3.3.1　抛物线及其标准方程 同步练习 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 本同步练习聚焦抛物线标准方程与性质，通过基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，实现从概念理解到复杂问题解决的递进，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|抛物线定义、标准方程及准线方程|以选择填空为主，直接考查概念（如第1题准线方程求解）| |进阶层|定义应用、几何性质综合（与圆、双曲线结合）|引入多选和中档解答，强化分类讨论（如第5题过定点抛物线方程）| |挑战层|轨迹方程推导、存在性问题探究|结合图像与代数推理，提升创新意识（如第16题存在性证明）|

3.3.1　抛物线及其标准方程 1.抛物线y＝－x2的准线方程为（　　） A.x＝　　　　　　　 B.x＝1 C.y＝1 D.y＝2 2. (2025高二上·贵阳月考) 若抛物线上有一点，其横坐标为，则该点到焦点的距离为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3.准线与x轴垂直，且经过点（1，－）的抛物线的标准方程是（　　） A.y2＝－2x B.y2＝2x C.x2＝2y D.x2＝－2y 4.（2024·温州月考）已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋（y－4）2＝1上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是（　　） A.5 B. C.－1 D.＋1 5.（多选）经过点P（4，－2）的抛物线的标准方程为（　　） A.y2＝x B.x2＝8y C.x2＝－8y D.y2＝－8x 6.（多选）对标准形式的抛物线给出下列条件，其中满足抛物线y2＝10x的有（　　） A.焦点在y轴上 B.焦点在x轴上 C.开口向右，焦点坐标为（5，0） D.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于 7.已知双曲线－y2＝1的右焦点恰好是抛物线y2＝8x的焦点，则m＝　　　　. 8.在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是　　　　　　. 9.（2024·泰州月考）已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2 的距离之和的最小值是　　　　. 10.根据下列条件分别求抛物线的标准方程： （1）抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点； （2）抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，｜AF｜＝5. 11.若动点M（x，y）到点F（4，0）的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是（　　） A.x＋4＝0 B.x－4＝0 C.y2＝8x D.y2＝16x 12.（多选）设抛物线y2＝4x，F为其焦点，P为抛物线上一点，则下列结论正确的是（　　） A.抛物线的准线方程是x＝－1 B.当PF⊥x轴时，｜PF｜取最小值 C.若A（2，3），则｜PA｜＋｜PF｜的最小值为 D.以线段PF为直径的圆与y轴相切 13. (2025高二上·达州期末) 抛物线上一点与焦点的距离等于，且在第一象限内，则的坐标是　　　　. 14.（2024·青岛月考）如图所示，已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M. （1）求抛物线的方程； （2）过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标. 15.（2024·泉州质检）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，点P在抛物线上，且｜PM｜＝｜PF｜，则△PMF的面积为（　　） A.4 B.8 C.16 D.32 16.已知抛物线y2＝4ax（a＞0）的焦点为A，以B（a＋4，0）为圆心，｜BA｜为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同两点M，N，点P为线段MN的中点. （1）求｜AM｜＋｜AN｜的值； （2）是否存在这样的a，使2｜AP｜＝｜AM｜＋｜AN｜？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 3.3.1　抛物线及其标准方程 1.C　抛物线的标准方程为x2＝－4y，则准线方程为y＝1. 2.B　因为抛物线的方程为，所以，所以，所以点到焦点的距离与点到其准线的距离相等，即. 3.B　由题意可设抛物线的标准方程为y2＝mx（m≠0），则（－）2＝m，解得m＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x. 4.C　点P到抛物线的准线的距离等于点P到抛物线焦点F（1，0）的距离.圆心坐标是（0，4），圆心到抛物线焦点的距离为，即圆上的点Q到抛物线焦点的距离的最小值是－1. 5.AC　若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为y2＝mx（m≠0），因为抛物线经过点P（4，－2），所以（－2）2＝4m，解得m＝1，所以抛物线的标准方程为y2＝x.若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为x2＝ny（n≠0），因为抛物线经过点P（4，－2），所以42＝－2n，解得n＝－8，所以抛物线的标准方程为x2＝－8y.故选A、C. 6.BD　抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，B满足，A不满足；易知抛物线开口向右，焦点坐标为（，0），C不满足；设M（1，y0）是抛物线y2＝10x上一点，F为焦点，则｜MF｜＝1＋＝1＋＝，所以D满足. 7.3　解析：由题意得m＋1＝22，解得m＝3. 8.（－6，6）或（－6，－6） 解析：由方程y2＝－12x，知焦点F（－3，0），准线l：x＝3.设所求点为P（x，y），则由抛物线定义知｜PF｜＝3－x.又｜PF｜＝9，所以3－x＝9，x＝－6，代入y2＝－12x，得y＝±6.所以所求点的坐标为（－6，6）或（－6，－6）. 9.2　解析：易知直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线，如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为PF的长度，其中F（1，0）为抛物线y2＝4x的焦点.由图可知，距离之和的最小值即F到直线l1的距离d＝＝2. 10.解：（1）双曲线方程可化为－＝1，左顶点为（－3，0）， 由题意设抛物线方程为y2＝－2px（p＞0）且＝－3， ∴p＝6，∴抛物线的方程为y2＝－12x. （2）设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px（p≠0），A（m，－3）， 由抛物线定义得5＝｜AF｜＝｜m＋｜. 又（－3）2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9， 故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x. 11.D　依题意可知，点M到点F的距离等于点M到直线x＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p＝8，顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，所以其方程为y2＝16x.故选D. 12.ACD　对于A，抛物线的准线方程为x＝－＝－1，故A正确；对于B，设P（x0，y0），则x0≥0，＝4x0，F（1，0），则｜PF｜＝＝x0＋1≥1，当x0＝0时取得最小值，此时P（0，0）在原点，故B错误；对于C，A在抛物线外部，故当P，A，F三点共线时｜PA｜＋｜PF｜取得最小值，为｜AF｜＝＝，故C正确； 对于D，过点P作准线的垂线，垂足为Q，设P（m，n），线段PF的中点为B（x1，y1），可得x1＝（1＋m），由抛物线的定义，得｜PF｜＝｜PQ｜＝m＋1，∴x1＝｜PF｜，即点B到y轴的距离等于以PF为直径的圆的半径，因此，以PF为直径的圆与y轴相切，故D正确.故选A、C、D. 13. 　解析：因为抛物线上一点到焦点的距离等于，根据抛物线上一点到焦点的距离等于它到准线的距离，准线方程为，所以点到准线的距离为。设点的横坐标为，则，即，解得。把代入抛物线方程，得到，因为点在第一象限，所以。故点的坐标为。. 14.解：（1）抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－， 于是4＋＝5，p＝2， 所以抛物线的方程为y2＝4x. （2）由题意得A（4，4），B（0，4），M（0，2）. 又F（1，0），所以kAF＝， 则FA的方程为y＝（x－1）. 因为MN⊥FA，所以kMN＝－， 则MN的方程为y＝－x＋2. 解方程组 得所以N. 15.B　如图所示，易得F（2，0），过点P作PN⊥l，垂足为N.因为｜PM｜＝｜PF｜，｜PF｜＝｜PN｜，所以｜PM｜＝｜PN｜，所以｜MN｜＝｜PN｜.设P（，t），则｜t｜＝＋2，解得t＝±4，所以△PMF的面积为·｜t｜·｜MF｜＝×4×4＝8. 16.解：（1）设M（xM，yM），N（xN，yN），由抛物线的定义，得｜AM｜＋｜AN｜＝xM＋xN＋2a.又圆的方程为[x－（a＋4）]2＋y2＝16，将y2＝4ax代入，得x2－2（4－a）x＋a2＋8a＝0，∴xM＋xN＝2（4－a），∴｜AM｜＋｜AN｜＝8. （2）不存在.假设存在这样的a，使得2｜AP｜＝｜AM｜＋｜AN｜.过点P作PP'垂直抛物线的准线，垂足为P'. ∵｜AM｜＋｜AN｜＝2｜PP'｜，∴｜AP｜＝｜PP'｜.由抛物线的定义知点P必在抛物线上，这与点P是线段MN的中点矛盾，∴这样的a不存在. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $