是（    ） A．与是对应角 B．与是对应角 C．与是对应边 D．与是对应边 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质的应用，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解题的关键； 根据全等三角形的性质进行判断即可． 【详解】∵，，是对应顶点， ∴对应角为与，与，与；对应边为与，与，与． A．与是对应角，正确，故本选项不符合题意； B．与是对应角，正确，故本选项不符合题意； C．与是对应边，不是，错误，故本选项符合题意； D．与是对应边，正确，故本选项不符合题意； 故选C． 4．沙燕风筝以深厚的文化底蕴、高超的制作技艺著称，已被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图案中，若，则添加如下的一个条件仍不能证明的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，根据全等三角形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】解：A、添加，可利用证明，故此选项不符合题意； B、添加可得，可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加，它们不是对应边的夹角相等，不能证明，故此选项符合题意； D、添加，由可得，故此选项不符合题意； 故选：C． 5．如图，的三边、、长分别是30、40、50，和的角平分线交于O，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过O分别作，，，根据角平分线的性质得到OD=OE=OF，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过O分别作，，， BO是平分线， ， CO是平分线， ， ， ，，， ． 故选：D． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是本题的关键． 6．如图，，点和点是对应顶点，，记，，，当时，与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 由全等三角形的性质可得出相等的角，可得，又由平行线的性质可得，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得， 故选：A． 7．已知的三边长分别为，的三边长分别为，，．若这两个三角形全等，则的值为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，分和两种情况解答即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵和全等， 当时，解得， 把代入，得， ∵， ∴不合题意； 当时，解得， 把代入，得，符合题意； 综上，的值为， 故选：． 8．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 9．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，若，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，坐标与图形性质，关键是由全等三角形的性质推出，，． 由、的坐标得到，，由全等三角形的性质推出，，，求出，即可得到点的坐标． 【详解】解：点，的坐标分别是，， ，， ∵， ，，， ， 点的坐标是． 故选：B． 10．如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（    ） ①平分；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于，由角平分线的性质定理可得，即可判断①；证明（），得出，同理可得（），从而得出，进而可得，即可判断②；由角平分线的定义可以判断③；由全等三角形的性质可以判断④； 【详解】解：①过点作于， ∵平分，平分， ，，， ∴，， ∴， ∴平分，故①正确； ②∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， 同理可得：（）， ∴， ∴， ∴， ∵不一定等于， 故②错误； ③∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，③正确； ④由②可知（）， （）， ∴，， ∴，④正确， 故选：C． 第二部分 非选择题 (共70分) 二、填空题(本题共6个小题。每空3分。共18分)11．如图，，的延长线经过点，交于，，，，则________°． 【答案】85 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是根据全等三角形的性质求出，根据平角定义求出，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：，， ， ， 又∵， ， 故答案为：． 12．茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知，，，其中的周长为，，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为________cm． 【答案】45 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，首先证明，可得，即可知与的周长相等，从而得整个金属框架所需这种材料的长度为的周长的2倍减去长度即可． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ， 的周长为，， 制成整个金属框架所需这种材料的长度为， 故答案为：45． 13．如图，在中，是中线，直线于F，于E，若，，则中线的长是 _______ ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，垂线定义，证明是解题的关键．证明，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在中，是中线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：12． 14．如图，的外角和的平分线相交于点，于点，且，若的周长为，，则的面积为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理． 过点作，垂足分别为点，连接，根据角平分线的性质得出，利用直角三角形全等得出相等边，然后根据三角形的周长得出，最后利用作差法求出三角形的面积即可． 【详解】解：如图所示，过点作，垂足分别为点，连接， ∵和的平分线相交于点， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴四边形的面积为， 五边形的面积为， ∴的面积为， 故答案为：6． 15．如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为______s时，与全等． 【答案】2或4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，以及一元一次方程的应用，熟知全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据题意分为P在上，Q在上和当P、Q都在上两种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，求出即可． 【详解】解：作于E，作于F． 分以下情况：①如图1，P在上，Q在上，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， 即 ； ②当P、Q都在上时，此时P，Q两点重合，如图3，    ， ． 综上所述，点运动时间为2或4，与全等， 故答案为：2或4． 16．如图，在长方形中，，延长到点E，使，连接，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为t秒，当t的值为____________秒时，和全等． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．分两种情况：当点P在上时，若；当点P在上时，若，结合全等三角形的判定解答即可． 【详解】解：在长方形中，，， ∴， 当点P在上时，若， ∵，，， ∴，满足条件， 此时； 当点P在上时，若， ∵，，， ∴，满足条件， 此时； 综上所述，当t的值为1或秒时，和全等． 故答案为：1或． 三、解答题（共52分） 17．如图，点在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴； (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，三角形全等的性质与判定，掌握全等知识点的应用是解题的关键． （）根据平行线的性质可得，根据线段的和差关系可得，进而根据即证明； （）由全等三角形的性质得，再通过三角形外角性质求出即可； 【详解】（1）略 （2）解：由（）得， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 18．如图所示，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，，求． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明得到，据此可证明； （2）证明得到；再由全等三角形的性质得到，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵E为中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解；∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．【主题】：军事训练中的距离测量问题： 【素材】：在某次重要的军事训练任务中，士兵小王肩负着一项关键使命：精准测量我方阵地（点）与对岸目标（点）之间的距离．然而，摆在小王面前的是诸多棘手难题，河流湍急无法直接过河，且身处野外环境没有携带任何专业测量工具．但小王凭借着扎实的数学知识和冷静的头脑，巧妙地运用了以下方法来解决这一难题． 【实践操作】：如图所示： 步骤：面向点竖直站立，调整目视高度，使视线恰好经过帽檐到达点； 步骤：保持身体姿态不变，原地转过一个角度，标记此时视线落在河岸的点； 步骤：步测得米，已知小王身高为，帽顶到眼睛的垂直距离为． 【问题解决】： (1)由上面实践操作可以知道距离是______米； (2)请用你所学数学知识，说明（1）中所填结论的正确性． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】根据全等三角形的性质求解； 根据全等三角形的性质求解． 本题考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由上面实践操作可以知道距离是米； 故答案为：； （2）解：在和中， ， ≌， 米． 20．如图，在中，，是过点的直线，点、在的两侧，于，于点，且． (1)求证：； (2)若，，请求出的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得出，再由全等三角形的判定得出，结合其性质及等量代换确定，即可证明； （2）根据全等三角形的性质结合图形即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ． ，， ， ，即， ． （2）解：由（1）得，， ， ． 而，，， ， 答：的长为3． 21．如图，在中，，点在上，连接，并延长至点，连接，使． (1)作的平分线，交于点（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了基本作图—角平分线，角平分线定义，全等三角形的判定与性质，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）作出的平分线即可； （2）利用等腰三角形的性质得到，再证明得出，进而即可得证． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）证明：连接， ，， ，， 由（1）知：平分， ， 在和中， ， ， ， ． 22．将两块全等的含角的直角三角板按图1的方式放置，已知，． (1)固定三角板，然后将三角板绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，与分别交于点D、E，与交于点F． ①填空：当旋转角等于时， ___________度； ②当旋转角等于多少度时，与垂直？请说明理由． (2)将图2中的三角板绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，使，与交于点D，试说明． 【答案】(1)①；②旋转角为 (2) 证明：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识点． （1）①根据旋转的性质得，则利用互余得到，然后根据进行计算； ②利用与垂直得，则，根据对顶角相等得，由于，利用三角形内角和定理得，所以，然后根据旋转的定义得到旋转角等于时，与垂直； （2）先证明，再证明，然后证明，最后证明． 【详解】（1）解：∵将三角板绕点C顺时针方向旋转至图2所示的位置， ∴， ∴， ∴； 故答案为：160； ②当旋转角等于时，与垂直．理由如下： 当与垂直时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 即旋转角等于时，与垂直； （2）略 23．【新知】在中，若，则，即是等腰三角形． 【解决问题】如图，已知正方形中点E为边上异于点A、B的一动点，，交于点，连接．点为延长线上一定点，满足．的延长线与交于点，连接．（备注：正方形的四条边都相等，四个角都是直角） (1)判断的形状； (2)试说明：； (3)探究是否为定值？如果是定值，请说明理由，并求出该定值；如果不是定值，请说明理由． 【答案】(1)是等腰直角三角形 (2)见解析 (3)是定值，为，理由见解析 【分析】（1）先求出，再根据平行线的性质可得，从而得到，即可解答； （2）根据，，可得，再由，可得，即可解答； （3）在取点M使，连接，证明，可得，从而得到，进而得到为等腰直角三角形，即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等腰直角三角形； （2）解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴； （3）解：是定值，为，理由如下： 如图，在取点M使，连接， 由（2）得：， ∴， ∴， 即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴为等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四章《全等三角形》单元自测卷（原卷版） 注意事项： 1.本次考试是数学，80分钟完成。数学满分100分。 2.考试范围：八年级数学第十四章 第一部分 选择题(共30分) 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的） 1．刺绣是中国古老的手工技艺之一，已经有2000多年的历史，下列是几组刺绣作品图片，其中是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列条件中能判断的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．如图，若，C，D是对应顶点，则下列结论错误的是（    ） A．与是对应角 B．与是对应角 C．与是对应边 D．与是对应边 4．沙燕风筝以深厚的文化底蕴、高超的制作技艺著称，已被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图案中，若，则添加如下的一个条件仍不能证明的是（　　）    A． B． C． D． 5．如图，的三边、、长分别是30、40、50，和的角平分线交于O，则等于（    ） A． B． C． D． 6．如图，，点和点是对应顶点，，记，，，当时，与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 7．已知的三边长分别为，的三边长分别为，，．若这两个三角形全等，则的值为（   ） A． B． C． D．不能确定 8．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，若，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 10．如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（    ） ①平分；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 第二部分 非选择题 (共70分) 二、填空题(本题共6个小题。每空3分。共18分) 11．如图，，的延长线经过点，交于，，，，则________°． 12．茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知，，，其中的周长为，，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为________cm． 13．如图，在中，是中线，直线于F，于E，若，，则中线的长是 _______ ． 14．如图，的外角和的平分线相交于点，于点，且，若的周长为，，则的面积为______． 15．如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为______s时，与全等． 16．如图，在长方形中，，延长到点E，使，连接，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为t秒，当t的值为____________秒时，和全等． 三、解答题（共52分） 17．如图，点在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 18．如图所示，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，，求． 19．【主题】：军事训练中的距离测量问题： 【素材】：在某次重要的军事训练任务中，士兵小王肩负着一项关键使命：精准测量我方阵地（点）与对岸目标（点）之间的距离．然而，摆在小王面前的是诸多棘手难题，河流湍急无法直接过河，且身处野外环境没有携带任何专业测量工具．但小王凭借着扎实的数学知识和冷静的头脑，巧妙地运用了以下方法来解决这一难题． 【实践操作】：如图所示： 步骤：面向点竖直站立，调整目视高度，使视线恰好经过帽檐到达点； 步骤：保持身体姿态不变，原地转过一个角度，标记此时视线落在河岸的点； 步骤：步测得米，已知小王身高为，帽顶到眼睛的垂直距离为． 【问题解决】： (1)由上面实践操作可以知道距离是______米； (2)请用你所学数学知识，说明（1）中所填结论的正确性． 20．如图，在中，，是过点的直线，点、在的两侧，于，于点，且． (1)求证：； (2)若，，请求出的长． 21．如图，在中，，点在上，连接，并延长至点，连接，使． (1)作的平分线，交于点（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：． 22．将两块全等的含角的直角三角板按图1的方式放置，已知，． (1)固定三角板，然后将三角板绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，与分别交于点D、E，与交于点F． ①填空：当旋转角等于时， ___________度； ②当旋转角等于多少度时，与垂直？请说明理由． (2)将图2中的三角板绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，使，与交于点D，试说明． 23．【新知】在中，若，则，即是等腰三角形． 【解决问题】如图，已知正方形中点E为边上异于点A、B的一动点，，交于点，连接．点为延长线上一定点，满足．的延长线与交于点，连接．（备注：正方形的四条边都相等，四个角都是直角） (1)判断的形状； (2)试说明：； (3)探究是否为定值？如果是定值，请说明理由，并求出该定值；如果不是定值，请说明理由． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $