3.2.2 双曲线的简单几何性质（七大题型）训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.2 双曲线的简单几何性质 题型一 求双曲线的焦点坐标 1．双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得，进而求得焦点坐标. 【详解】因为，，所以，得， 焦点在轴上， 所以焦点坐标为. 故选：A 2．已知双曲线，则（   ） A．的焦点坐标为 B．的实半轴长为4 C．的离心率 D．的渐近线的方程是 【答案】BCD 【分析】根据双曲线的性质，由双曲线方程求出，进而得出焦点坐标，判断选项A，B，求出离心率判断选项C，求出渐近线方程，判断选项D． 【详解】 已知双曲线，即， 则，解得，，解得，，故， 焦点坐标为，故A错误； 实半轴长为，故B正确； 离心率，故C正确； 渐近线方程为，即，故D正确． 故选：BCD． 3．反比例函数的图像是双曲线，则这个双曲线的一个焦点坐标为_____． 【答案】（或） 【分析】结合双曲线性质，计算双曲线的半实轴长及半虚轴长即可得其半焦距，即可得其焦点坐标. 【详解】由双曲线的渐近线为轴与轴，对称轴为，且其焦点在上， 联立方程，解得或， 即其两顶点坐标分别为，，可知其实半轴长为， 且双曲线的渐近线相互垂直，可知双曲线为等轴双曲线， 故其虚半轴长为4，可知其半焦距为， 故其焦点坐标分别为，. 故答案为：（或）. 4．已知双曲线 (1)求双曲线C的焦点坐标、渐近线方程和离心率； (2)已知为坐标原点，若直线与双曲线交于A，B两点，求的面积. 【答案】(1)焦点坐标为，渐近线方程为，离心率 (2) 【分析】（1）方程化为双曲线标准方程，得到即可求解； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理可得弦长，再由点到直线距离得高，即可求出面积. 【详解】（1）由题意，知双曲线的标准方程为， 所以，故， 所以双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为，离心率. （2）联立双曲线与直线的方程，化简得. 设，则， 利用弦长公式，得. 因为点到直线的距离为， 所以. 题型二 求双曲线的焦距 5．已知双曲线：的离心率为，则的焦距为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知双曲线：，则或. 当焦点在轴上时：此时，实半轴平方，虚半轴平方， 半焦距平方，离心率， 已知，则，与冲突，故不成立； 当焦点在轴上时：此时，此时方程可化为， 实半轴平方，虚半轴平方， 半焦距平方， 离心率， 满足，故半焦距，则焦距为，B正确. 6．已知双曲线，则（    ） A． B．C的焦点在x轴上 C．C的焦距为2 D．C的渐近线不可能互相垂直 【答案】AB 【详解】A选项，由题意得，解得，A正确； B选项，由A知，，故，，故焦点在x轴上，B正确； C选项，因为，所以，故C的焦距为，C错误； D选项，当，即时，C的渐近线方程为，两条渐近线互相垂直，D错误. 7．若双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的焦距为_______． 【答案】 【详解】双曲线的渐近线方程为，则，得， 则，故该双曲线的焦距为. 8．已知双曲线：（，）的虚轴长为2，且点在双曲线上. (1)求双曲线的焦距. (2)已知，分别为双曲线的左、右顶点，直线：与双曲线交于，（异于点，）两点，直线与直线交于点. ①若，且的面积是，求直线的方程. ②试问点是否在定直线上？若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②点在定直线上. 【分析】（1）由题知，进而解方程并根据求解即可； （2）①设，，进而联立方程得或，且，，再根据解方程即可得答案； ②根据题意求得直线、直线的方程，进而联立方程，并结合韦达定理得即可得到点在定直线上. 【详解】（1）解：（1）由题意可得，解得，， 所以双曲线的标准方程为：， 所以双曲线的焦距为. （2）    解：由（1）知，设，， 由得， 则即或，且，. ①因为的面积是，直线与轴交点坐标为 所以， 所以， 即，解得或. 因为，所以，所以， 则直线的方程为，即. ②由题意可知，， 则直线的方程为，直线的方程为， 所以. 因为，，所以， 所以， 所以，则点在定直线上. 题型三 求共焦点的双曲线方程 9．过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的标准方程可求焦点坐标为，根据焦点坐标及点可求双曲线的方程. 【详解】椭圆的标准方程为，故，可得焦点坐标为. 设双曲线的方程为， 故，解得， 故双曲线的标准方程为. 故选:A. 10．过点且与椭圆有相同焦点的圆锥曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法和双曲线的简单性质和双曲线的标准方程，考查计算能力．求出椭圆的焦点坐标，设出方程利用圆锥曲线经过的点，求解即可． 【详解】解：椭圆的焦点，可得， 设椭圆的方程为， 可得，， 解得，， 所求的椭圆方程为 设双曲线的方程为：， 可得，， 解得，， 所求的双曲线方程为． 故选：BC 11．与椭圆共焦点且过的双曲线方程为____________． 【答案】 【分析】由题意可得椭圆的焦点为从而得双曲线的焦点为设所求双曲线的方程为，代入点坐标，结合，求解即可. 【详解】因为在椭圆中， 所以， 所以椭圆的焦点为 所以所求双曲线的焦点也为 设所求双曲线的方程为， 则有， 解得， 所以所求双曲线方程为. 故答案为： 12．已知双曲线C与椭圆有相同的焦点，是C上一点. (1)求双曲线C的方程； (2)记C的右顶点为M，与x轴平行的直线l与C交于A，B两点，求证：以AB为直径的圆过点M. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设出双曲线标准方程，由共焦点得a2+b2=6，再将点代入标准方程联立即可求解； （2）要证以AB为直径的圆过点M，即证AM⊥BM，设直线l为y=m（m≠0），结合双曲线方程求出，证明即可. 【详解】（1）由已知设双曲线C的方程为， 由已知得a2+b2=12-6=6，且， 解得a2=b2=3，∴双曲线C的方程为； （2）证明：设直线l的方程为y=m（m≠0）， 与x2-y2=3联立解得或， 不妨设， 由（1）知点， ∴AM，BM的斜率分别为， ， 所以AM⊥BM， 故以AB为直径的圆过点M. 题型四 双曲线中x、y的取值范围 13．已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分，，和四种情况讨论，然后画出图象，结合图象求解即可. 【详解】解：根据题意，对于方程， 当时，原方程为，为椭圆在第一象限的部分； 当时，原方程为，为双曲线在第四象限的部分； 当时，原方程为，为双曲线在第二象限的部分； 当时，原方程无解，曲线在第三象限没有图象， 记，变形可得，则的几何意义是直线纵截距的2倍， 由图知，，当直线与四分之一椭圆相切时，取最大值， ，而，当且仅当时等号成立， 则有，变形可得， 则有，当且仅当时等号成立， 即的取值范围为． 故选：B．    14．已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与交于另一点，的中点为，为坐标原点，则下列说法错误的是（    ） A．存在点，使得直线的斜率为2 B．存在点，使得 C．存在点，使得 D．存在点，使得点的横坐标为 【答案】ABD 【分析】对于A，找到渐近线斜率即可判断；对于B，利用，求出A点的横坐标，然后结合条件检验即可判断；对于C，将转化成两点间距离公式，求出A点的横坐标在符合题目范围内即可判断；对于D，利用点差法得，进而判断出不存在点使得等式成立. 【详解】设点，，，， 由题知离心率，解得， 故有，双曲线C的渐近线为， 对于A选项，如果存在点，使得直线的斜率为2， 直线与渐近线平行，不会与双曲线有两个交点，故A错误； 对于B选项： ，，若，即， 可得，即：（①）， 而位于双曲线右支上，其中， 故有：，即：（②）， 联立①②两个等式可得：，又，此时，由选项A可知不合题意，故B选项错误； 对于C选项：由，即：，化简得：，由点在的右支上可知：，故存在点，使得，故C选项正确； 对于D选项：设，，， 而，带入化简得：，而， 故，可知不存在这样的点M使等式成立， 故不存在点，使得点的横坐标为，故D选项错误. 下面为证明：， 的中点为，根据中点坐标公式可知，故， ，故， 而，两点均位于双曲线上，故： （③） （④），用③减④得：， 化简得，故，证毕. 故选：ABD 15．在双曲线中，的取值范围是______． 【答案】 【分析】化简双曲线方程，求出值，即可得到答案. 【详解】由双曲线，可得：，所以，则，故的取值范围是， 故答案为： 16．设第一象限的点是双曲线上的一点，已知C的一条渐近线的方程是． (1)求b的值，并证明：； (2)若直线和曲线C相交于E，F两点，求． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据渐近线方程可得，进而根据分析法即可求解， （2）联立方程，由韦达定理以及弦长公式即可求解. 【详解】（1）的渐近线方程为，故， 双曲线方程为，在双曲线上，所以， 要证，只需证， 由于，若，即时，，显然成立， 若，即时，只需要证明，即证， 因此只需要证明，而，故成立， 因此 （2）联立直线与双曲线方程， 设，则，所以由弦长公式得：， 题型五 根据双曲线中x、y的范围求范围或最值 17．已知双曲线的离心率为，左、右焦点为，，为双曲线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件求出双曲线方程和焦点坐标，然后表示出，结合的范围求出最小值即可. 【详解】双曲线的离心率为. ，解得， 又，. 设点， 则且. . 的最小值为. 故选： 18．已知是双曲线的右焦点，为右支上一点，则（    ） A．双曲线的虚轴长为 B．（为坐标原点） C．双曲线的渐近线方程为 D．为圆上一点，的最小值为1 【答案】ABD 【分析】A利用之间的关系求出；B根据右顶点是的中点可判断；C渐近线方程为；D将转化为，再结合双曲线的定义即可. 【详解】由题意知，，则，虚轴长为，A项正确； 易知右顶点是的中点，当点在右支上运动时，有，B项正确； 双曲线的渐近线方程为，C项错误； 易知为双曲线的左焦点，则， 则，D项正确． 故选：ABD 19．已知曲线：，则曲线上的点到距离的最小值为__________． 【答案】 【分析】根据题意得，再结合距离公式，二次函数最值求解即可. 【详解】由题意知，， 令，则，令 由于函数在均为单调递增函数， 所以函数在上单调递增， 因为，所以的根为，即， 所以曲线的方程为， 所以曲线上的点到距离满足： ， 当且仅当时等号成立， 所以，即曲线上的点到距离的最小值为 20．已知双曲线过点，一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若点为双曲线左支上一点，，求的最小值； (3)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，求证：为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意列方程组，即可求得答案； （2）设，，表示出，结合二次函数性质可得答案； （3）讨论直线斜率是否存在，存在时，设直线方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系，求出的表达式，化简即可证明结论. 【详解】（1）因为双曲线过点，一条渐近线方程为， 所以，解得， 则双曲线的标准方程为； （2）因为点为双曲线左支上一点， 设，，则，即，又因为， 所以， 因为，， 则时，取得最小值. （3）证明：当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 此时可取，，则； 当过点的直线斜率存在时， 设直线方程为，，，不妨设，， 因为直线过双曲线的右焦点，且双曲线的一条渐近线方程为， 则或， 联立，消去并整理得， 所以， 由韦达定理得， 所以 . 综上所述，为定值. 题型六 判断点和双曲线的位置关系 21．已知双曲线方程下列说法中正确的有（    ） A．焦点坐标 B．该双曲线的图象过点 C．焦距为10 D．双曲线上存在点P，使得且 【答案】C 【分析】由双曲线的标准方程及性质依次判断4个选项即可. 【详解】易知焦点坐标在轴上，由，焦点坐标为，A错误； ，B错误； 由上知，焦距为，C正确； 若，则重合，显然不在双曲线上，D错误. 故选：C. 22．已知点，点是双曲线：左支上的动点，为其右焦点，是圆：上的动点，直线交双曲线右支于（为坐标原点），则（    ） A．过点作与双曲线有一个公共点的直线恰有条 B．的最小值为 C．若的内切圆与圆外切，则圆的半径为 D．过作轴垂线，垂足为（与不重合），连接并交双曲线右支于，则（为直线斜率，为直线斜率） 【答案】BD 【分析】根据点的位置可确定与双曲线有一个公共点的直线条数，知A错误； 根据，，结合双曲线定义可知B正确； 设圆，由两圆外切可构造方程求得圆的半径，知C错误； 设，可求得，，从而将化为，利用基本不等式可求得D正确. 【详解】 对于A，双曲线的渐近线方程为，点在双曲线外， 过可作平行于渐近线的两条直线与双曲线有且仅有一个交点； 又过可作双曲线的两条切线，与双曲线有且仅有一个交点， 过点作与双曲线有一个公共点的直线恰有条，A错误； 对于B，由双曲线方程知其焦点为，圆的圆心为双曲线的左焦点， ； （当且仅当三点共线时取等号）， （当且仅当三点共线时取等号）， ，B正确； 对于C，由双曲线焦点三角形性质可知：的内切圆的圆心必在上， 可设，则圆的半径为， 圆与圆相外切，，解得：， 即的内切圆的半径为，C错误； 对于D，设，，，则，，， ； 又，， ，D正确. 故选：BD. 23．已知双曲线，，左右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于，两点. (1)若直线双曲线交于，两点，为上任意一点，且直线，的斜率存在，分别记为，，若，求的值； (2)若，为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若点在第一象限，连接，直线交双曲线于另一点，若，求双曲线的离心率取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)根据题意设，分别表示为，，对化简，再，在双曲线上代入计算即可； (2)分三角形三边分别为底讨论即可； (3)设直线，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可. 【详解】（1）设，则，所以，， 所以， 又因为，在双曲线上， 所以，，，解得，， 所以， 所以，，所以； （2）当时，双曲线，其中，，因为为等腰三角形， 则①当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去； ②当以为底时，，由双曲线性质知，矛盾，舍去； ③为底，，设，其中，， 则有，解得，即； 综上所述：； （3）由题知，，当直线的斜率为0时，此时，不合题意， 则，则设直线，设点，， 根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知， 联立有，整理得：， 因为点在第一象限，所以，所以二次项系数， 其中， ①，②， ，，则， 因为，在直线上， 则，，即， 即， 将①②代入有， 即化简得， 所以，代入到，得， 所以，又因为，则， 所以，，，. 题型七 双曲线的对称性 24．已知双曲线的离心率为过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点．设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由双曲线的离心率为，得，解得， 该双曲线右焦点为，依题意，点为线段的中点， 取双曲线的一条渐近线， 所以. 25．已知曲线：，则（   ） A．曲线上任一点到原点的距离的最小值为 B．曲线恰有八条对称轴 C．过点的任意一条直线与曲线的公共点个数均为偶数 D．曲线所围成的封闭图形的面积满足 【答案】ABD 【分析】首先由条件确定曲线为或，画出曲线的图象，结合双曲线的对称性和性质，直线与双曲线的交点个数问题，判断选项. 【详解】由曲线可知，或， 即或或或， 如图，分别画出曲线的图象， 这4个双曲线都关于轴，轴，和对称， 如图，还有过两个曲线交点且过原点的直线也是对称轴，所以曲线有8条对称轴，故B正确； 根据对称性可知，双曲线的顶点到原点的距离最小， 不妨研究落在轴正半轴的顶点到原点的距离，时，，即， 此时顶点到原点的距离为，所以曲线上任一点到原点的距离的最小值为，故A正确； 如图，当过点的直线与的左支相切时，此时有5个交点，分别是与有2个交点， 与有2个交点，还有1个切点，共5个交点，为奇数，故C错误； 如图，根据对称性，以原点为圆心以为半径的圆在封闭图形的内部，此时圆的面积为， 设与在第一象限的交点为，， 如图，连接与的交点，得到正八边形， 正八边形的面积为，封闭图形在正八边形的内部， 所以，故D正确. 26．已知和分别为双曲线的左顶点和左焦点，B，C两点在上，，若，则__________． 【答案】/8.5 【分析】由斜率关系推出B，C两点关于轴对称，再结合双曲线的定义即可求解. 【详解】由题意得即， ，所以在的左支上，设， 所以有， 且根据题设条件知，所以， 由双曲线的对称性可知B，C两点关于轴对称， 所以， 即，解得， 27．在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足直线与 的斜率之积为，记的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)曲线上两点满足，且四边形的面积为12，求 的值． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）由题意列出方程，化简即得的方程； （2）结合图形由推得，继而推出，设直线的方程为，与双曲线方程联立，求出点的坐标，由对称性得点的坐标，由四边形的面积为12列出方程，解之求得的值，继而可求出 的值. 【详解】（1）依题意，可得，化简得， 故的方程为. （2） 如图，因，依题意，，故得， 则四边形为平行四边形.因直线得斜率必存在，故可设其斜率为， 则直线的方程为，代入双曲线方程， 整理得：，则， 由，可得，将其代入，解得， 即得， 由上已得，故点与点关于原点对称，故点的坐标为. 又因四边形的面积 ，解得或. 而， 故当时，； 当时，. 综上，可得 的值为10. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2 双曲线的简单几何性质 题型一 求双曲线的焦点坐标 1．双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．已知双曲线，则（   ） A．的焦点坐标为 B．的实半轴长为4 C．的离心率 D．的渐近线的方程是 3．反比例函数的图像是双曲线，则这个双曲线的一个焦点坐标为_____． 4．已知双曲线 (1)求双曲线C的焦点坐标、渐近线方程和离心率； (2)已知为坐标原点，若直线与双曲线交于A，B两点，求的面积. 题型二 求双曲线的焦距 5．已知双曲线：的离心率为，则的焦距为（     ） A． B． C． D． 6．已知双曲线，则（    ） A． B．C的焦点在x轴上 C．C的焦距为2 D．C的渐近线不可能互相垂直 7．若双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的焦距为_______． 8．已知双曲线：（，）的虚轴长为2，且点在双曲线上. (1)求双曲线的焦距. (2)已知，分别为双曲线的左、右顶点，直线：与双曲线交于，（异于点，）两点，直线与直线交于点. ①若，且的面积是，求直线的方程. ②试问点是否在定直线上？若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由. 题型三 求共焦点的双曲线方程 9．过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 10．过点且与椭圆有相同焦点的圆锥曲线方程为（    ） A． B． C． D． 11．与椭圆共焦点且过的双曲线方程为____________． 12．已知双曲线C与椭圆有相同的焦点，是C上一点. (1)求双曲线C的方程； (2)记C的右顶点为M，与x轴平行的直线l与C交于A，B两点，求证：以AB为直径的圆过点M. 题型四 双曲线中x、y的取值范围 13．已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与交于另一点，的中点为，为坐标原点，则下列说法错误的是（    ） A．存在点，使得直线的斜率为2 B．存在点，使得 C．存在点，使得 D．存在点，使得点的横坐标为 15．在双曲线中，的取值范围是______． 16．设第一象限的点是双曲线上的一点，已知C的一条渐近线的方程是． (1)求b的值，并证明：； (2)若直线和曲线C相交于E，F两点，求． 题型五 根据双曲线中x、y的范围求范围或最值 17．已知双曲线的离心率为，左、右焦点为，，为双曲线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 18．已知是双曲线的右焦点，为右支上一点，则（    ） A．双曲线的虚轴长为 B．（为坐标原点） C．双曲线的渐近线方程为 D．为圆上一点，的最小值为1 19．已知曲线：，则曲线上的点到距离的最小值为__________． 20．已知双曲线过点，一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若点为双曲线左支上一点，，求的最小值； (3)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，求证：为定值. 题型六 判断点和双曲线的位置关系 21．已知双曲线方程下列说法中正确的有（    ） A．焦点坐标 B．该双曲线的图象过点 C．焦距为10 D．双曲线上存在点P，使得且 22．已知点，点是双曲线：左支上的动点，为其右焦点，是圆：上的动点，直线交双曲线右支于（为坐标原点），则（    ） A．过点作与双曲线有一个公共点的直线恰有条 B．的最小值为 C．若的内切圆与圆外切，则圆的半径为 D．过作轴垂线，垂足为（与不重合），连接并交双曲线右支于，则（为直线斜率，为直线斜率） 23．已知双曲线，，左右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于，两点. (1)若直线双曲线交于，两点，为上任意一点，且直线，的斜率存在，分别记为，，若，求的值； (2)若，为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若点在第一象限，连接，直线交双曲线于另一点，若，求双曲线的离心率取值范围. 题型七 双曲线的对称性 24．已知双曲线的离心率为过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点．设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和（    ） A． B． C． D． 25．已知曲线：，则（   ） A．曲线上任一点到原点的距离的最小值为 B．曲线恰有八条对称轴 C．过点的任意一条直线与曲线的公共点个数均为偶数 D．曲线所围成的封闭图形的面积满足 26．已知和分别为双曲线的左顶点和左焦点，B，C两点在上，，若，则__________． 27．在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足直线与 的斜率之积为，记的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)曲线上两点满足，且四边形的面积为12，求 的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $