3.1.2 椭圆的简单几何性质同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以椭圆几何性质为核心，通过基础认知、技能应用、综合探究三层设计，实现从概念理解到逻辑推理的递进，培养数学眼光与思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|焦点、焦距、方程判断|选择填空为主（题1-6），直接考查定义与基本量计算| |技能应用|范围、最值、位置关系|含计算与辨析（题7-18），如椭圆上点的坐标范围、点与椭圆位置判断| |综合探究|对称性、轨迹、定点证明|解答题为主（题19-27），结合几何直观与代数推理，如动圆圆心轨迹、直线过定点证明|

3.1.2 椭圆的简单几何性质 题型一 求椭圆的焦点、焦距 1．椭圆C:的一个焦点F坐标为（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．若定点，满足 ，动点P满足，则动点P的轨迹是椭圆 B．若定点，满足，动点M满足 ，则动点M的轨迹是椭圆 C．当时，方程表示椭圆 D．若动点M的轨迹方程为，则点M的轨迹是椭圆，且焦点坐标为 3．已知焦点在轴上的椭圆，其焦距为2，则的值等于________． 4．已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，连接和. (1)写出椭圆的长轴长，短轴长，焦距和的坐标； (2)求△的周长. 题型二 求共焦点的椭圆方程 5．与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 6．与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆的标准方程为______. 7．求符合下列条件的方程： (1)求过两点和，且圆心在轴上的圆的标准方程． (2)与椭圆有相同的焦点的椭圆，且经过点． 题型三 椭圆中x、y的取值范围 8．，是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则的最大值是（   ） A．4 B．5 C．2 D．1 9．已知椭圆，下列说法正确的有（   ） A．焦点坐标分别是、 B．椭圆长轴长为 C．椭圆上的点的横坐标的范围是 D．椭圆离心率为 10．已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为_____. 11．动圆与圆外切，同时与圆内切，为圆的任意一条直径. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)已知点为圆心的轨迹上任意一点，求的取值范围. 题型四 根据椭圆的有界性求范围或最值 12．已知P为曲线M：上的动点，，，，，则下列说法错误的是（   ） A． B．面积的最大值为 C．直线与的斜率之积为定值 D．当，时， 13．设椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于A，B两点，则（    ） A．椭圆的短轴长为 B．的周长为12 C．的最小值为 D．椭圆上不存在点P，使得 14．已知椭圆的左顶点为，为坐标原点，是椭圆上一点，在第二象限内.若，则直线的斜率取值范围是____________. 15．椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点，为椭圆上的两个不同的动点，线段的最小值为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线的斜率为，直线的斜率为． （i）若，在轴上方，且，求证：直线过定点； （ii）点，在运动过程中，是否存在某些位置使得且？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型五 点和椭圆的位置关系 16．点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 17．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B均在C上，其中，则（   ） A．椭圆C的长轴长为 B．椭圆C的离心率为 C．点在椭圆C内 D．的值可以是6 18．直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是___________. 19．已知椭圆，、两点分别为的上顶点、下顶点，点在直线上，且在第一象限，点在长轴上． (1)设是椭圆的右焦点，且，求的标准方程； (2)若点的坐标为，点的坐标为，请判断直线与直线的交点是否在椭圆上，并说明理由； (3)设点在直线上，为椭圆的左顶点，设直线、分别交椭圆于点、，若、关于原点对称，求的最小值． 题型六 椭圆的对称性 20．已知是椭圆的左焦点，经过坐标原点的直线与交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 21．在平面直角坐标系内，将椭圆绕坐标原点旋转得到椭圆，若点是椭圆上任意一点，则（   ） A．椭圆的对称轴为直线 B．的最大值为 C．椭圆的离心率为 D．椭圆的短轴长为4 22．已知椭圆的右焦点为，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于、两点（点在第二象限），若点关于轴对称点为，且满足，求直线的方程是______． 23．已知椭圆的长轴长为4，离心率为. (1)求椭圆的方程. (2)设分别为椭圆的上、下焦点，为椭圆上除上、下顶点外的一点，直线分别与椭圆交于另一点和，直线与椭圆交于另一点. （i）求面积的最大值； （ii）证明：直线过定点. 题型七 求椭圆的顶点坐标 24．已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，D为C的上顶点，O为坐标原点，E为C上一点，且位于第二象限，直线，分别与y轴交于点H，G.若D为线段的中点，G为线段的中点，则点E到x轴的距离为（   ） A． B． C． D． 25．已知椭圆的长轴长是离心率的两倍，为上任意一点，且原点为的对称中心，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．线段的中垂线不可能经过的顶点 26．已知椭圆的左右顶点分别为，若直角三角形的直角顶点为，点在上，点在直线上，且满足，则的面积为__________． 27．设椭圆的左右两个焦点分别为，，若点在椭圆上，且. (1)求椭圆的长轴长､短轴长､焦点坐标､顶点坐标､离心率； (2)求的面积； 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2 椭圆的简单几何性质 题型一 求椭圆的焦点、焦距 1．椭圆C:的一个焦点F坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆方程为，可得，，且； ； 又，. ，焦点在轴上，可得焦点坐标为； 椭圆的一个焦点F坐标为. 2．下列说法正确的是（    ） A．若定点，满足 ，动点P满足，则动点P的轨迹是椭圆 B．若定点，满足，动点M满足 ，则动点M的轨迹是椭圆 C．当时，方程表示椭圆 D．若动点M的轨迹方程为，则点M的轨迹是椭圆，且焦点坐标为 【答案】BD 【详解】对于A，若定点，满足，动点P满足 ， 则动点P的轨迹为以，为端点的线段，所以A选项不正确; 对于B，若定点，满足，动点M满足 ， 则由椭圆的定义，可得动点M的轨迹是以，为焦点的椭圆，所以B选项正确; 对于C，当 ，即时，方程表示圆，所以C选项不正确; 对于D，若动点M的轨迹方程为，则点M的轨迹是椭圆，且焦点在轴上. 其中，，可得，所以焦点坐标为，所以D选项正确. 3．已知焦点在轴上的椭圆，其焦距为2，则的值等于________． 【答案】 【分析】根据焦点在轴上的椭圆的方程特征，结合椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距之间的关系进行求解即可. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上， 所以，又因为焦距为2， 所以. 故答案为：7 4．已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，连接和. (1)写出椭圆的长轴长，短轴长，焦距和的坐标； (2)求△的周长. 【答案】(1)长轴长为，短轴长为，焦距为，坐标为 (2) 【详解】（1）因为椭圆方程为，所以，，所以， 所以，，，所以长轴长为，短轴长为，焦距为， 坐标为； （2）因为，两点在椭圆上，所以 ， ， 所以的周长为 . 题型二 求共焦点的椭圆方程 5．与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共焦点，设出椭圆方程，代入点的坐标，求出. 【详解】椭圆方程化为标准形式，设要求解的椭圆方程为：，将点代入得，解得：，所以，C正确. 故选：C 6．与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆的标准方程为______. 【答案】 【分析】设所求椭圆的标准方程为，由题意有，把点代入椭圆方程，求出即可. 【详解】所求椭圆与椭圆的焦点相同，则其焦点在y轴上，半焦距c有， 设它的标准方程为，于是得， 又点在所求椭圆上，即有， 联立两个方程得，解得，则， 所以所求椭圆的标准方程为. 故答案为： 7．求符合下列条件的方程： (1)求过两点和，且圆心在轴上的圆的标准方程． (2)与椭圆有相同的焦点的椭圆，且经过点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设所求圆的标准方程为：，代入，，求解即可. （2）求出椭圆的焦点坐标，利用待定系数法求得的值，即得答案． 