3.2.1双曲线及其标准方程同步练--2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学《3.2.1 双曲线及其标准方程》同步练，聚焦椭圆与双曲线核心概念，通过基础到综合的分层设计，实现从概念理解到问题解决的知识巩固，培养数学眼光、思维与语言表达能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|椭圆离心率、定义、焦点等单一知识点|单选题1-7直接考查概念辨析与基础运算，如离心率计算| |综合应用|双曲线方程判断、焦点三角形等综合考点|多选题8-9结合参数讨论曲线类型，填空题10-13强化定义应用| |拓展提升|椭圆标准方程推导、最值问题等能力考点|解答题15-16融合方程推导与实际应用，培养逻辑推理与建模能力|

3.2.1 双曲线及其标准方程 同步练习 （附解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________ 一、单选题 1．椭圆的离心率为，则（    ） A．8 B．2或8 C．4或8 D．8或12 2．已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 3．，是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则的最大值是（   ） A．4 B．5 C．2 D．1 4．地球运行的轨道是长半轴长为 km，离心率为0.02的椭圆，太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最近距离（   ） A． km B． km C． km D． km 5．已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆，其一个顶点是，一个焦点是，以下为椭圆顶点的是（   ） A． B． C． D． 6．比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 7．下列椭圆中，形状最接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．关于方程，下列说法正确的有（    ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线 D．若方程表示双曲线，则或 9．当变化时，指出方程表示的曲线的形状（    ）． A．当时，表示轴 B．当时，方程表示以原点为圆心的单位圆 C．当或时，方程表示双曲线 D．当且时，方程表示椭圆 三、填空题 10．已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________． 11．设是双曲线的左､右焦点，若点在双曲线上，且，则__________. 12．双曲线的左右焦点分别为，，已知点在双曲线上，满足，，则____________. 13．已知地球运行的轨道是椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，若地球到太阳的最大和最小距离分别为，，则这个椭圆的离心率为______． 四、解答题 14．求适合下面条件的椭圆的标准方程：长轴长等于20，离心率等于． 15．已知点，分别是椭圆：的左、右顶点，且的离心率为． (1)求的方程； (2)若点P是上与，不重合的点，直线，与直线分别交于点G，H，求的最小值． 16．（1）椭圆的定义是“动点到两个定点的和为定值的点的轨迹”.如果椭圆的焦点分别为，，长轴长为，请根据该定义，推导椭圆标准方程； （2）设为（1）中椭圆上一点，当最大时，求点坐标. 《3.2.1� �双曲线及其标准方程》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C A A D D ABD 题号 9 答案 BCD 1．B 【知识点】由椭圆的离心率求参数的取值范围 【分析】分焦点在轴与轴两种情况讨论，分别确定，，再由离心率公式得到方程，解得即可. 【详解】当焦点在轴时，，则，， 所以，解得. 当焦点在轴时，，则，， 所以，解得. 所以或, 故选：B． 2．A 【知识点】求平面轨迹方程、双曲线定义的理解 【分析】根据圆锥曲线的定义判断即可. 【详解】由题意可知， 因为， 所以点的轨迹是双曲线的一支. 3．C 【知识点】数量积的坐标表示、求椭圆的焦点、焦距、椭圆中x、y的取值范围 【分析】由题意表示出点的坐标，利用向量数量积的坐标表示，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】由椭圆，则，即，所以， 设，则，，， 由在椭圆上，则，即， 易知，所以的最大值为. 故选：C. 4．A 【知识点】根据椭圆的有界性求范围或最值、求椭圆的长轴、短轴、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】由题意求出，得到，得到答案. 【详解】由题意得，由离心率可得， 所以，则地球到太阳的最近距离为 km. 故选：A 5．A 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的顶点坐标 【分析】依题意求出椭圆所有顶点坐标判断选项即可. 【详解】椭圆的一个顶点是，一个焦点是，椭圆的焦点在轴上， 设椭圆方程为，则有，得， 所以椭圆左顶点为，右顶点为，下顶点为，上顶点为， 只有A选项符合. 6．D 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 【分析】计算出各选项中椭圆的离心率后，比较离心率大小，借助离心率越小椭圆越接近于圆判断即可得. 【详解】椭圆离心率； 对于椭圆 ，其离心率， 对于椭圆 ，则离心率， 对于椭圆 ，离心率， 对于椭圆 ，离心率， 因为，所以， 离心率越小椭圆越接近于圆，因为选项D的椭圆离心率最小，所以更接近于圆. 7．D 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 【分析】利用椭圆离心率公式逐项求解，然后利用离心率的性质分析即可. 【详解】对于A，， 所以椭圆离心率为， 对于B，， 所以椭圆离心率为， 对于C，， 所以椭圆离心率为， 对于D，， 所以椭圆离心率为， 因为，所以D选项中椭圆离心率最小， 由椭圆性质知，离心率越小，越接近于圆，故D正确. 8．ABD 【知识点】等轴双曲线、根据方程表示双曲线求参数的范围、双曲线的方程与双曲线（焦点）位置的特征 【分析】根据题意，结合双曲线的标准方程及双曲线的性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以A正确； 对于B，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以B正确； 对于C，若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解； 若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解， 综上可得，不存在实数使得方程表示等轴双曲线，所以C错误； 对于D，若方程表示双曲线，则满足， 解得或，所以D正确. 9．BCD 【知识点】判断方程是否表示椭圆、判断方程是否表示双曲线 【分析】根据圆，椭圆，双曲线的方程特征，依次分析各选项即可得答案. 【详解】对于A，当时，方程为，即，表示轴，故错误； 对于B，当时，方程为，表示以原点为圆心的单位圆，故正确； 对于C，当时，，故方程为，表示双曲线； 当时，，故方程为，表示双曲线，故正确； 对于D，当且时，方程为， 当时，，方程表示焦点在轴上的椭圆； 当时，，方程表示焦点在轴上的椭圆，故正确. 10． 【知识点】利用双曲线定义求方程 【详解】由题意，点的轨迹是以为焦点的双曲线的上支，其方程形如 其中，则， 故点的轨迹方程为. 11． 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】根据双曲线定义，可得，即可求出的值，检验的值，根据两边之和大于第三边，即可得答案. 【详解】因为在上，所以， 又，则，所以， 所以，即或， 解得或， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 所以. 故答案为： 12．2 【知识点】利用双曲线定义求方程、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】先由题设和双曲线定义求出，接着由勾股定理求出，再由即可求解. 【详解】由题可得， 又，所以， 所以. 故答案为：2    13．0.02/ 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、星体运行轨道问题 【分析】根据椭圆的性质求椭圆参数，应用离心率公式求离心率. 【详解】设该椭圆的长轴长为2a，焦距为2c， 由题意，得，，解得，， 所以这个椭圆的离心率． 故答案为：0.02 14．或 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】根据椭圆的长轴长，离心率及椭圆的定义即可求解． 【详解】设椭圆的半焦距为c，由题意得，解得， 所以椭圆的标准方程为或． 15．(1) (2) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）根据椭圆的性质，结合已知条件求出，进而求出椭圆方程； （2）根据椭圆的性质，利用几何法求出，求出表达式，构造函数并求导，分析函数单调性及最小值，进而求出的最小值． 【详解】（1）由题意，点，分别是椭圆左、右顶点，，故，得， 离心率，故，则， 故的方程为：． （2）由（1）知，，设在椭圆上，且， 则， 直线与交于点，则，解得， 直线与交于点，则，解得， 故， ，故， 又， 故， 令，求导得， 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增； 故在处取得最小值， ， 故， 当时，，即时，取得最小值，最小值为． 16．（1）设为椭圆上任意一点，根据椭圆的定义知， 即， ， 移项平方得：， 整理得：. 两边平方得：， 整理得：. 因为，设，于是得. 两边同除以，得椭圆方程为. （2） 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）根据椭圆的定义列式，化简即可； （2）结合椭圆的定义及余弦定理可得解. 【详解】（1）略 （2）在中，设，，，. 则 ， 当且仅当，即时，. 此时最大，此时点坐标为. 则，． ． 即当直线l的斜率不存在时，不符合要求． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为（）． 联立，消去得， 则， 设，， 所以，， 则 ， 则， 则， 整理得，解得（舍去）． 所以直线过定点． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $