北京市牛栏山一中教育集团2025-2026学年第二学期期末练习高二数学试卷

2025一2026学年度第二学期期末练习 牛栏山一中教育集团高二数学试卷 本试卷共6页，150分。练习时长120分钟。请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作 答无效。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项。 (1)C= (A)6 (B)8 (C)10 (D)12 (2)下列求导运算正确的是 (A)(x2)'=-2x (B)(cosx)'=-sinx (C)(ln10)'=1 10 (D)(G)'= (3)随机变量X的分布列如下表： X 1 2 3 4 P 0.2 0.4 a b 则a+b= (A)0.2 (B)0.3 (C)0.4 (D)0.5 (4)电商工作室要从甲、乙、丙3人中选择2人，分别担任带货主播和运营助理，则不同的选 法有 (A)5种 (B)6种 (C)8种 (D)9种 (5)现有8个潮玩盲盒，其中3个是隐藏款，另外5个是普通款.现随机选购5个，令专为选 中隐藏款的个数，则一 - (A)P(5≤3) (B)P(传=3) (C)P(5≤2) (D)P(E=2) 牛栏山一中教育集团高二数学试卷第1页（共6页） (6)下列各图反映了数列{a,}的前n项和S。与项数n之间的函数关系，其中说明数列{an} 可能为等差数列的是 S.↑ (A) (B) 2 3 45678 012345 7 8 S S (C) (D) 012345678n 012345678n (7)设事件A,B相互独立，且P(A)>0,则下列命题正确的是 (A)P(A+B)=P(A)P(B) (B)P(AB)=P(A)+P(B) (C)P(BIA)=P(B) (D)P(BIA)=P(A) (8)若数列{an}与{bn}都是等比数列，则“{an}与{bn}均为递增数列”是“数列{anbn}为递增 数列”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (9)如图，直线g(x)=x+m为曲线y=f(x)的一条切线，则函数 y=f(x) F(x)=f(x)-g(x)在(0，m)上 (A)有2个极小值，有1个极大值 (B)有1个极小值，有2个极大值 少=g(x) (C)有2个单调递增区间，1个单调递减区间 (D)有1个单调递增区间，2个单调递减区间 牛栏山一中教育集团高二数学试卷第2页（共6页） (10)已知正整数数列A:a1,a2,…,a,各项互不相等，且满足an43=an-an-1(n=2,3,4), 则a1+a2+…+a,的最小值为 (A)30 (B)31 (C)32 (D)34 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 (11)若数列{an}的前n项和为Sn=n2+2”,则a3= (12)若随机变量X服从两点分布，其中P(X=1)=了，则E(3X-1)= (13)若等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1=8,ag=0,则Sn的最大值为 .(用数字 作答) (14)在一项水稻胚芽实验中，研究人员从某培养皿中随机抽取样本进行检测.培养皿内共 有8个水稻胚芽样本，其中有5个目标胚芽和3个非目标胚芽，若某研究员计划进行 两次不放回的随机抽样，每次抽取一个胚芽样本.则第一次抽取到目标胚芽的概率为 ;两次都抽取到目标胚芽的概率为 (15)无穷数列{an}满足2an<an+1+an-1（n≥2)，则下列结论正确的是 ①若a1=1,a2=2,则{an}为单调递增数列； ②记T,-+…+,若a,>01,则{工，为单调递增数列； ③若a2>a1,则对任意M>0,存在正整数N。,当n>N。时，an>M; ④存在正数c,使得an<cn2对任意n∈N*均成立. 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)(14分) 已知等差数列{an}与等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2=b2=2. (I)求数列{an}与{bn}的通项公式； (Ⅱ)求数列{bn}的前n项和Sn; (Ⅲ)若数列，Q”}中的最大项是第k项，请直接写出k的值 牛栏山一中教育集团高二数学试卷第3页（共6页） (17)(13分) 已知(2x-1)6=a6x6+ax3+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0 (I)求a。