【详解】（1）设所求圆的标准方程为：， 依题意得，即， 解得， 所以所求圆的方程为：. （2）椭圆的焦点坐标为， 则所求椭圆的焦点坐标也为， 设其方程为，则， 又椭圆经过点，故，联立， 解得， 故椭圆方程为． 题型三 椭圆中x、y的取值范围 8．，是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则的最大值是（   ） A．4 B．5 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由题意表示出点的坐标，利用向量数量积的坐标表示，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】由椭圆，则，即，所以， 设，则，，， 由在椭圆上，则，即， 易知，所以的最大值为. 故选：C. 9．已知椭圆，下列说法正确的有（   ） A．焦点坐标分别是、 B．椭圆长轴长为 C．椭圆上的点的横坐标的范围是 D．椭圆离心率为 【答案】BD 【分析】求出椭圆的焦点坐标，可判断A选项的正误；求出椭圆的长轴长，可判断B选项的正误；求出椭圆上的点的横坐标的取值范围，可得判断C选项的正误；求出椭圆的离心率，可判断D选项的正误. 【详解】对于椭圆，，，. 对于A选项，椭圆的焦点坐标为、，A选项错误； 对于B选项，椭圆的长轴长为，B选项正确； 对于C选项，椭圆上的点的横坐标的范围是，C选项错误； 对于D选项，椭圆离心率为，D选项正确. 故选：BD. 10．已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为_____. 【答案】/ 【分析】根据两点间的距离公式列关于的函数式，然后利用二次函数求出最值即可 【详解】由题意得，且 所以 当时，取得最小值为， 故答案为： 11．动圆与圆外切，同时与圆内切，为圆的任意一条直径. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)已知点为圆心的轨迹上任意一点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆与圆的内切与外切可得圆心间距离与半径的关系，结合椭圆定义可得轨迹方程； （2）设点，利用转化法及坐标法表示向量数量积，结合点在椭圆上，根据椭圆上的点的坐标取值范围可得数量积范围. 【详解】（1）设圆心的坐标为，半径为. 由圆方程知圆心，半径， 由圆方程知圆心，半径， 由圆与圆外切可知由圆与圆内切，可知， 故， 由椭圆定义可知，圆心的轨迹是以，为焦点的椭圆(除去点)， 其中，且，即， 又， 故轨迹方程为； （2）由题知圆心，半径为， 设且满足，则， ， 又，故，. 题型四 根据椭圆的有界性求范围或最值 12．已知P为曲线M：上的动点，，，，，则下列说法错误的是（   ） A． B．面积的最大值为 C．直线与的斜率之积为定值 D．当，时， 【答案】D 【分析】明确点轨迹，根据椭圆的性质，可判断各选项是否正确. 【详解】因为，. 所以点的轨迹为椭圆位于轴下方的部分，包含与x轴的交点，且，，. 所以，为椭圆的焦点，，为椭圆的左右顶点. 如图： 根据椭圆的定义，，故A正确； 当点位于椭圆下顶点时，的面积最大，为，故B正确； 设，则，， 则为定值，故C正确； 当，时，， 因为，故D错误. 故选：D 13．设椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于A，B两点，则（    ） A．椭圆的短轴长为 B．的周长为12 C．的最小值为 D．椭圆上不存在点P，使得 【答案】BCD 【分析】由椭圆方程可得，根据椭圆性质判断ABC；对于D：可知当点P为短轴顶点时，取到最大值，结合余弦定理分析判断. 【详解】由椭圆方程可知：，，， 对于选项A：椭圆的短轴长为，故A错误； 对于选项B：的周长为，故B正确； 对于选项C：的最小值为，故C正确； 对于选项D：当点P为短轴顶点时，取到最大值， 此时，，可得， 则为锐角，所以椭圆上不存在点P，使得，故D正确. 故选：BCD. 14．已知椭圆的左顶点为，为坐标原点，是椭圆上一点，在第二象限内.若，则直线的斜率取值范围是____________. 【答案】 【分析】由椭圆的性质可知，根据余弦定理可以求出的取值范围，可以求出的范围，则可以求出直线的斜率取值范围. 【详解】由椭圆的性质可知，因为是椭圆上一点，在第二象限内.若， 根据余弦定理可知， 所以可得， 则可知，又因, 所以可知，所以直线的斜率为. 故答案为： 15．椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点，为椭圆上的两个不同的动点，线段的最小值为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线的斜率为，直线的斜率为． （i）若，在轴上方，且，求证：直线过定点； （ii）点，在运动过程中，是否存在某些位置使得且？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) （i）设直线方程为：， 由得：， ， 因为， 所以，即 所以，整理， 代入韦达定理，化简得， 所以直线方程为：，恒过定点；经检验. （ii）存在，为. 【分析】（1）由离心率及的最小值为列出方程求，即可求； （2）（i）设直线方程为：，联立椭圆方程，由韦达定理结合，求得即可求证；（ii）设，由，得到直线的方程为：，直线的方程为：，联立求得，结合点，点在椭圆上，列出等式求解即可. 【详解】（1）由题意，即，线段的最小值为， 所以，又， 则，故椭圆的标准方程为； （2）（i）略 （ii）设，显然，则直线斜率为，直线的斜率为. 因为，所以直线斜率为，直线的斜率为， 所以直线的方程为，直线的方程为， 两方程联立解得：，即， 因为点在椭圆上，且四点共圆，结合对称性， 所以，即或， 又点在椭圆上，，联立无解， 联立，解得， 所以符合条件的点得坐标为. 题型五 点和椭圆的位置关系 16．点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 【答案】B 【分析】将点代入椭圆即可求解. 【详解】由于，所以在内， 故选：B 17．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B均在C上，其中，则（   ） A．椭圆C的长轴长为 B．椭圆C的离心率为 C．点在椭圆C内 D．的值可以是6 【答案】BC 【分析】根据题意先求，进而得即可判断ABC，对于D设，则，利用的范围即可判断. 【详解】由题意有，所以椭圆方程为，所以，所以椭圆的长轴长为，故A错误； 离心率为，故B正确； 又因为，故C正确； 设，， 所以， 又，所以，又，故D错误， 故选：BC. 18．直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】求出直线所过定点的坐标，分析可知，定点在椭圆内或椭圆上，结合椭圆方程可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】直线方程可化为，故该直线恒过定点， 因为直线与椭圆恒有公共点， 则点在椭圆内或椭圆上，所以，，解得且， 所以，实数的取值范围是. 故答案为：. 19．已知椭圆，、两点分别为的上顶点、下顶点，点在直线上，且在第一象限，点在长轴上． (1)设是椭圆的右焦点，且，求的标准方程； (2)若点的坐标为，点的坐标为，请判断直线与直线的交点是否在椭圆上，并说明理由； (3)设点在直线上，为椭圆的左顶点，设直线、分别交椭圆于点、，若、关于原点对称，求的最小值． 【答案】(1) (2)在，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据条件可得，解出，利用，求得，即可求得答案； （2）分别表示出此时直线，直线的方程，求出其交点，验证即可； （3）设，则，表示出直线、直线方程，解出、的坐标，表示出，再利用基本不等式即可求出答案. 【详解】（1）由题可得、， 因为，所以，解得， 所以， 所以的标准方程. （2）直线与直线的交点在椭圆上， 由题可得此时、、、， 所以，直线的方程为，直线的方程为， 联立方程，解得， 所以，直线与直线的交点为， 因为，所以，直线与直线的交点在椭圆上. （3）设点，则，易知点、， 因为点在第一象限，则点在第一象限，可设，则，故， 则， 故直线的方程为， ， 故直线的方程为， 将代入直线的方程并整理得，即点， 将代入直线的方程得，即点， 故 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 题型六 椭圆的对称性 20．已知是椭圆的左焦点，经过坐标原点的直线与交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆定义求出，后，再利用余弦定理解三角形计算即可求解. 【详解】设为的右焦点，连接，，如图，则四边形为平行四边形， ∴，由椭圆定义知，， ∴，. 在中，， ∴. 在中，.    故选：C. 21．在平面直角坐标系内，将椭圆绕坐标原点旋转得到椭圆，若点是椭圆上任意一点，则（   ） A．椭圆的对称轴为直线 B．的最大值为 C．椭圆的离心率为 D．椭圆的短轴长为4 【答案】ABD 【分析】根据点关于直线对称，即可代入方程验证A，根据不等式即可求解B，根据对称，联立方程可求解半长轴和半短轴的长，即可有离 心率公式求解C、D. 【详解】A，设是椭圆上任意一点，则关于对称的点为，关于对称的点为， 由可得和均在曲线上，故椭圆的对称轴为，故A正确； B，，则， 故，当且仅当取等号，故B正确； C、D，由A可知：是的两条对称轴， 令，则，解得，则为椭圆的两个顶点， 令，则，解得，则为椭圆的两个顶点， 故长半轴长，短半轴长， 故离心率为，短轴长为，故C错误，D正确. 故选：ABD. 22．已知椭圆的右焦点为，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于、两点（点在第二象限），若点关于轴对称点为，且满足，求直线的方程是______． 【答案】 【分析】先求出椭圆的右焦点坐标，再根据对称性求出直线的倾斜角，从而得到其斜率，再由点斜式即可求得直线的方程． 【详解】由点关于轴对称点为，则直线与轴的夹角相等， 又，则直线的倾斜角为， 则直线的倾斜角为，即直线的斜率为， 又椭圆的右焦点为， 所以直线的方程是，即， 故答案为：． 23．已知椭圆的长轴长为4，离心率为. (1)求椭圆的方程. (2)设分别为椭圆的上、下焦点，为椭圆上除上、下顶点外的一点，直线分别与椭圆交于另一点和，直线与椭圆交于另一点. （i）求面积的最大值； （ii）证明：直线过定点. 【答案】(1). (2)（i）2；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据已知条件列方程组即可求得的值. （2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立可得横坐标差的绝对值的最大值，从而可得面积的最大值；（ii）联立直线与椭圆的方程，将点的坐标用点的坐标表示，同理可将的坐标用点的坐标表示，联立直线与椭圆的方程，将的坐标用点的坐标表示，在直线的方程中令，得到纵截距，化简即可得到定点. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为. 由题可知，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）如图，由（1）可知. 由题可知直线的斜率存在，设直线， 联立直线与椭圆的方程，即，消去，可得， 则，由，可得，异号， 所以 ， 当且仅当，即时“”成立. 又的面积， 所以的面积， 即面积的最大值为2. （ii）由上知直线， 联立直线与椭圆的方程，即， 消去，可得. 因为，所以， 设，则， 又，所以， 即. 同理可得. 直线的方程为， 联立直线与椭圆的方程，即， 消去，可得， 所以，则. 直线的方程为， 由对称性可知：若直线过定点，则定点必在轴上. 令，得 ，（将代入即可） 所以直线过定点. 题型七 求椭圆的顶点坐标 24．已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，D为C的上顶点，O为坐标原点，E为C上一点，且位于第二象限，直线，分别与y轴交于点H，G.若D为线段的中点，G为线段的中点，则点E到x轴的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作轴，根据平行关系列出线段的比例关系式即可求解. 【详解】 如图，过点作轴，垂足为， 由题意得，， 由轴得，，， 即，，两式相乘，化简得， 所以，则． 故选：D. 25．已知椭圆的长轴长是离心率的两倍，为上任意一点，且原点为的对称中心，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．线段的中垂线不可能经过的顶点 【答案】AC 【分析】根据曲线表示椭圆可得范围，分别讨论和的情况，根据长轴长为离心率的两倍可构造方程求得A正确；设，，，结合三角恒等变换和三角函数值域的知识可确定BC正误；将椭圆顶点坐标代入线段中垂线方程中，发现方程可以成立，则D错误. 【详解】对于A，由椭圆方程得：，，解得：且， 当时，，椭圆焦点在轴上，则其长轴长为，焦距为， 离心率，，解得：； 当时，，椭圆焦点在轴上，则其长轴长为，焦距为， 离心率，，整理可得：， 当时，，无解； 综上所述：，A正确； 对于B，由A知：椭圆， 设，，， （其中，）， 则当时，取得最小值，B错误； 对于C，， 则当或时，取得最大值，C正确； 对于D，，中点， 若不是椭圆顶点，则， 中垂线方程为：，即， 将代入方程得：，化简得：， 解得：或，又，， 中垂线可能经过椭圆顶点，D错误. 故选：AC. 26．已知椭圆的左右顶点分别为，若直角三角形的直角顶点为，点在上，点在直线上，且满足，则的面积为__________． 【答案】160 【分析】作出辅助线，得到三角形相似，得到各边长，求出，分的坐标为和两种情况，得到对应的点坐标，设梯形的面积为，利用求出答案. 【详解】椭圆右顶点为，故， 设直线与轴的交点为，过点作轴的垂线，垂足为， 由于直角顶点为，则，又， 所以， 又，故∽， 由于，所以，故， 中，令得， 故， 当的坐标为时，，则， 故， 当的坐标为时，，则， 故． 设梯形的面积为， 当时， ， 当，时， 160，故的面积为160． 故答案为：160． 27．设椭圆的左右两个焦点分别为，，若点在椭圆上，且. (1)求椭圆的长轴长､短轴长､焦点坐标､顶点坐标､离心率； (2)求的面积； 【答案】(1) 椭圆的长轴长为；短轴长为；焦点为，； 顶点为，，，；离心率. (2) 【分析】（1）由椭圆方程求得，由此可依次求得结果； （2）利用椭圆的定义和勾股定理可构造方程求得，由此可求得三角形面积. 【详解】（1）由椭圆方程得，，，， 所以椭圆的长轴长为；短轴长为；焦点为，；顶点为，，，；离心率. （2）由椭圆的定义知：，， 因为，所以， 即，解得， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $