3.2.2双曲线的简单几何性质（一）同步练习--2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，以基础巩固-综合辨析-拓展应用为梯度，覆盖双曲线几何性质核心知识点，通过概念理解、性质辨析、综合应用三阶设计，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|双曲线焦距、实轴长、渐近线等基本量|单选题1-7、填空题10-13直接考查概念，如第1题求焦距，第10题求实轴长，夯实基础认知| |提升层|双曲线与椭圆综合、性质辨析|多选题8-9辨析双曲线实轴、焦点、渐近线关系，解答题14求共焦点双曲线方程，强化知识关联| |拓展层|直线与双曲线位置关系、轨迹方程|解答题15结合弦长计算，16融入向量求轨迹，体现几何直观与数学建模，适配能力提升需求|

3.2.2 双曲线的简单几何性质（一） 同步练习（附解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 2．设点是双曲线上的动点，定点，则的最小值为（    ） A． B．3 C．12 D． 3．已知为双曲线上一动点，过原点的直线交双曲线于，两点，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知，为双曲线C：的左右焦点，点M的坐标为，若为直角三角形，则双曲线C的离心率是（   ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的焦点与双曲线的顶点重合，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．已知，且，双曲线与，则下列结论错误的是（   ） A．它们的实轴长相等 B．它们的焦点相同 C．它们的离心率相等 D．它们的渐近线相同 9．已知双曲线：，则（     ） A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的虚轴长为 C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线的斜率为 三、填空题 10．双曲线的实轴长为_______________． 11．已知椭圆和双曲线共焦点；则的值为______． 12．与椭圆共焦点且过的双曲线方程为____________． 13．记双曲线斜率为正的渐近线为，则虚轴的上端点到的距离为________． 四、解答题 14．求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程. (1)中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点两点的椭圆； (2)与双曲线有公共焦点且经过点的双曲线； 15．如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，求： (1)双曲线的焦点的坐标； (2)直线的方程； (3)求. 16．已知向量，，点，.直线，的方向向量分别为，，其中，记动点的轨迹为 (1)求的方程； (2)已知，求的取值范围 《3.2.2 双曲线的简单几何性质 同步练习（附解析）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B A B B D BD 题号 9 答案 ABD 1．D 【知识点】求双曲线的焦距 【分析】根据双曲线标准方程可得，即可求出焦距. 【详解】由题意知，可得，则, 所以双曲线的焦距为. 故选：D. 2．A 【知识点】数量积的坐标表示、根据方程表示双曲线求参数的范围、双曲线中x、y的取值范围 【分析】由数量积的定义可得，结合点在双曲线上可得，且，由此可求结论. 【详解】因为，，， 所以，， 所以， 因为点是双曲线上的动点， 所以或，， 所以，当且仅当时等号成立， 所以当点的坐标为或时，取最小值，最小值为， 故选：A. 3．B 【知识点】数量积的坐标表示、根据双曲线中x、y的范围求范围或最值 【分析】由已知可得，再根据向量数量积公式化简，结合点在双曲线上，可得最值. 【详解】设，且，即， 又直线过原点，且双曲线关于坐标原点对称， 可得与关于坐标原点对称， 则， 所以，， 即， 又， 即的最小值为， 故选：B. 4．A 【知识点】双曲线的对称性、双曲线定义的理解 【分析】由双曲线的对称性及为直角三角形，可得再用勾股定理可得离心率的值. 【详解】因为点M在y轴上，由双曲线对称性可知，又因为为直角三角形， 所以，，， ，， 由勾股定理，得，即， 又因为代入得，，， 所以. 故选：A 5．B 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的顶点坐标 【详解】双曲线的顶点为， 依题意，椭圆的焦点为， 则椭圆的半焦距为，半短轴长为， 因，则椭圆的离心率为． 6．B 【知识点】根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据条件求出，再求渐近线方程. 【详解】由题意可得，，得， 则该双曲线的渐近线方程为. 故选：B 7．D 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据顶点或实虚轴关系求参数 【分析】由实轴长为1可列方程求出参数的值，即可求得渐近线方程. 【详解】双曲线，即， 所以双曲线的实轴长为，则，解得， 所以，，双曲线的渐近线方程为． 故选：D. 8．BD 【知识点】判断两个双曲线共焦点、求双曲线的实轴、虚轴、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线的方程一一求出它们的实轴长、焦点位置、离心率和渐近线方程即可判断各选项． 【详解】对于A，由题意可知双曲线的长轴长均为，所以它们的实轴长相等，故A正确； 对于B，双曲线的焦点分别在轴和y轴上，所以它们的焦点不相同，故B错误； 对于C，双曲线的焦距均为，所以它们的离心率均为，即它们的离心率相等，故C正确； 对于D，双曲线的渐近线分别为和， 因为，所以它们的渐近线不相同，故D错误. 故选：BD 9．ABD 【知识点】求双曲线的实轴、虚轴、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【详解】由双曲线，得， 即， 所以双曲线的实轴长为，虚轴长为，离心率， 渐近线的斜率为，故A正确，B正确，C错误，D正确． 10．6 【知识点】求双曲线的实轴、虚轴 【分析】根据双曲线的标准方程和实轴的定义求解即可. 【详解】由知，，所以， 所以实轴长. 故答案为：6. 11．7 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求双曲线的焦点坐标 【分析】由椭圆和双曲线标准方程可求. 【详解】由题意，椭圆的焦点在轴， 所以，解得． 故答案为：7 12． 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程、求共焦点的双曲线方程 【分析】由题意可得椭圆的焦点为从而得双曲线的焦点为设所求双曲线的方程为，代入点坐标，结合，求解即可. 【详解】因为在椭圆中， 所以， 所以椭圆的焦点为 所以所求双曲线的焦点也为 设所求双曲线的方程为， 则有， 解得， 所以所求双曲线方程为. 故答案为： 13．/0.5 【知识点】求点到直线的距离、求双曲线的顶点坐标、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据双曲线方程求得其虚轴的上端点和渐近线方程，由点到直线的距离公式即可求得. 【详解】由：可得实半轴，虚半轴， 故：，即， 则双曲线虚轴的上端点到直线的距离为． 故答案为：． 14．(1) (2) 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据双曲线过的点求标准方程、求共焦点的双曲线方程 【分析】（1）由题意可得，，从而可求出椭圆的标准方程； （2）由题意设双曲线的方程为，则，再将的坐标代入方程，进而即得. 【详解】（1）因为椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点， 所以分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在轴上， 可设方程为， 所以，， 所以椭圆的标准方程为； （2）因为双曲线的焦点为， 可设双曲线的方程为，且， 将点代入曲线方程可得， 解得， 所以双曲线的标准方程为. 15．(1)，； (2)； (3). 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求双曲线的焦点坐标、求双曲线中的弦长 【分析】（1）根据双曲线方程确定双曲线参数，即可得焦点坐标； （2）根据已知和点斜式写出直线方程； （3）联立直线与双曲线，应用韦达定理和弦长公式求. 【详解】（1）由双曲线，即，则，故， 所以左焦点，右焦点； （2）由直线过且倾斜角为，则，所以； （3）联立，则，整理得， 其中，所以，， 则. 16．(1)； (2) 【知识点】求双曲线的轨迹方程、根据双曲线中x、y的范围求范围或最值 【分析】（1）利用向量的坐标运算，来求动点的轨迹； （2）利用两点间的距离公式，消元后求值域即可. 【详解】（1）设，则，， 由题意，，， 所以由直线，的方向向量分别为，， 即有：,, 所以有：，， 消去得点的轨迹方程：， 整理得：； （2）由题意， 由，所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $