课时作业53两角和与差的正切公式同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以基础巩固、能力提升、综合探究三层设计，通过公式直接应用到存在性探究的递进路径，强化两角和与差正切公式的运算能力与推理意识，适配课时教学目标。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|公式直接应用|选择1-3直接套用公式，如已知A+B=45°求(1+tanA)(1+tanB)，夯实运算基础| |提升层|公式变形与多知识点结合|选择6（多选）结合诱导公式、和角公式，填空14综合二倍角公式，培养推理能力| |综合层|综合应用与探究|解答20存在性探究问题，需构建方程思想，发展创新意识与数学表达能力|

课时作业53　两角和与差的正切公式 一、选择题 1.的值等于(　　) A．tan 42° B．tan 3° C．1 D．tan 24° 2．已知α∈(，π)，sinα＝，则tan (α＋)＝(　　) A. B．7 C． D．-7 3．已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值是(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 4．已知tan (α＋β)＝，tan (β－)＝，那么tan (α＋)等于(　　) A． B． C． D． 5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(－，2)，则tan (α－)的值为(　　) A．－3 B．－ C．－ D．－ 6．(多选)下列式子结果为的是(　　) ①tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°； ②2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)； ③；④. A．① B．② C．③ D．④ 7．已知a＝sin29°·cos127°＋cos29°·sin53°，b＝，c＝sin25°，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c B．a>b>c C．c>a>b D．a<c<b 8．已知tan(α－β)＝，tanβ＝－，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝(　　) A． B．，， C．－ D．， 9．(1＋tan1°)·(1＋tan2°)·(1＋tan3°)·…·(1＋tan44°)·(1＋tan45°)的值是(　　) A．221 B．222 C．223 D．224 10．(多选题)在△ABC中，∠C＝120°，tanA＋tanB＝，下列各式正确的是(　　) A．tanA·tanB＝ B．tan(A＋B)＝－ C．tanA＝tanB D．cosB＝sinA 二、填空题 11．tan ＋tan ＋tan tan 的值为________． 12．在△ABC中，若tan A，tan B是方程6x2－5x＋1＝0的两根，则角C＝________． 13.＝ . 14．已知tan2α＝，tan(β－α)＝，α为第三象限角，那么tan(β－2α)的值为 . 15．已知tan＝，tan＝2 ，则tan＝ ；tan(α＋β)＝ . 三、解答题 16．已知α，β均为锐角，且tanβ＝，求tan(α＋β)的值． 17．已知在锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝. (1)求证：tanA＝2tanB． (2)求tanA的值． 18．若＝3，tan (α－β)＝2，求tan (β－2α)的值． 19．已知tan (＋α)＝2，tan β＝. (1)求tan α的值； (2)求的值． 20．是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝，(2)tantanβ＝2－同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由． 课时作业53　两角和与差的正切公式 （答案） 一、选择题 1.的值等于(　　) A．tan 42° B．tan 3° C．1 D．tan 24° 解析：∴原式＝ ＝tan (60°－18°)＝tan 42°.故选A. 答案：A 2．已知α∈(，π)，sinα＝，则tan (α＋)＝(　　) A. B．7 C． D．-7 解析：sin α＝⇒cos α＝－⇒tan α＝－. ∴tan (α＋)＝＝＝.故选A. 答案：A 3．已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值是(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析：∵tan A＋tan B＝tan (A＋B)(1－tan Atan B)，A＋B＝45°，∴tan A＋tan B＝1－tan Atan B，即tan A＋tan B＋tan A tan B＋1＝2.