3.3.2 垂径定理（第2课时）（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 垂径定理同步练习以概念辨析为基础，通过实际应用、推理计算到综合解答的分层设计，构建从单一知识点到综合应用的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|垂径定理概念与逆定理辨析|通过真假命题辨析（如“平分弦的直径垂直于弦”正误判断）强化概念理解| |应用理解|实际情境中的弦长计算、角度推理|结合球形灯罩、隧道截面等情境（如已知弦长和拱高求半径）培养模型意识| |综合提升|平行弦问题、最值探究及多知识点综合证明|通过直径与中点综合条件（如证明线段相等、求动态弦长最值）提升逻辑推理能力|

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.3.2垂径定理（第2课时) 垂径定理概念辨析 垂径定理逆定理的实际应用 垂径定理的推理求角度) 0基础达标题 利用垂径定理逆定理进行证明 垂径定理的推理求线段长度 利用垂径定理求同心圆问题 垂径逆定理的综合解答 Q垂径定理 利用垂径定理解决平行弦的问题 ②能力提升题 垂径定理中最值问题 ③拓展培优题 高分冲刺题型 基础达标题 题型一：垂径定理概念辨析 1.（2026江苏常州模拟预测)下列说法： ①三点确定一个圆； ②平分一条弦的直径垂直于这条弦： ③长度相等的弧是等弧： ④三角形只有一个外接圆. 其中真命题有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2.(2026广东深圳三模)下列命题中正确的命题是() A.两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 1/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 C.垂直于同一条直线的两条直线平行 D.圆中垂直于弦的直径平分弦 3.(2026重庆模拟预测)下列命题是真命题的是() A.过一点作已知直线的平行线有且只有一条 B.平分弦的直径垂直于弦 C.垂直于同一条直线的两直线平行 D.垂线段最短 4.（25-26九年级下·四川成都阶段检测)下列说法正确的是() A.有三个角相等的四边形是矩形 B.三角形的内心到三角形三边距离相等 C.平分弦的直径垂直于这条弦 D.两直线平行，同旁内角相等 5.（25-26九年级下·四川成都阶段检测)下列命题中，假命题是（) A.菱形的对角线互相垂直 B.矩形的四个内角都是直角 C.如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦 D.如果圆的一条直径平分一条弦，那么这条直径垂直这条弦 6.（2026九年级上四川南充.专题练习)下列说法中，错误的是（) A.平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦 B.平分弧的直径垂直于这条弧所对的弦 C.垂直于弦的直线必经过圆心 D.弦的垂直平分线必经过圆心 题型二：垂径定理逆定理的实际应用 1.(25-26九年级上·浙江宁波期末)图1是一个球形灯罩，图2是球形灯罩的轴截面示意图，过最高点H 的直线HF经过圆心，且垂直底座CD于点F,点A,B在圆上，AC,BD都垂直于CD.已知 AC=BD=1cm,CD=12cm,HF=31cm,则灯罩轴截面所在圆的半径为() 2/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CF D 图1 图2 A.15.5cm B.15.6cm c.15.7cm D.15.8cm 2.(25-26九年级上河北保定期末)在某古典园林的景观设计中，园林计划建造一座“月亮门”，其门 洞形状是圆形的一部分（如图所示），在圆形月亮门洞的截面中，AB表示门洞下沿宽度，D为弦AB的中 点，DC经过圆心O并延伸至门洞顶部最高点C.已知AB=1.8m,点C到点D的距离CD=2.7m,则该 圆形门洞的半径为() D B A.1.3m B.1.5m c.1.6m D.1.8m 3.(25-26九年级上山东临沂期末)盾构机是一种大型隧道掘进专用工程机械，被称为“地下蛟龙”， 我国盾构机己实现从依赖进口到全球领跑的跨越.如图，高速公路隧道的有效高度AB为6.4m,隧道入口 宽CD为9.6m,该隧道所在圆的圆心为O,则这个圆的半径是(). 隧道 地面C ◆0 A地下 A.6m B.5m C.4m D.3m 4.(25-26九年级上山东德州阶段检测)如图所示的工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位Cm), 将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A,B,E三个接触点，则该球的半径是()Cm. 3/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16 A.10 B.8 C.12 D.14 5.（25-26九年级上山西朔州阶段检测)在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球半径OB=5Cm,在操 场地上砸出一个小坑，坑深DE=2cm,则该坑的宽AB=() 5cm 地面 D 2cmB E A.4cm B.5cm C.8cm D.10cm 6.(2025四川南充一模)如图甲，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图乙，筒车盛水桶的运 行轨道是以轴心O为圆心的圆，己知圆心O在水面的上方，⊙O被水面截得的弦AB长为4米，点C是运 行轨道的最低点，点C到弦AB的距离为1米，则⊙O的半径长为() ?水面 图甲 图乙 A.1米 B.1.5米 C.2米 D.2.5米 题型三：垂径定理的推理求角度 1.(2026陕西西安模拟预测)如图，△ABC内接于⊙O,AB=AC,点D在⊙O上，OD平分AB,若 ∠B=68°，则∠ADO的度数为() 4/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.68 B.63° C.56 D.48° 2.(2025山西长治三模)如图，AD是⊙O的直径，弦BC与AD交于点E,连接AB,AC,CD,BD 若BD=CD,∠BAC=50°，则∠ABC的度数为() B 0 A.50° B.55° C.60° D.65° 3.(25-26九年级上天津河西期末)如图，AB为⊙O的直径，C,D为⊙O上的两点，且C为AD的中 点，若∠BAD=20°，则∠ACO的度数为() B A.30 B.45° c.55° D.60° 4.(24-25九年级上重庆江北阶段检测)如图，AB是⊙O的直径，点C,D在圆上，且OD经过AC中点 E,连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P,若∠CAB=14°，则∠BPC的度数为 D A.14° B.24° C.32° D.37o 5.(24-25九年级上广东广州期中)如图，在⊙O中，点C是弦AB的中点，∠AOC=50°，∠OAB的 度数为 5/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型四：利用垂径定理逆定理进行证明 1.(25-26九年级上江西上饶期中)如图，圆内接四边形ABDC,AB是⊙O的直径，OD⊥BC交BC 于点E. O Eh B D (1)求证：BD=CD: (2)若BE=3,AC=8,求OD的长. 2.(25-26九年级上广东广州期中)如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，OD与AC交 于点E,且AE=CE」 D (1)证明：OD‖BC: (2)若∠B=70°，求∠CAD的度数， 3.(25-26九年级上江苏泰州阶段检测)如图，点A、B、D、C都在圆上，AB是⊙O的直径， OD⊥BC交BC于点E.且AC‖OD. 6/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：BD=CD: (2)若BE=4,AC=6,求DE 4.(25-26九年级上湖北荆州期中)如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E,点B是劣弧CD的中 点 (1)求证：AC=AD (2)若∠CAD=60°，⊙O的半径为1，求弦CD的长， 5.(2425九年级下.上海阶段检测)如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C,O2A 的延长线交⊙O1于点D,点E为AD的中点，AE=AC,连接O1E.求证：O1E=O1C; E 6.(25-26九年级上浙江绍兴阶段检测)如图所示，D、E分别是AB、AC的中点，DE交AB于M交 AC于N,求证：AM=AN. 7/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A M 7.(25-26九年级上.浙江杭州期中)如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O,OD交AC于 点E,AD=CD D E (1)求证：ODBC: (2)若AC=12,DE=4,求⊙O的半径. 题型五：垂径定理的推理求线段长度 1.(25-26九年级上广西南宁期中)如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分， 如果D是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心交⊙O于点C,并且AB=12米，CD=9米.则⊙O的半径为 () D A.6米 。号* C.7米 .5米 2 2.(2025九年级全国.专题练习)如图，⊙O的弦AB=24,M是AB的中点，且OM=5,则⊙O的半径 长为() 8/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B A.5 B.13 C.24 D.26 3.（24-25九年级上.湖北武汉·期中)在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为10cm,在操场地上 砸出一个深2cm的小坑，则该坑的直径AB为() 铅球 10cm 地面 2cmB A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm 4.(2026广东河源.一模)如图，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是AC上的一点，且AD=CD 若AC=6,AB=10,则BD的长为() B A.8 B.3V/10 c.10 D.4V10 5.(25-26九年级上·全国课后作业)如图，⊙O的弦AB=6,C为AB的中点，且OC=4,则⊙O的半 径为() B A.8 B.6 C.5 D.4 6.(2026辽宁鞍山模拟预测)如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点 E,延长DE交⊙O于点F,若AC=12,AE=3,则⊙O的直径长为 9/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B F 7.(25-26九年级下·湖南长沙阶段检测)如图，点M是⊙O的弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点 E,CD=6,EM=9,求⊙O的半径为 D 题型六：利用垂径定理求同心圆问题 1.(25-26九年级上.安徽合肥期末)将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置 在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm,水的最大深度是2cm,则杯 底有水面AB的宽度是()cm. B 个2cm A.6 B.4V2 c.43 D.45 2.（25-26九年级上贵州遵义期末)如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C,D两点，大 圆的半径为10，小圆半径为7.若AB=16,则弦CD的长是 0 10/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(24-25九年级上陕西西安阶段检测)如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2 倍，大圆的弦AB和小圆交于C,D两点，若AC=CD=4,则小圆半径是 A C 题型七：垂径逆定理的综合解答 1.(24-25九年级上贵州遵义期末)如图，AB是半圆O的直径，C,D是半圆上的点，CD=CB,过点 C作CE⊥AB于点E,连接OC,BD相交于点F. 5 O E (1)求证：△OCE≌△OBF: 2若CE-专，BD=8.求0A的长 BE 3' 2.(24-25九年级上江西南昌·期中)如图，点P在以MN为直径的⊙O上，MN=8,PQ⊥MN交⊙O 于点Q,垂足H,PQ≠MN,PQ=42, N (1)连接OP,证明△OPH为等腰直角三角形： (2)连接CD,若点C,D在⊙O上，且DQ=CQ,求证：OPCD 3.(25-26九年级上吉林期末)如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是BC的中点，OE交BC于点 D.连接AC,若BC=6,DE=1,求AC的长. 11/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E 4.(24-25九年级上贵州遵义期末)如图，AB是半圆O的直径，C,D是半圆上的点，CD=CB,过点 C作CE⊥AB于点E,连接OC,BD相交于点F. (1)求证：△OCE≌△OBF: a若E=号BD=8.求OA的长 BE 3 5.(24-25九年级上·江西南昌·期中)如图，点P在以MN为直径的⊙O上，MN=8,PQ⊥MN交⊙O 于点Q,垂足H,PQ≠MN,PQ=42 D M (1)连接OP,证明△OPH为等腰直角三角形： (2)连接CD,若点C,D在⊙O上，且DQ=CQ,求证：OP‖CD 6.(25-26九年级上·吉林期末)如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是BC的中点，OE交BC于点 D.连接AC,若BC=6,DE=1,求AC的长， B 12/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 能力提升题 题型一：利用垂径定理解决平行弦的问题 1.(25-26九年级上山东滨州期中)已知⊙O的直径为34Cm,AB,CD是⊙O的两条弦，AB‖CD, AB=30cm,CD=16cm,则AB和CD之间的距离是() A.7cm或23cmB.14cm或46cmC.7cm D.23cm 2.(25-26九年级上河南新乡阶段检测)已知⊙O的半径为6cm,弦AB‖CD,且AB=6V2cm, CD=6/3cm,则AB与CD之间的距离为一， 3.(25-26九年级上河南许昌期中)已知在⊙O中有两条平行弦AB‖CD,AB=12,CD=16,⊙O的 半径是10，则AB与CD间的距离是 4.(25-26九年级下·黑龙江哈尔滨开学考试)AB、CD是⊙O的两条弦，且AB‖CD,又⊙O的直径 为26，AB=10,CD=24,则AB与CD间的距离为 题型二：垂径定理中最值问题 1.（2026江苏连云港.三模)定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相 等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为10的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个 圆的半径为一· 2.(25-26九年级下·河南信阳阶段检测)如图，C,D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C,D不 与A,B重合)，在运动过程中弦CD的长度始终保持不变，M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点 P.若CD=3,AB=7,则PM的最大值是 D 3.(25-26九年级上河南安阳期末)如图，长为定值的弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、点D 都不与点A、B重合)，点E是CD的中点，过点C作CF⊥AB于F,若CD=4,AB=8. 13/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)当CD‖AB时，EF的长为 (2)CD在滑动过程中，EF的最大值是 4.(25-26九年级上浙江金华期末)如图，在平面直角坐标系中，A6,0、B0,8,点C在y轴正半轴上， 点D在x轴正半轴上，且CD=6,以CD为直径在第一象限作半圆，交线段AB于E、F,则线段EF的最大 值为一· DA 拓展培优题 1.(2026九年级下甘肃临夏学业考试)如图，⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB,垂足 为P,若CD=8,则△ACD的面积是() P B A.16 B.24 C.32 D.48 2.(2026广东广州·二模)花都岭南园，坐落于风景秀丽的花都湖国家湿地公园内，融合了广东地区独特 的建筑风格与自然景观，展现了岭南文化的深厚底蕴和精湛技艺.园内亭台楼榭错落有致，有一处“月影 14/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 通楼”的拱门建筑，外观可以看作圆形.如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的⊙O与长方形的 边BC相切于点M,点E为拱门的最高点，经测量，AB=0.2m,BC=1.4m,则拱门最高点E到地面BC 的距离是() B M A.1.325m B.1.525m c.2.45m D.2.65m 3.(25-26九年级下.福建莆田期中)如图，点O是△ABC的外心，OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为 D、E,点MN分别是OD、OE的中点，连接MN,若MN=2,则BC的长是() D E MO N A.9 B.4 C.7 D.8 4.（2026:陕西威阳二模)如图，有一个圆弧形的门洞，AB=8m'AB上的最高点C到水平地面AB的距 离CD为3m,则AB所在圆的半径为《) D B A.5m B. 13 6如 C. 25 D.4m 15/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Rt△OAD 0A2=AD2+0D2 在 中，由勾股定理得： 5.（2026广东佛山二模)如图，网格中的每个小正方形的边长都为1，一条圆弧经过A,B,C三点，则 这条圆弧所在圆的半径长为() A.2 B.5 C.2 D.3 6.(2026湖北武汉.一模)如图，AB是半径为5V2的⊙O的一条弦，点C在AB上，过点C作AB的垂线 交⊙O于点D,AB=14,则AC+CD的最大值是() 0。 B A.16 B.17 C.18 D.19 7.(25-26九年级下.青海西宁开学考试)已知⊙0的直径为20Cm,AB,CD是⊙0的两条弦， ABCD,AB=16cm,CD=12cm,则AB与CD之间的距离为Cm. 8.(2026黑龙江哈尔滨模拟预测)如图，在⊙O中，AB为直径，弦CD⊥AB于点H,若AH=CD=4, 则⊙O的半径长为 16/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.(2026内蒙古赤峰.二模)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC.过点C作AB的垂线， 垂足为G在AB的垂线上截取CD=AC,CD交⊙O于点F,连接AD,交⊙O于点H.若AG=I2,GF=5, 则DF的长度为 10.(2026吉林松原.一模)图①、图②均是5×4的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶 点称为格点，其中A、B、C均为格点.只用无刻度的直尺，分别在给定网格中按下列要求作图. 图① 图② (1)在图①中，画出过点A、B、C的圆的圆心O: (2)在图②中，点D是圆上一点，画出弦DE,使DE‖BC. 11.（25-26九年级下·全国·课后作业)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题： “今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问：径几何？”转化为现在的数学 语言就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD,垂足为E,CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长. A 12.(25-26九年级上山东济宁期末)如图，线段AB=10,AC=8,点D,E在以AB为直径的半圆0上， 且四边形ACDE是平行四边形，过点O作OF⊥DE于点F,求AE的长. F D 17/17 3.3.2 垂径定理（第2课时） 题型一：垂径定理概念辨析 1．（2026·江苏常州·模拟预测）下列说法： ①三点确定一个圆； ②平分一条弦的直径垂直于这条弦； ③长度相等的弧是等弧； ④三角形只有一个外接圆． 其中真命题有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【详解】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ②平分一条弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ③长度相等的弧不一定是等弧，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ④三角形只有一个外接圆，正确，是真命题，符合题意． 真命题有1个． 2．（2026·广东深圳·三模）下列命题中正确的命题是（     ） A．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 B．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．圆中垂直于弦的直径平分弦 【答案】D 【分析】根据几何基本定理，逐一判断各命题的真假． 【详解】A，∵两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题未说明两条直线平行，是假命题，∴本选项不符合题意； B，∵两边及其中一边对角对应相等不能判定两个三角形全等，不是全等三角形的判定方法，是假命题，∴本选项不符合题意； C，∵原命题缺少“在同一平面内”的前提，是假命题，∴本选项不符合题意； D，圆中垂直于弦的直径平分弦，此为垂径定理的部分内容，是真命题，故本选项符合题意； 3．（2026·重庆·模拟预测）下列命题是真命题的是（     ） A．过一点作已知直线的平行线有且只有一条 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于同一条直线的两直线平行 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】结合各定理的前提条件逐一分析选项，最终确定真命题． 【详解】选项A：∵当该点在已知直线上时，无法作出已知直线的平行线，定理要求“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，∴A是假命题； 选项B：∵当被平分的弦本身是直径时，两条直径互相平分但不一定垂直，定理要求“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”，∴B是假命题； 选项C：∵该命题缺少“同一平面内”的前提条件，不在同一平面内时结论不成立，∴C是假命题； 选项D：由初中数学基本公理可知，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，∴D是真命题． 4．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．有三个角相等的四边形是矩形 B．三角形的内心到三角形三边距离相等 C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．两直线平行，同旁内角相等 【答案】B 【分析】根据矩形的判定定理，三角形内心性质，垂径定理，平行线性质，逐一判断各选项正误． 【详解】解：A、三个角相等的四边形，四个角不一定都是直角，例如三个角为时，第四个角为，该四边形不是矩形，故A错误； B、三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，角平分线上的点到角两边的距离相等，故三角形的内心到三角形三边距离相等，故B正确； C、当被平分的弦为直径时，任意两条直径互相平分，但不一定垂直，只有平分非直径弦的直径才垂直于这条弦，故C错误； D、根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，不是相等，故D错误． 5．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）下列命题中，假命题是（    ） A．菱形的对角线互相垂直 B．矩形的四个内角都是直角 C．如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦 D．如果圆的一条直径平分一条弦，那么这条直径垂直这条弦 【答案】D 【分析】本题考查特殊四边形性质与圆的垂径定理相关结论，只需判断各命题真假即可得到答案． 【详解】解：∵菱形的性质为对角线互相垂直平分，∴A是真命题； ∵矩形的四个内角均为直角，∴B是真命题； ∵根据垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，∴C是真命题； 若被直径平分的弦本身就是圆的直径，那么两条直径互相平分但不一定垂直，该命题存在反例，∴D是假命题． 6．（2026九年级上·四川南充·专题练习）下列说法中，错误的是（   ） A．平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦 B．平分弧的直径垂直于这条弧所对的弦 C．垂直于弦的直线必经过圆心 D．弦的垂直平分线必经过圆心 【答案】C 【分析】根据垂径定理及其推论逐一判断说法正误即可． 【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，说法正确，该选项不符合题意； B、平分弧的直径垂直于这条弧所对的弦，说法正确，该选项不符合题意； C、垂直于弦的直线不一定经过圆心，原说法错误，该选项符合题意； D、弦的垂直平分线必经过圆心，说法正确，该选项不符合题意． 题型二：垂径定理逆定理的实际应用 1．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）图1是一个球形灯罩，图2是球形灯罩的轴截面示意图，过最高点的直线经过圆心，且垂直底座于点，点在圆上，都垂直于．已知，，，则灯罩轴截面所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理，矩形的性质与判定，连接交于点，设圆心为点O，连接，证明四边形是矩形，四边形是矩形，得到，由垂径定理可得，设灯罩截面所在圆的半径为，则，由勾股定理可得，，据此即可求出答案． 【详解】解：连接交于点，设圆心为点O，连接， ∵都垂直于．， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵直线经过圆心， ∴， 设灯罩截面所在圆的半径为，则 在中，由勾股定理可得， 即， 解得 即灯罩截面所在圆的半径为， 故选：B． 2．（25-26九年级上·河北保定·期末）在某古典园林的景观设计中，园林计划建造一座“月亮门”，其门洞形状是圆形的一部分（如图所示）．在圆形月亮门洞的截面中，表示门洞下沿宽度，D为弦的中点，经过圆心O并延伸至门洞顶部最高点C．已知，点C到点D的距离，则该圆形门洞的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理的实际应用，勾股定理的应用，如图，连接，先证明，，设拱门所在圆的半径为，再进一步的利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，， ∴，， 设拱门所在圆的半径为， ∴，而， ∴， ∴， 解得：， ∴拱门所在圆的半径为． 故选：B． 3．（25-26九年级上·山东临沂·期末）盾构机是一种大型隧道掘进专用工程机械，被称为“地下蛟龙”，我国盾构机已实现从依赖进口到全球领跑的跨越．如图，高速公路隧道的有效高度为，隧道入口宽为，该隧道所在圆的圆心为，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理． 连接，设，则，根据勾股定理可得，解方程即可求出圆的半径． 【详解】解：如下图所示，连接， 设，则， ， ， 在中，， ， 解得：， 圆的半径为． 故选：B． 4．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）如图所示的工件槽的两个底角均为，尺寸如图（单位），将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A，，三个接触点，则该球的半径是（    ）． A．10 B．8 C．12 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．设圆的圆心为点，连接，其中交于点，先根据垂径定理可得，，再在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，设圆的圆心为点，连接，其中交于点， 由题意得：，点是的中点， ∴， ∴， 设该球的半径是，则， ∴， 在中，，即， 解得， 即该球的半径是． 故选：A． 5．（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球半径，在操场地上砸出一个小坑，坑深，则该坑的宽（   ） A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 由垂径定理的推论可得，，利用勾股定理求出的长即可求解， 【详解】解：根据题意由垂径定理的推论可得， ∴， ∵铅球半径， ∴， 在中， ， ∴， 故选：C． 6．（2025·四川南充·一模）如图甲，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图乙，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，被水面截得的弦长为4米，点C是运行轨道的最低点，点C到弦的距离为1米，则的半径长为（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，设的半径长为，由垂径定理得（米），再由勾股定理列方程求出的值即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点， 设的半径长为， ∵点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为1米， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径长为米． 故选：D． 题型三：垂径定理的推理求角度 1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，，点在上，平分，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，令的交点为，先求出，再利用垂径定理及三角形内角和定理得到，最后求出等腰三角形的底角的度数即可. 【详解】解：连接， ∵ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴即：， ∴， ∵， ∴. 2．（2025·山西长治·三模）如图，是的直径，弦与交于点，连接，，，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查垂径定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选D． 3．（25-26九年级上·天津河西·期末）如图，为的直径，C，D为上的两点，且为的中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了垂径定理、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．根据垂径定理的推论，即可求得：，由，即可求得的度数，又由，即可求得的度数 【详解】解：∵为的直径，C为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4．（24-25九年级上·重庆江北·阶段检测）如图，是的直径，点，在圆上，且经过中点，连接并延长，与的延长线相交于点，若，则的度数为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意易得，即，则有，进而可得，然后根据三角形外角的性质是可进行求解． 本题主要考查垂径定理的推论及圆周角定理，熟练掌握垂径定理的推论及圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵经过中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，在中，点是弦的中点，，的度数为__________． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键；由题意得，然后问题可求解． 【详解】解：∵点是弦的中点， ∴，即， ∵， ∴； 故答案为：． 题型四：利用垂径定理逆定理进行证明 1．（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，圆内接四边形，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的相关性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握圆的相关性质． （1）由垂径定理即可得，进而得证； （2）由（1）可知，为直角三角形，由勾股定理可求出直径的长，进而可得半径的长． 【详解】（1）证明：为的半径，且， 由垂径定理可知，，且 ； （2）解：由（1）可知，， ， ， 为直角三角形， 在中，， ， 为半径， ， 故的长为． 2．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，与交于点E，且． (1)证明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理的推论，同弧所对的圆心角相等，平行线的判定与性质，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是解题的关键． （）根据圆周角定理和垂径定理的推论证得，即可证得结论； （）连接，根据平行线的性质可得，再根据同弧所对的圆心角相等以及圆周角定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵是半圆的直径， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴为弧的中点， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵，， ∴， ∵为弧的中点， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，点都在圆上，是的直径，交于点E．且． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴； (2)2 【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，平行线的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是： （1）根据垂径定理可得出，然后根据弧、弦的关系即可得证； （2）根据垂径定理得出，，根据平行线的性质可得出，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理求出，然后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 4．（25-26九年级上·湖北荆州·期中）如图，是的直径，弦交于点E，点B是劣弧的中点． (1)求证：． (2)若，的半径为1，求弦的长． 【答案】(1) 证明：∵点B是劣弧的中点，是的直径， ∴，， ∴． (2) 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是求出． （1）根据垂径定理可得答案； （2）先求出，再求出，最后根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵，，， ， ∵， ∴， ∴， ， ， ． 5．（24-25九年级下·上海·阶段检测）如图，⊙和⊙相交于、两点，与交于点，的延长线交⊙于点，点为的中点，，连接．求证：； 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，根据，，可判断垂直平分，根据垂径定理的推论可得，然后根据证明，最后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：连接，，， ∵，， ∴，在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 6．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图所示，D、E分别是的中点，交于M、交于求证：． 【答案】见解析 【分析】连结，，根据垂径定理的推论可得，，再由得到，根据等角的余角相等得到，即可证明结论． 【详解】证明：连结，， 是的中点，E是的中点， ，， 又， ， ，， 而，， ， 【点睛】此题主要考查垂径定理的推论，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，四边形内接于，交于点E， (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、垂径定理、勾股定理，掌握相关的定理是解题的关键． （1）根据垂径定理得到，再根据三角形中位线定理证明； （2）设的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 是的中位线， ； （2）解：设的半径为r，则， 由（1）可知， ， ， 在中，，即， 解得：， 的半径为． 题型五：垂径定理的推理求线段长度 1．（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且米，米．则的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理及推论的应用、勾股定理，由是中弦的中点，则，所以，故有，（米），设的半径为米，则（米），然后通过勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是中弦的中点， ∴， ∴， ∴，（米）， 设的半径为米，则（米）， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．（2025九年级·全国·专题练习）如图，的弦，是的中点，且，则的半径长为（    ） A．5 B．13 C．24 D．26 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理的推论、勾股定理，熟练掌握垂径定理及其推论是解题关键． 根据是弦中点可得，再利用勾股定理即可求得半径长． 【详解】解：连接， ∵是弦中点， ∴，， ∴， 即的半径长为． 故选：B． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为，在操场地上砸出一个深的小坑，则该坑的直径为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理，设点为圆的圆心，点为的中点，连接，则由垂径定理的推论可得，利用勾股定理求出的长即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设点为圆的圆心，点为的中点，连接，则由垂径定理的推论可得， ∴， ∵铅球直径为， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 4．（2026·广东河源·一模）如图，为⊙O的直径，是⊙O的弦，点是上的一点，且．若，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，交于，根据垂径定理推论，再由垂径定理，再由勾股定理计算，的长，从而求得的长，此题考查了圆周角定理，垂径定理和勾股定理的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，交于，    ∵， ∴点是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 故选：． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，的弦，为的中点，且，则的半径为（    ）    A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】连接，，由和是的半径，则，利用垂径定理可得，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，，如图所示：    和是的半径， ， 又 为的中点，且， ，， ， 在中，，， ， 的半径为：5， 故选C． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握勾股定理及垂径定理，借助辅助线解决问题是解题的关键． 6．（2026·辽宁鞍山·模拟预测）如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，则的直径长为_________． 【答案】15 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，勾股定理，根据题意可知，，从而得到，，得，得到，得，设圆的半径为R，连接，根据勾股定理，得到，计算的值即可． 【详解】解：点D是弧的中点， ， 为的直径，， ， ，， ， ， ， 设圆的半径为R，连接， 根据勾股定理，得到， 解得， 故答案为：15． 7．（25-26九年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，点是的弦的中点，经过圆心交于点，，求的半径为______． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，连接常用的辅助线是解题关键．连接，根据垂径定理的推论可得出，．设的半径为r，则，，根据勾股定理可列出关于r的等式，再求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵点是的弦的中点，且经过圆心， ∴，． 设的半径为r，则，， 在中，， ∴， 解得：． 故答案为：5． 题型六：利用垂径定理求同心圆问题 1．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长. 【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC， ∵OA=OD=4，CD=2， ∴OC=2， ∴AC=， ∴AB=2AC=. 故答案为C. 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键. 2．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形是解题的关键． 作于点，连接、，根据垂径定理可得，，再利用勾股定理分别求出和的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点，连接、， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是________． 【答案】 【分析】过O点作于H点，连接、，如图，根据垂径定理得到，，设，则，再利用双勾股得到，然后解方程求出r即可． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 【详解】解：过O点作于H点，连接，如图，则 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或r（舍去）， 即小圆半径是， 故答案为：． 题型七：垂径逆定理的综合解答 1．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，是半圆O的直径，C，D是半圆上的点，，过点C作于点E，连接相交于点 F． (1)求证：； (2)若，．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定、垂径定理推论的应用及勾股定理的应用， （1）先证明，进而证明三角形全等； （2）根据（1）中结论得出，求出，设，根据勾股定理列方程并解方程即可解决． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 由（1）知， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 2．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，点在以为直径的上，，交于点，垂足，，． (1)连接，证明为等腰直角三角形； (2)连接，若点，在上，且，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）根据垂径定理求出，再根据勾股定理求出，得出，再根据，即可得出为等腰直角三角形； （）连接，根据，得出，再根据为等腰直角三角形得出，从而得出． 【详解】（1）证明：∵为直径，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形； （2）证明：连接，交于， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 3．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，是的直径，是弦，点E是的中点，交于点D．连接，若，，求的长． 【答案】8 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线定理；熟练掌握垂径定理的推论：：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦是解题的关键． 连接，根据垂径定理得出，；求出的值；设的半径为r，表示出的值，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出，；再根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半可得的长． 【详解】解：连接，如图： ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 设的半径为r， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴． 4．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，是半圆O的直径，C，D是半圆上的点，，过点C作于点E，连接相交于点 F． (1)求证：； (2)若，．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定、垂径定理推论的应用及勾股定理的应用， （1）先证明，进而证明三角形全等； （2）根据（1）中结论得出，求出，设，根据勾股定理列方程并解方程即可解决． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 由（1）知， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 5．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，点在以为直径的上，，交于点，垂足，，． (1)连接，证明为等腰直角三角形； (2)连接，若点，在上，且，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）根据垂径定理求出，再根据勾股定理求出，得出，再根据，即可得出为等腰直角三角形； （）连接，根据，得出，再根据为等腰直角三角形得出，从而得出． 【详解】（1）证明：∵为直径，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形； （2）证明：连接，交于， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 6．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，是的直径，是弦，点E是的中点，交于点D．连接，若，，求的长． 【答案】8 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线定理；熟练掌握垂径定理的推论：：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦是解题的关键． 连接，根据垂径定理得出，；求出的值；设的半径为r，表示出的值，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出，；再根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半可得的长． 【详解】解：连接，如图： ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 设的半径为r， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型一：利用垂径定理解决平行弦的问题 1．（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或． 2．（25-26九年级上·河南新乡·阶段检测）已知的半径为，弦，且，，则与之间的距离为______． 【答案】或 【分析】由于弦，需分两种情况讨论：当与在圆心同侧时，距离为圆心到两弦距离之差；当在圆心两侧时，距离为圆心到两弦距离之和，利用垂径定理和勾股定理求出圆心到各弦的距离． 【详解】过点作于点，则为中点，连接， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 过点作于点，则为中点， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 如图所示，当与在圆心同侧时，与之间的距离为； 如图所示，当与在圆心两侧时，与之间的距离为． 故答案为：或． 【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理的应用，通过作圆心到弦的垂线，将弦长、半径和弦心距转化为直角三角形的三边关系，实现几何量的计算；解决本题的关键是利用分类讨论的思想，当两条平行弦在圆内时，需分弦的圆心同侧和弦在圆心两侧两种情况． 3．（25-26九年级上·河南许昌·期中）已知在中有两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是______． 【答案】或 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点作于点，交于点．    ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点作于点，延长交于点．    ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是． 综上可知与间的距离是或． 故答案为：或． 4．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）是的两条弦，且，又的直径为26，，则与间的距离为_________． 【答案】7或17 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理，解题的关键是分情况画出图形并作出正确的辅助线． 首先根据题意分情况进行讨论分析，然后分别画出相应的图形，再根据垂径定理和勾股定理，计算出圆心到两条弦的距离，最后根据图形即可推出间的距离． 【详解】解：连接，过点O作于点M， ∵， ∴直线，设垂足为点， ， ，， ， ∴在中，， 在中，， ①如下图：当，在圆心的两侧，则它们之间的距离为， ②如下图，如果、在圆心的同侧，则它们之间的距离为， ． 综上所述，，之间的距离为7或17． 故答案为： 7或17． 题型二：垂径定理中最值问题 1．（2026·江苏连云港·三模）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为10的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为______． 【答案】 【分析】根据题意画出相应的图形，利用圆周角定理、直角三角形的边角关系以及三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图所示： 如图，与等腰直角的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等， ∵同一个圆中，弦相等则弦心距相等， ∴等弦圆的圆心到等腰直角三条边的距离相等，故圆心就是等腰直角的内心， ∴当过时，且在等腰直角三角形的三边上截得的弦相等，即，此时最大， 过点分别作弦的垂线，垂足分别为，连接， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：， 即， 在中，， ∴． 2．（25-26九年级下·河南信阳·阶段检测）如图，C，D是以为直径的圆O上的两个动点（点C，D不与A，B重合），在运动过程中弦的长度始终保持不变，M是弦的中点，过点C作于点P．若，，则的最大值是__． 【答案】 【分析】延长交于点N，连接，根据垂径定理得，结合，可得，进而即可得到答案． 【详解】解：延长交于点N，连接，如图 ∵， ∴． ∵点M是弦的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴当为的直径时，的值最大，最大值为． 3．（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，长为定值的弦在以为直径的上滑动（点C、点D都不与点A、B重合），点E是的中点，过点C作于F，若，． （1）当时，的长为________； （2）在滑动过程中，的最大值是________． 【答案】 4 4 【分析】本题考查了垂径定理，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． （1）连接，，，可证得是等边三角形，再证四边形是矩形，然后即可求解； （2）延长交于点，连接，可证是的中位线，当为直径时，即，的值最大，则的值最大，即可求解． 【详解】解：（1）连接，，，如图： ， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵点E是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； （2）延长交于点，连接，如图： ， ∵，是直径， ∴，即点是的中点， ∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， 当为直径时，即，的值最大，则的值最大， ∴的最大值为：； 故答案为：（1）4；（2）4． 4．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，、，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，以为直径在第一象限作半圆，交线段于、，则线段的最大值为_____． 【答案】// 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、坐标与图形、直角三角形斜边上的中线的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 过的中点G作的垂线与交于点M，过点O作于H，连接，先求出，进而求出，再根据等面积法求出，由直角三角形斜边中线的性质得到，由垂径定理得到，由，可知当最小时，最大，即最大，再由，得到，则，即可得到． 【详解】解：过的中点G作的垂线与交于点M，过点O作于H，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，最大，即最大， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 1．（2026九年级下·甘肃临夏·学业考试）如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由垂径定理可知，在中利用勾股定理可得，从而可知，再借助三角形面积公式即可计算． 【详解】解：连接， ∵的半径是5，是的直径，弦，， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 2．（2026·广东广州·二模）花都岭南园，坐落于风景秀丽的花都湖国家湿地公园内，融合了广东地区独特的建筑风格与自然景观，展现了岭南文化的深厚底蕴和精湛技艺．园内亭台楼榭错落有致，有一处“月影通楼”的拱门建筑，外观可以看作圆形．如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的与长方形的边相切于点，点为拱门的最高点，经测量，，，则拱门最高点到地面的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点，连接，根据矩形的性质和垂径定理求得的值，通过构建直角三角形，利用勾股定理进行计算即可求解． 【详解】解：连接交于点，连接，如图： 根据题意可得：四边形是矩形，， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴，， 设的半径为，则， 在中，， 即， 解得， ∴拱门最高点到地面的距离是． 3．（25-26九年级下·福建莆田·期中）如图，点O是的外心，，，垂足分别为D、E，点M、N分别是、的中点，连接，若，则的长是（   ） A．9 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【分析】连接，由题意易得是的中位线，是的中位线，然后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点O是的外心，，， ∴点D、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点M、N分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 4．（2026·陕西咸阳·二模）如图，有一个圆弧形的门洞，，上的最高点到水平地面的距离为，则所在圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为C是弧的最高点且垂直，所以根据垂径定理所在直线必然经过弧对应圆的圆心，且D为的中点．设圆的半径为r，那么圆心到弦的距离可表示为()，的长度为的一半即．连接圆心与点A，得到直角三角形，直角边分别为弦长的一半和圆心到弦的距离，斜边为半径，因此可根据勾股定理建立关于r的一元二次方程，求解得到半径． 【详解】 解：设圆心为O，连接， ∵是弧的最高点到的距离， ∴，， ∴， ∴O、D、C三点共线， 设圆的半径为， ∵，为， ∴，． 在中，由勾股定理得： ， 代入得： ， 解得． ∴所在圆的半径为． 5．（2026·广东佛山·二模）如图，网格中的每个小正方形的边长都为1，一条圆弧经过，，三点，则这条圆弧所在圆的半径长为（     ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查网格中圆弧所在圆的半径计算，解题核心是利用垂径定理的推论确定圆心，再结合勾股定理计算半径． 【详解】解：圆弧经过，，三点，连接，， 圆心在和垂直平分线的交点， 半径． 6．（2026·湖北武汉·一模）如图，是半径为的的一条弦，点在上，过点作的垂线交于点，，则的最大值是（   ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【分析】作于点，于点，连接，，利用垂径定理求得，则，中，利用勾股定理求得，再根据完全平方公式变形，求解即可． 【详解】解：作于点，于点，连接，， ∵， ∴四边形是矩形，设，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， 在中，，即 ， ∵， ∴， ∴当且仅当时，取得最大值，最大值为100， 又∵， ∴有最大值为10，此时，满足题意； ∴的最大值是． 7．（25-26九年级下·青海西宁·开学考试）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则与之间的距离为_______． 【答案】 或 【分析】分圆心在弦与的同侧和异侧两种情况，结合垂径定理和勾股定理分别求出圆心到两条弦的距离，再根据线段的和差计算弦之间的距离即可. 【详解】解：的直径为， 的半径为， 当圆心在弦和的同侧时， 连接，，过点作于点，延长交于点， ， ， 由垂径定理得，，， 在中，由勾股定理得：； 在中，由勾股定理得：； ； 当圆心在弦和的异侧时， 同理可得，， . 综上：与之间的距离为或. 8．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，为直径，弦于点H，若，则的半径长为______． 【答案】// 【分析】连接，设圆的半径为，根据垂径定理可得，在中由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 设圆的半径为， ∵， ∴， 在中，，， ∴ 解得， ∴半径为． 9．（2026·内蒙古赤峰·二模）如图，是的直径，点在上，连接．过点作的垂线，垂足为在的垂线上截取交于点，连接，交于点．若，则的长度为_____． 【答案】 【分析】连接，根据已知条件及垂径定理得到，，，然后，由勾股定理得，，最后可得出的长． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴． 10．（2026·吉林松原·一模）图①、图②均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点，其中A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定网格中按下列要求作图． (1)在图①中，画出过点A、B、C的圆的圆心O； (2)在图②中，点D是圆上一点，画出弦，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接与格线的交点，即为所求； （2）连接交格线于点，连接并延长交圆于点，连接，则即为所求． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）解：连接交格线于点，连接并延长交圆于点，连接，则， 由圆的对称性可得：，， ∴． 11．（25-26九年级下·全国·课后作业）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长． 【答案】26寸 【分析】连接，根据垂径定理得到，在中，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：连接， ， 寸， 为的直径，弦，寸， 寸，， 在中，， ， 解得：， 为的直径， 寸． 12．（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，线段，，点D，E在以为直径的半圆O上，且四边形是平行四边形，过点O作于点F，求的长． 【答案】 【分析】根据平行四边形可得出，再根据垂径定理可得的长；再过点E作、连接，从而得到矩形，根据勾股定理进一步得、的长． 【详解】解：过点E作于点G，连接，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，即， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， 在中，． 1 / 56 学科网（北京）股份有限公司 $