3.3　垂径定理 同步练习 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练习聚焦垂径定理及推论，通过基础巩固、综合应用、实践拓展三层设计，构建从单一知识点到实际问题解决的进阶路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|垂径定理及推论的直接应用|选择题（如第1题直径与弦垂直关系）、填空题（如第6题坐标应用），强化概念理解| |进阶层|定理与勾股定理结合计算|解答题（如第7题半径与弦长计算），培养运算能力与逻辑推理| |拔高层|跨情境综合应用|实际问题（如下水管道水位计算、拱桥跨度问题），发展应用意识与空间观念|

3.3　垂径定理 第1课时　垂径定理 分值：62分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5，CD=8，则AE=(　A　) A.8 B.7 C.6 D.5 【解析】 由题意，得CE=DE=CD=4，AO=OC=5，∴OE==3， ∴AE=AO＋OE=8。 2.如图，已知☉O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论中，不一定正确的是(　B　) A.CE=DE B.AE=OE C. D.△OCE≌△ODE 3.如图，在☉中，弦AB的弦心距OD=2，延长OD，交于点C，若OC=3，则AB的长为(　B　) A.4 B.2 C.5 D.6 第3题图　　 第3题答图 【解析】 如答图，连结OA。 ∵OD是弦AB的弦心距， ∴OC⊥AB于点D， ∴AD=BD。 ∵OA=OC=3， ∴AD=， ∴AB=2AD=2。 4.如图，☉O的半径为10，AB是☉O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM∶OC=4∶5，则AB的长为(　A　) A.12 B.14 C.16 D.18 5.如图，☉O的半径为5，若OP=3，则经过点P的弦的长可能是(　C　) A.3 B.6 C.9 D.12 【解析】 易知过点P最长的弦是直径，最短的弦是垂直于OP的弦，且易知这条弦长=2=8， ∴四个选项中只有C有可能。 6.(3分)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，点B在y轴正半轴上，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为　(2，0)　。  7.(6分)如图，在☉O中，直径CD⊥弦AB于点E。 (1)(3分)若AB=30，OE=8，求☉O的半径。 (2)(3分)若CD=10，DE=OE，求AB的长。 第7题图　　 第7题答图 解：(1)如答图，连结OA。 ∵CD是☉O的直径，CD⊥AB， ∴AE=AB=15。 又∵在Rt△AOE中，OE=8， ∴OA==17， ∴☉O的半径为17。 (2)∵CD是☉O的直径，CD=10， ∴OD=OA=CD=5。 ∵DE=OE，∴OE=OD=。 在Rt△AOE中， AE=。 ∵CD是☉O的直径，CD⊥AB， ∴AB=2AE=15。 8.(8分)如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100 cm，下雨前水面宽为60 cm(水面在圆心下方)，一场雨过后，水位上升了10 cm，则此时水面宽为多少？ 第8题图　　 　第8题答图 解：如答图，设下雨前水面宽为AB，下雨后水面宽为A'B'，连结OB，OB'，作OC⊥AB于点C，交A'B'于点C'，则OC'⊥A'B'，CC'=10 cm。 由垂径定理，得BC=AB=30 cm。 又易知OB=50 cm，∴OC=40 cm， ∴OC'=30 cm。 又∵OB'=50 cm，∴B'C'=40 cm， ∴由垂径定理，得A'B'=2B'C'=80 cm， 即此时水面宽为80 cm。 9.如图，已知☉O的半径为7，AB是☉O的弦，点P在弦AB上。若PA=4，PB=6，则OP=(　D　) A. B.4 C.2 D.5 第9题图 第9题答图 【解析】 如答图，过点O作OC⊥AB于点C，连结OP，OB。 ∵PA=4，PB=6，∴AB=PA＋PB=10， ∴AC=BC=5，∴PC=PB－BC=1。 ∵在Rt△OBC中，OC2=OB2－BC2=72－52=24， ∴在Rt△OPC中，OP==5。 10.如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上(玻璃瓶厚度忽略不计)，测得瓶高AB=20 cm，底面直径BC=12 cm，球的最高点到瓶底面的距离为32 cm，则球的半径为(　C　) A.5 cm B.6 cm C.7.5 cm D.15 cm 第10题图 第10题答图 【解析】 如答图所示标注字母，设球的半径为r(cm)，则OG=EG－r=EF－GF－r=EF－AB－r=32－20－r=(12－r)cm。 ∵EG过圆心，且垂直于AD，∴AG=AD=BC=6 cm。 在Rt△OAG中，由勾股定理，得 OA2=OG2＋AG2，即r2=(12－r)2＋62，解得r=7.5， ∴球的半径为7.5 cm。 11.(3分)只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为3.5 cm，AB=3 cm，CD=4 cm，则可以算得纸杯的直径为　5　cm。  第11题答图 第11题答图 【解析】 如答图，设杯口圆心为O，过点O作垂直于AB的直径，交AB于点N，交CD于点M，则MN⊥CD，MN=3.5 cm，连结OD，OB。 ∵MN⊥AB，MN⊥CD， ∴DM=CD=2 cm，BN=AB=1.5 cm。 设OM=x(cm)， 则ON=MN－OM=(3.5－x)cm。 ∵OM2＋MD2=OD2，ON2＋BN2=OB2，OB=OD， ∴OM2＋MD2=ON2＋BN2， ∴x2＋22=(3.5－x)2＋1.52， 解得x=1.5， ∴OD==2.5(cm)， ∴纸杯的直径=2.5×2=5(cm)。 12.(3分)某同学通过观察家中的刺绣饰品，发现其是由圆形的刺绣面和一段劣弧支架组成。如图，刺绣饰品关于两圆心所在直线对称，通过查阅和测量得知，支脚A，B之间的距离为9.6 cm，刺绣面(圆)最高点E到AB的距离EN为20.6 cm，到劣弧AB最高点M的距离EM为17 cm，则劣弧支架AB所在圆的半径是　5　cm。  【解析】 如答图，设劣弧支架所在圆的圆心为O，则点O在直线EM上，连结OA，设OA=OM=r(cm) 。 第12题答图 ∵EN=20.6 cm，EM=17 cm， ∴MN=20.6－17=3.6(cm)。 ∵M是劣弧AB的最高点， ∴OM⊥AB， ∴AN=BN=AB=×9.6=4.8(cm)。 在Rt△OAN中，r2=(r－3.6)2＋4.82， 解得r=5， 即劣弧支架AB所在圆的半径是5 cm。 13.(8分)如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D，若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长。 第13题图　　 第13题答图 解：如答图，连结OC，OA，过点O作OE⊥AB于点E， 则CE=DE，AE=BE， ∴CE==2， AE==8， ∴AC=AE－CE=8－2。 14.(10分)[推理能力]如图，☉O中两条相等且互相垂直的弦AB，CD相交于点E。 (1)(4分)过点O作OM⊥CD于点M，若OM=6，☉O的半径为10，求弦CD的长。 (2)(6分)过点A作AN⊥BD，交CD于点F，求证：CE=EF。 解：(1)如答图1，连结OD。 第14题答图1 ∵OM⊥CD，∴DM=CM，∠OMD=90°。 ∴DM==8， ∴CD=2DM=16。 (2)如答图2，过点O作OG⊥AB于点G，连结OD，OB，则BG=AG=AB=CD=CM=DM。 第14题答图2 又∵OB=OD，∠OGB=∠OMD=90°， ∴△OGB≌△OMD(HL)， ∴OG=OM。 又∵∠OGE=∠OME=∠GEM=90°， ∴四边形OGEM是正方形， ∴GE=EM，∴AE=DE，BE=CE。 ∵AN⊥BD，∴∠DBE=90°－∠A=∠AFE。 又∵∠AEF=∠DEB=90°， ∴△AEF≌△DEB(AAS)， ∴EF=BE，∴CE=EF。 第2课时　垂径定理的推论 分值：69分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.下列命题中，假命题是(　A　) A.平分弦的直径垂直于弦 B.垂直平分弦的直线必经过圆心 C.垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧 D.平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦 【解析】 平分弦(非直径)的直径垂直于弦，A为假命题。B，C，D为真命题。 2.如图，OA，OB，OC都是☉O的半径，AC，OB相交于点D。若AD=CD=8，OD=6，则BD的长为(　B　) A.5 B.4 C.3 D.2 第2题图　 　第3题图 3.如图，在☉O中，AB是直径，CD是弦，，则下列结论中，不一定成立的是(　C　) A.AB⊥CD B.CM=DM C.AC=CD D.∠C=∠D 4.“老碗面”是我国北方一些地区的家常美食。图2是从正面看到的一个“老碗”(图1)的形状示意图。是☉O的一部分，D是的中点，连结OD，与弦AB相交于点C，连结OA，OB。已知AB=24 cm，碗深CD=8 cm，则☉O的半径OA为(　A　) A.13 cm B.16 cm C.17 cm D.26 cm 【解析】 ∵是☉O的一部分，D是的中点，AB=24 cm， ∴OD⊥AB，AC=BC=AB=12 cm。 设☉O的半径OA为r(cm)，则OC=OD－CD=(r－8)cm。 在Rt△OAC中，∵∠OCA=90°， ∴OA2=AC2＋OC2，即r2=122＋(r－8)2， 解得r=13，即☉O的半径OA为13 cm。 5.(8分)利用本节所学的知识，填写你认为正确的结论：如图，在☉O中，AB是弦(不是直径)。 (1)(2分)若AB⊥MN，MN为直径，则　AC=BC，　。  (2)(2分)若AC=BC，MN为直径，则　MN⊥AB，　。  (3)(2分)若MN⊥AB，AC=BC，则　MN为直径，　。  (4)(2分)若，MN为直径，则 ，AC=BC，MN⊥AB　。  6.(3分)如图，AB是☉O的直径，DM垂直平分弦AC，垂足为D。若AB=13，BC=5，则MD的长为　4　。  第6题图　 　第6题答图 【解析】 如答图，连结OD。 ∵MD垂直平分AC，∴MD⊥AC，AD=DC， ∴O，D，M三点在同一条直线上， ∴OM=AB=6.5。 ∵OA=OB， ∴OD=BC=2.5， ∴MD=OM－OD=4。 7.(6分)如图，☉O的两条弦AB∥CD(AB不是直径)，E为AB的中点，连结EC，ED。 (1)(3分)直线EO与AB垂直吗？请说明理由。 (2)(3分)求证：EC=ED。 第7题图　 　第7题答图 解：(1)EO⊥AB。理由如下： 如答图，连结EO。 ∵EO过圆心O，E为AB的中点， ∴EO⊥AB。 (2)如答图，延长EO，交CD于点F。 ∵EO⊥AB，AB∥CD， ∴EF⊥CD。 又∵EF过圆心O， ∴CF=DF，∴EC=ED。 8.(8分)如图，在☉O中，M，N分别为弦AB，CD的中点，AB=CD，AB不平行于CD。求证：∠AMN=∠CNM。 第8题图　 　第8题答图 证明：如答图，连结OM，ON，AO，OC。 ∵M，N分别为AB，CD的中点， ∴OM⊥AB，ON⊥CD， ∴∠AMO=∠CNO=90°。 又∵AB=CD，∴AM=CN。 在Rt△AOM和Rt△CON中， ∵ ∴Rt△AOM≌Rt△CON(HL)， ∴OM=ON， ∴∠OMN=∠ONM， ∴∠AMO＋∠OMN=∠CNO＋∠ONM，即∠AMN=∠CNM。 9.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，O是这段弧所在圆的圆心，AB=40 m，C是的中点，D是AB的中点，且CD=10 m，则这段弯路所在圆的半径为(　B　) A.24 m B.25 m C.30 m D.60 m 第9题图　　 　第9题答图 【解析】 如答图，连结OA，OB，OD。 由垂径定理可知，点O，C，D在同一条直线上，OC⊥AB。 设半径为r(m)，则OC=OA=r(m)。 易知AD=AB=20 m，OD=OC－CD=(r－10)m。 在Rt△ADO中，由勾股定理，得 r2=202＋(r－10)2，解得r=25， 即这段弯路所在圆的半径为25 m。 10.(3分)如图，M是CD的中点，EM⊥CD于点M。若CD=4，EM=8，则所在的圆的半径为  　。  第10题图　　 第10题答图 【解析】 ∵M是CD的中点，EM⊥CD， ∴EM过CED所在圆的圆心。 如答图，设所在圆的圆心为点O，连结OC。 设半径为x。 ∵CD=4，EM=8， ∴CM=CD=2，OM=EM－OE=8－x。 在Rt△OCM中，OM2＋CM2=OC2， 即(8－x)2＋22=x2，解得x=， ∴所在的圆的半径为。 11.(8分)如图，AB是☉O的直径，C是☉O上的一点。 (1)(4分)实践与操作：在上求作点P，使得P为的中点(要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母)。 (2)(4分)推理与计算：已知P为的中点，连结AP，AC，若AP=，AC=6，求☉O的半径。 解：(1)如答图1所示。 第11题答图1 (2)如答图2，连结OP交AC于点D。 第11题答图2 ∵P为的中点， ∴OP⊥AC，AD=CD=AC=3。 在Rt△APD中， PD==1。 设☉O的半径为r。 在Rt△AOD中，AD2＋OD2=OA2， ∴32＋(r－1)2=r2，解得r=5， 即☉O的半径为5。 12.(8分)如图所示，某地欲搭建一座圆弧形拱桥，跨度AB=32米，拱高CD=8米(C为AB的中点，D为的中点)。现要在距离桥的一端4米处立一桥墩EF，求桥墩的高度。 第12题图 第12题答图 解：如答图，设所在圆的圆心为点O，易知直线DC经过点O，设☉O的半径为r，连结OB，OF。 ∵D是的中点，∴OD⊥AB。 易知BC=AB=16米。 在Rt△OBC中，OB2=OC2＋BC2， ∴r2=(r－8)2＋162， 解得r=20。 过点O作OH⊥FE，交FE的延长线于点H，则易知OH=CE=16－4=12(米)，OF=20米， ∴在Rt△OHF中，HF==16米。 ∵HE=OC=OD－CD=20－8=12(米)， ∴FE=HF－HE=4米。 答：桥墩的高度为4米。 13.(10分)[应用意识]如图，隧道的截面由和矩形ABCD构成，矩形的长BC为12 m、宽AB为3 m，隧道的顶端E(的中点)高出道路(BC)7 m。 (1)(5分)求所在圆的半径。 (2)(5分)如果隧道内设双行道，现有一辆运输特殊物品的车辆，车辆高6.5 m、宽2.3 m，那么该车辆能否通过隧道？ 解：(1)如答图，设所在圆的圆心为点O，半径为r(m)，连结OE，交AD于点F，连结OA，OD，则OF=r－(7－3)=(r－4)m。 ∵E是的中点， ∴OE垂直平分AD， ∴AF=AD=BC=6 m。 由勾股定理，得AF2＋OF2=OA2，即62＋(r－4)2=r2，解得r=6.5， 即所在圆的半径为6.5 m。 第13题答图 (2)如答图，在上取到OE的距离为2.3 m的点H，过点H作HG⊥OE于点G，则GH=2.3 m。 ∵圆的半径OH=6.5 m， ∴由勾股定理，得 OG=≈6.08(m)， ∴点G到BC的距离为7－6.5＋6.08=6.58(m)＞6.5 m， ∴该车辆能通过隧道。 学科网（北京）股份有限公司 $3.3 垂径定理 分值：62分 第】课时垂径定理 选择题每小题3分 A基础对点练 1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD LAB于点E,OC=5,CD=8,则AE() A.8 B.7 C.6 D.5 1-2 2.如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E,则下列结论中，不一定正确的是() C D A.CE-DE BAE-OE C.BC=BD D.△OCE≌△ODE 3.如图，在⊙中， 弦AB的弦心距OD-2,延长OD,交AB于点C,若OC3,则 AB的长为() A.4 B.2V5 C.5 D.6 D 第3题图 4如图，⊙O的半径为10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD,垂足为M, OM:OC-4:5,则AB的长为() 0 M B A.12 B.14 C.16 D.18 5.如图，⊙O的半径为5，若OP=3,则经过点P的弦的长可能是() 0 A.3 B.6 C.9 D.12 6.(3分)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（一2,0），点B在y轴正半 轴上，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交x轴正半轴于点C,则点C的坐标 为 YA B 7.(6分)如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E。 (1)3分)若AB=30,OE=8,求⊙0的半径。 (2)3分)若CD-=103,DE-OE,求AB的长。 D A 第7题图 8.(8分)如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100c,下雨前水 面宽为60cm(水面在圆心下方)，一场雨过后，水位上升了10cm,则此时水面 宽为多少？ 第8题图 包综合提升练 9.如图，已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上。若PA=4, PB=6,则OP-() A.V14 B.4 C.2V6 D.5 。0 第9题图 10.如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上（玻璃瓶厚度忽略不计），测得瓶高 AB=20cm,底面直径BC=12cm, 球的最高点到瓶底面的距离为32c,则球的 半径为() A.5 cm B.6 cm C.7.5 cm D.15 cm 32 cm 20 cm B 12 cm 第10题图 11.(3分)只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同 学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上 下边沿分别与杯口相交于A,B,C,D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为3.5 cm,AB=3cm,CD=4cm,则可以算得纸杯的直径为 cm。 B 第11题答图 12.(3分)某同学通过观察家中的刺绣饰品，发现其是由圆形的刺绣面和一段劣弧 支架组成。如图，刺绣饰品关于两圆心所在直线对称，通过查阅和测量得知， 支脚A,B之间的距离为9.6cm,刺绣面（圆）最高点E到AB的距离EN为20.6 cm,到劣弧AB最高点M的距离EM为I7cm,则劣弧支架AB所在圆的半径是 cm。 M ANB 13.(8分)如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C, D,若大圆的半径R=10,小圆的半径-8，且圆心O到直线AB的距离为6，求 AC的长。 第13题图 *挑战备选练（选做) 14.(10分)[推理能力]如图，⊙O中两条相等且互相垂直的弦AB,CD相交于点 E。 (1)4分)过点O作OMLCD于点M,若OM6,⊙O的半径为10，求弦CD的长。 (2)(6分)过点A作AN⊥BD,交CD于点F,求证：CE=EF。 第2课时垂径定理的推论 分值：69分 选择题每小题3分 A 基础对点练 1.下列命题中，假命题是() A.平分弦的直径垂直于弦 B.垂直平分弦的直线必经过圆心 C.垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧 D.平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦 2.如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，AC,OB相交于点D。若AD=CD=8, OD=6,则BD的长为() A.5 B.4 C.3 D.2 o D D 第2题图 第3题图 3.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦， BC=BD' 则下列结论中，不一定成 立的是() A.AB⊥CD B.CM-DM C.AC-CD D.∠C=∠D 4.“老碗面”是我国北方一些地区的家常美食。图2是从正面看到的一个“老 碗”（图1）的形状示意图。AB是O0的一部分，D是AB的中点，连结OD,与弦 AB相交于点C,连结OA,OB。已知AB=24cm,碗深CD8cm,则⊙O的半径 OA为() 0 C D 图1 图2 A.13 cm B.16 cm C.17 cm D.26 cm 5.(8分)利用本节所学的知识，填写你认为正确的结论：如图，在⊙O中，AB是 弦（不是直径）。 (I)2分)若AB⊥N,N为直径，则 (2)(2分)若AC=BC,MN为直径，则 (3)2分)若MN⊥AB,AC=BC,则 (④2分)若AM=BMMN为直径，则 M B 6.(3分)如图，AB是⊙O的直径，DM垂直平分弦AC,垂足为D。若AB=13, BC=5,则MD的长为 M D C B 第6题图 7.(6分)如图，⊙O的两条弦AB∥CD(AB不是直径)，E为AB的中点，连结 EC,ED。 (1)3分)直线EO与AB垂直吗？请说明理由。 (2)(3分)求证：EC=ED。 E B 第7题图 8.(8分)如图，在⊙O中，M,N分别为弦AB,CD的中点，AB=CD,AB不平行 于CD。求证：∠AN=∠CMM. A M 第8题图 B综合提升练 9如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB0是这段弧所在圆的圆心，A=40 m,C是AB的中点，D是AB的中点，且CD10m,则这段弯路所在圆的半径 为() A.24m B.25m C.30m D.60m 第9题图 1O.3分)如图，M是CD的中点，EMLCD于点M,若CD-4,M8,则cED 所在的圆的半径为 M D 第10题图 11.(8分)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点。 (①4分)实践与操作：在AC上求作点P,使得P为AC的中点（要求：尺规作图并 保留作图痕迹，不写作法，标明字母)。 (24分)推理与计算：已知P为AC的中点，连结AP,AC,若AP-10: AC-6,求⊙0的半径。 B 0 12.(8分)如图所示，某地欲搭建一座圆弧形拱桥，跨度AB=32米， 拱高CD=8米(C为AB的中点，D为的中点)。现要在距离桥的一端4米处立 AB 一桥墩EF,求桥墩的高度。 D A B C 第12题图 *挑战备选练（选做) 13.(10分)[应用意识]如图，隧道的截面由AED和矩形ABCD构成，矩形的长 BC为12m、宽AB为3m,隧道的顶端E(AED的中点)高出道路(BC)7m。 (1)5分)求AED所在圆的半径。 (2)5分)如果隧道内设双行道，现有一辆运输特殊物品的车辆，车辆高6.5m、 宽2.3m,那么该车辆能否通过隧道？ E D B