3.4 圆周角 提高练习 2026-2027学年 浙教版九年级上册数学

**基本信息** 这份“圆周角提高练习”通过选择、填空、解答、综合题的梯度设计，覆盖圆周角定理及综合应用，强化从单一知识点到逻辑推理的巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|圆周角定理及基本推论|选择题1-5直接应用定理求角度，填空9-10强化图形转化，培养几何直观| |综合应用|结合垂径定理/直径性质的综合计算|选择6-8、解答13-14融合多性质，如直径与垂直关系，提升空间观念| |拓展探究|圆中线段关系的逻辑证明|综合15通过全等证明AM=DM，发展推理能力与数学语言表达|

3.4 圆周角 提高练习 一、选择题 1．如图，点在上，若，则（　　） A．40° B．50° C．70° D．80° 2．如图在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连结BP，CP，若∠A=50°，则∠BPC=（　　） A．100° B．95° C．90° D．50° 3．如图，AB是 的直径，C，D是 上的两点，连接AC，CD，AD，若 ，则 的度数是（　　） A．15° B．25° C．30° D．75° 4．如图，AB为⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，且，∠E＝70°，则∠ABC的度数为（　　） A．30° B．40° C．35° D．50° 5．如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 6．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，C为的中点．若∠ABC=30°，则弦AB的长为（　　）． A． B．5 C． D． 7．如图，四边形 内接于 ，对角线 于点E，若 的长与 的半径相等，则下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OD．已知OD⊥AC于点E，AB＝2．下列结论： ①∠DBC+∠ADO＝90°；②AD2+AC2＝4；③若AC＝BD，则DE＝OE；④若点P为BD的中点，则DE＝2OE． 其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 二、填空题 9．如图，在⊙O中，若∠BAC＝24°，∠ACB＝42°，则∠ACO＝　 　. 10．如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B=50°，则∠OCD的度数等于　 　． 11．如图，点A、B、C、D都在上，，则　 　． 12．如图，已知半圆．点在半圆上，，在取点，连接，作于点，连接，则的最小值等于　 　． 三、解答题 13．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F． （1） 求证：CF=BF． （2）若CD=6，AC=8，求⊙O的半径及CE的长． 14．如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，F是圆上一点，D是的中点，连结CF交OB于点G，连结BC． （1）求证：GE＝BE； （2）若AG＝6，BG＝4，求CD的长． 四、综合题 15．已知：如图，在⊙O中，AB＝CD，AB与CD相交于点M， （1）求证：； （2）求证：AM＝DM． 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：，， . 故答案为：D. 【分析】由圆周角定理可得∠BOC=2∠BAC，据此计算. 2．【答案】A 【解析】【解答】解：如图所示，连接AP，延长BP交AC于D， ∵AB、AC中垂线交于点P， ∴点P为△ABC外接圆圆心， ∴∠BPC＝2∠BAC ∵ ∠BAC=50°， ∴∠BPC＝100°. 故答案为：A． 【分析】连接AP，延长BP交AC于D，由AB、AC中垂线交于点P可得点P为△ABC外接圆圆心，由圆周角定理可得∠BPC＝2∠BAC，进而求得∠BPC的度数. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：连结BC， ∵AB是 的直径， ， ∵∠ABC=∠ADC=75°， ， 故答案为：A． 【分析】连结BC，根据圆周角定理得出即可得出答案。 4．【答案】B 【解析】【解答】解：如图，连接OD，BD. ∵， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵∠DOB＝2∠DEB＝140°，OB=OD， ∴∠OBD＝∠ODB＝20°， ∴∠ABC＝2∠OBD＝40°， 故答案为：B. 【分析】连接OD，BD，利用等弧所对的圆周角相等，可证得∠ABD＝∠CBD；再利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求出∠DOB的度数；然后利用平行线的性质可求出∠OBD的度数，即可求出∠ABC的度数. 5．【答案】A 【解析】【解答】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°， ∴∠OBA＝∠OAB＝25°， ∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°， ∵OA＝OC，∠OCA＝40°， ∴∠OAC＝∠OCA＝40°， ∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°， 故答案为：A． 【分析】先求出∠OBA＝∠OAB＝25°，再求出∠OAC＝∠OCA＝40°，最后计算求解即可。 6．【答案】D 【解析】【解答】解：如图，连结OC，OA． ∵ ∠ABC=30° ∴∠AOC= 2∠ABC= 60° ， ∵ C为的中点 ， ∴OC⊥AB，AE=BE， ∴∠OAE=90°-∠AOC=30° ， ∴OE=，AE=OE=； ∴AB=2AE= ； 故答案为：D. 【分析】连结OC，OA．由圆周角定理可得∠AOC= 2∠ABC= 60° ，由垂径定理的推论可得AE=BE，OC⊥AB，再求∠OAE=90°-∠AOC=30° ，根据直角三角形的性质求出AE的长，继而求出AE的长. 7．【答案】C 【解析】【解答】解：连接 ， 的长与 的半径相等， 为等边三角形， 在 中， ， 在 中， ， 在 中， ， 故答案为：C. 【分析】 连接OA、OD，先证明△OAD为等边三角形得到∠AOD=60°，再利用圆周角定理∠ABD=∠ACD=30°，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到BE=AB，CE=CD， 然后在Rt△BCE中利用勾股定理得到BC2=BE2+CE2，从而可确定BC、AB、CD的关系． 8．【答案】B 【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴①正确； ∵ ∴ 根据条件无法得到②错误； ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴为等边三角形 ∵ ∴③正确； 若点P为BD的中点， 则 ∵ ∴ ∴ ∵O为AB的中点， ∴， ∴④正确； 故答案为：B. 【分析】证明得到结合即可判断①；根据条件推出无法得到即可判断②；证明即可得到为等边三角形即可判断③；利用"AAS"证明得到根据即可判断④. 9．【答案】24° 【解析】【解答】解：∵∠BAC＝24°，∠ACB＝42°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝48°，∠AOB＝2∠ACB＝84°， ∴∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝132°， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠OAC＝ （180°﹣132°）＝24°. 故答案为：24°. 【分析】根据圆周角定理可得∠BOC＝2∠BAC＝48°，∠AOB＝2∠ACB＝84°，然后求出∠AOC的度数，接下来根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行求解. 10．【答案】20° 【解析】【解答】解：连接OA，如图， ∵AB切⊙O于点A， ∴OA⊥AB， ∴∠OAB=90°， ∵∠B=50°， ∴∠AOB=90°-50°=40°， ∴∠ADC=∠AOB=20°， ∵AD∥OB， ∴∠OCD=∠ADC=20°． 故答案为：20°． 【分析】连接OA，先求出∠AOB的度数，再利用圆周角的性质求出∠ADC的度数，最后利用平行线的性质求出∠OCD=∠ADC=20°即可。 11．【答案】50 【解析】【解答】解： 故答案为：50 【分析】根据垂径定理可得，再利用圆周角的性质可得。 12．【答案】8 【解析】【解答】解：连接，取的中点，连接， ∵， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∴， ∵， ∴， 当、、三点共线时，最小， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【分析】如图，取的中点，连接，．由题意点在以为圆心，为半径的上，推出当、、共线时，的值最小． 13．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠A=90°-∠ABC． ∵CE⊥AB， ∴∠ECB=90°-∠ABC， ∴∠ECB=∠A． 又∵C是的中点， ∴， ∴∠DBC=∠A， ∴∠ECB=∠DBC， ∴CF= BF； （2）解：∵， ∴BC=CD=6． 在Rt△ABC中，AB= =10， ∴⊙O的半径为5； ∵S△ABC= AB×CE= BC×AC， ∴CE= . 【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角，得∠ACB=90°，再利用同角的余角相等证∠ECB=∠A，然后根据同弧所对的圆周角相等得∠DBC=∠A，从而可得∠ECB=∠DBC，进而根据等角对等边求解； （2）根据相等的弧所对的弦相等得BD=CD=6，在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB的长，进而得到圆的半径，结合三角形的面积公式，由等面积法即可求解. 14．【答案】（1）证明：∵D是的中点， ∴∠ECG＝∠ECB， ∵CD⊥AB， ∴∠CEG＝∠CEB＝90°， ∴∠CGE＝∠CBE， ∴CG＝CB， ∵CE⊥BG， ∴EG＝EB； （2）解：∵AG＝6，BG＝4， ∴AB＝6+4＝10， ∴OC＝OB＝AB＝5， ∴OG＝OB﹣BG＝5﹣4＝1， 由（1）知GE＝BE＝BG＝2， ∴OE＝OG+GE＝1+2＝3， ∴CE＝＝4， ∵直径AB⊥CD， ∴CD＝2CE＝2×4＝8． 【解析】【分析】（1）根据D是的中点，由圆周角定理得到，再根据三角形内角和定理推出，得到，由等腰三角形的性质推出； （2）根据AG＝6，BG＝4，求出AB的长为10，得到，据此再求出，由勾股定理求出，由垂径定理即可得到，即可求出CD的长． 15．【答案】（1）证明：∵在⊙O中，AB＝CD， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接AC，BD， ∵， ∴AC＝BD， 在△ACM和△DBM中， ， ∴△ACM≌△DBM（ASA）， ∴AM＝DM． 【解析】【分析】（1）根据弦、弧的关系可得，据此证明； （2）连接AC，BD，根据（1）的结论可得AC＝BD，由圆周角定理可得∠A=∠D，∠C=∠B，证明△ACM≌△DBM，据此可得结论. 1 学科网（北京）股份有限公司 $