的值和含x3的项的系数； ()求6+%+ 2625 2+a,的值； (Ⅲ)已知at+a1t+a2+a3t3+a4t2+a5t+a6=0,求t的值. (18)(13分) 已知x=1和x=2分别是函数)=了+a2+r+c的极偵点。 (I)求a,b的值及函数f(x)的单调区间； (Ⅱ)若f(x)恰有两个不同的零点，求c的值. 牛栏山一中教育集团高二数学试卷第4页（共6页） (19)(本小题15分) 某校计划于暑假开展“知行共奔赴，青春赴山海”游学活动，共有北京、西安、成都、 南京、杭州五个地点可供选择，每位学生选择其中一个地点.为了解本校学生的游学意 向，采用分层抽样从全校初中生和全校高中生中各随机抽取20名学生，对其选择的游 学目的地进行统计调查，各目的地选择人数如下表： 北京 西安 成都 南京 杭州 初中生 10 2 4 2 2 高中生 4 6 3 6 1 假设每位学生选择游学目的地的结果互不影响，用频率估计概率. (I)从五个地点中随机选择一个，估计该地点全校初中生选择比例高于全校高中生选 择比例的概率； (Ⅱ)从全校初中生中随机抽取2人，从全校高中生中随机抽取1人，记这3人中选择 “北京”作为游学目的地的人数为X,估计X的数学期望EX; (Ⅲ)若从该校初中生中随机抽取3人，记这3人中选择“北京”的人数为Y;从该校高 中生中随机抽取3人，记这3人中选择“北京”的人数为Y2·比较第（Ⅱ）问中随机 变量X的方差DX与DY,DY2三者的大小关系.（结论不要求证明） 牛栏山一中教育集团高二数学试卷第5页（共6页） (20)(本小题15分)》 已知直线y=是函数fx)=lh(ax)+,的一条切线. 2x (I)求a的值； (Ⅱ)设实数k使得f(x)≥k(x-2)+1-2对xe(0,+∞)恒成立，求k的值； (Ⅲ)证明：对任意的s,1e(1,+x),均有风-1)<e)+0) (21)(本小题15分) 给定单调递增正整数数列An:a1,a2,…,an(n≥3)，若非空集合T满足以下条件： ①对于任意的i,je{1,2,…,n}且i≠j,有a,aeT; ②对于任意的p,g∈T且p<q,有ge{a1,a2,…,an}, p 则称集合T为数列An的一个“集”. (I)已知数列A3:1,3,9,直接写出A3的一个“2集”； (Ⅱ)已知T是数列A3:a1,a2,a3的一个“n集”，且T中恰有4个不同元素，求a1的最 小值； （Ⅲ)若数列An:a1,a2,…,an(n≥3)存在“D集”，求n的最大值. (请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效) 牛栏山一中教育集团高二数学试卷第6页（共6页） 2025-2026顺义区高二数学期末考试参考答案 一、选择题 1.A2B3.C4.B 5.D6.C7.C8.D9.A10.B 二、填空题 11.912.0 13.36 4 15.①②③ 说明：14题第一空3分，第二空2分：15题选对1个1分，选对2个3分，选对3个5分 16解： (1){an}为等差数列，∴公差d=a2-4=1… -2分 ∴.an=a1+(n-1H=1+0n-10-1=n,ne -4分 :,)为等比数列，公比g=会=2 -6分 b b,=6q1-12m-1=21,neW -8分 2-1 (1)8.=2-1 -10分 Sn=2”-1,neW -11分 (I1I)k=2.--- .-14分 17解： (1)令x=0,(0-1D°=6，a=1 -1分 4=C(23(103 --4分 :含x2的项的系数为-160 -5分 四令 -7分 2 (II)当t=0时，则a。=0与a6=C82矛盾，：t≠0.- --9分 -11分 期%白+a+r++a+a+a4=0 .6x6+asx3+a4x+432+a2x2+ax+a0=0.即(2x-1)°=0-- -12分 -13分 18.解： （①f0)）=}式2+a2+bx+c,f6=2+2ax+6,xeR…2分 x=1,x=2分别为函数f(x)的极值点.：f'()=0且f(2)=0 3 a=-2,b=2 .4分 .f(x)=x2-3x+2=(x-1x-2) .当x<1,x>2时，f(x)>0,f(x)单调递增： 当1<x<2时，f(x)<0,f(x)单调递减， :(x)的单调递增区间为(-0,1)，(2，+o), -6分 f(x)的单调递减区间为(1,2). -7分 说明：每个单调区间1分 (II)当f)<0或f(2)>0时，f()至多有一个零点- -9分 当0=6+月a即c=吾此时f0<0且7间=号 …在区间(2,3)内f(x)存在唯一零点. -10分 当g)=c+号-0，即c=号此时f0)<0且/0)>0 在区间(0,1)内f(x)存在唯一零点.- -11分 当0>0且0<0时，即-吾c<号此时f0=c<0,f间-a>0 ·f(x)在区间(0，)，1,2)，(2,3)内分别存在唯一零点.-- --12分 综上所述，当且仅当c=-或c=-2有两个不零点 -13分 6 3 19解： (1)在5个地点中，初中生选择比例高于高中生选择比例的地点为北京、成都及杭州这3 个地点 -1分 初中生选择比例高于高中生选择比例的概率估计值为 -3分 (2)方法一：：每位同学选择游学目的地互相独立，以频率估计概率 一初中生选择北京的概幸的估计值为了高中生选择北京的展率的货计值为 X的所有可能取值为0,1,2,3. -4分 Px-0的估计做为与行*号 -5分 ,114.1119 P(x-1)的估计值为亏××亏×2+×亏×写20 7分 225 Pg习储计情为时号片：-品 -9分 0 P(X=3)的估计值为xx是= -10分 22520 1 .E(X)=0×-+1× x9+2×6+3x205 6 16 -12分 5 20 20 205 方法=：记2名初中生选择北京游学的人数为”则了~2心， -5分 记1名高中生选择北京游学的人数为Z,则Z~B(1, -7分 则X=Y+Z, -9分 Bx）=B0Y+2)=B00+8(2)=2×5+1×53 ,16 -12分 (3)DY>DX DY -15分 20解： 1)6=1.1 -1分 x 2x2 1 设切点为，)，∴f()= 11 x。2x6 Γ2 -2分 1 .X0=1,0=与… -3分 1 且f0=a=1 -4分 @由a月j0网-hx+文h+文o-与+1-b2对于eQo瓶成立. .mx+x -kc-)-1+1n220, 令g(x)=lnx+ -c--1+n2 -5分 2x 则g(x)20在(0，+o)上恒成立， 又g3=0 -6分 x=5为86)的极小值点. 1 …7分 g(3=2-2-k=0即k=0 -8分 下证k=0满足题意： 当k=0时，g'(x)= 112x-1 x2x3=2x2 0<x<时，2x-1<0,g)<0,g6)单调递减： x>时，2x-1>0,g'09>0,g0)单调递增 -9分 809m=g3=0 g(x)之0恒成立得证.- -10分 3)f6)=lnx+ -(x>0)f6)= 11 2x-1 2x3 令h0=0.nc- :x>1时，h(x)<0,h(x)单调递减，即f(x)单调递减 -11分 令he)=fo+f0-fe+i-i0-且cte+o） -12分 hs)=f八(s)-f(s+t-1)… -13分 t>1,.s+t-1)>S, 由f(x)在1，+o)上单调递减，∴f'(s+t-1)<f(s) --14分 h(s)=f'(s)-f(s+t-1)>0,h(s)单调递增 又h0=f0+f0-f0-1=0 s>1时，h(s)>0恒成立得证，即对任意s,t∈1，+o) 均有f6+t-1)<fo)+f)- 1 --------------------15分 21解： (I)3,9,27}- -4分 (Ⅱ)若a1=1,则1<a2<a3,且a2,a3,a2a3∈T 由②可知， 2在数列4中，且4<三<4所以=4，即4，=， a a 所以d2,,∈T -5分 因为冲有4个不同元素，设T={a,,G,t}. 若a:则至>ag,与@矛眉： t 若t>a2,则由②可知， =l或a,或a,即t=a,或a或a,矛盾： .7分 a, 当41=2时，对数列A3:2,4,8.{4,8,16,32},{8,16,32,64}均为A3的“2集”---8分 所以a1的最小值为2. -9分 ()由①可知，对任意i,j,k∈(1,2，，m)且i<j<k,则aa,aa∈T且a4a<a,a%, 所以生为数列A中某一项，10分 a 若a1=1,则类比（Ⅱ）可知，数列A:1,2,a22,,a2m-l, 所以a,a,,am3eT,由②可知，a4e1,a,a,,a-1} 所以2n-4≤n-1,即n≤3：---- ------11分 若41≠1，则根据第（Ⅲ）问解题过程可知，数列A:a1,a,,a, 所以a,a,,a1eT,由②可知，ar4e{q,a,,a} 所以2n-4≤n,即n≤4：- …13分 当n=4时，对数列4：2,4,8,16，{8,16,32,64,128}均为A的“2集”-14分 所以n的最大值为4. -15分 说明：所有解答题的解题方法与参考答案不同，各位组长自行确定给分标准」