∴(1＋tan A)(1＋tan B)＝2.故选C. 答案：C 4．已知tan (α＋β)＝，tan (β－)＝，那么tan (α＋)等于(　　) A． B． C． D． 解析：tan (α＋)＝tan ＝＝＝.故选B. 答案：B 5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(－，2)，则tan (α－)的值为(　　) A．－3 B．－ C．－ D．－ 解析：∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(－，2)，∴tan α＝＝－，∴tan (α－)＝＝＝－3 .故选A. 答案：A 6．(多选)下列式子结果为的是(　　) ①tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°； ②2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)； ③；④. A．① B．② C．③ D．④ 解析：对于①，原式＝tan (25°＋35°)[1－tan 25°tan 35°]＋tan 25°tan 35°＝tan (25°＋35°)＝； 对于②，原式＝2[sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25°] ＝2sin 60°＝； 对于③，＝＝tan 60°＝； 对于④，＝＝tan 30°＝. 故选ABC. 答案：ABC 7．已知a＝sin29°·cos127°＋cos29°·sin53°，b＝，c＝sin25°，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c B．a>b>c C．c>a>b D．a<c<b 解析：a＝sin29°·cos127°＋cos29°sin53°＝－sin29°·cos53°＋cos29°·sin53°＝sin(53°－29°)＝sin24°，b＝＝tan26°>sin26°，c＝sin25°，∵y＝sinx在(0°，90°)上为增函数，∴a<c<b.故选D． 8．已知tan(α－β)＝，tanβ＝－，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝(　　) A． B．，， C．－ D．， 解析：tanα＝tan(α－β＋β)＝＝， tan(2α－β)＝tan(α＋α－β)＝＝1， 根据tanα＝，可得0<α<，0<2α<，根据tanβ＝－，可得<β<π，∴－π<2α－β<－，可得2α－β＝－，故选C． 9．(1＋tan1°)·(1＋tan2°)·(1＋tan3°)·…·(1＋tan44°)·(1＋tan45°)的值是(　　) A．221 B．222 C．223 D．224 解析：若A＋B＝45°，则(1＋tanA)(1＋tanB)＝1＋tanA＋tanB＋tanAtanB＝1＋tan(A＋B)(1－tanAtanB)＋tanAtanB＝2，所以原式＝[(1＋tan1°)(1＋tan44°)]·[(1＋tan2°)(1＋tan43°)]·…·[(1＋tan22°)(1＋tan23°)]·(1＋tan45°)＝223，故选C． 10．(多选题)在△ABC中，∠C＝120°，tanA＋tanB＝，下列各式正确的是(　　) A．tanA·tanB＝ B．tan(A＋B)＝－ C．tanA＝tanB D．cosB＝sinA 解析：∵∠C＝120°，∴∠A＋∠B＝60°， ∴tan(A＋B)＝＝，∴B错； ∵tanA＋tanB＝(1－tanA·tanB) ＝，∴tanA·tanB＝①，∴A正确； 又tanA＋tanB＝②，由①②联立解得tanA＝tanB＝，所以cosB＝sinA，故C，D正确．综上，A，C，D正确．故选ACD． 二、填空题 11．tan ＋tan ＋tan tan 的值为________． 解析：原式＝tan (＋)(1－tan tan )＋ tan tan ＝(1－tan tan )＋tan tan ＝. 答案： 12．在△ABC中，若tan A，tan B是方程6x2－5x＋1＝0的两根，则角C＝________． 解析：由题意得tan A＋tan B＝，tan A tan B＝， ∴tan (A＋B)＝＝＝1. 又A＋B＋C＝π， ∴tan C＝－tan (A＋B)＝－1，∴C＝. 答案： 13.＝ . 解析：＝－＝－. 答案：－. 14．已知tan2α＝，tan(β－α)＝，α为第三象限角，那么tan(β－2α)的值为 . 解析：依题意，知tanα＝，tan(β－α)＝， ∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α] ＝＝＝－. 答案：－. 15．已知tan＝，tan＝2 ，则tan＝ ；tan(α＋β)＝ . 解析：tan＝tan ＝＝＝－. tan(α＋β)＝tan＝ ＝＝2－3. 答案：－；2－3. 三、解答题 16．已知α，β均为锐角，且tanβ＝，求tan(α＋β)的值． 解：tanβ＝＝＝tan，因为α，β均为锐角，所以－<－α<，0<β<， 又y＝tanx在上是单调函数，所以β＝－α，即α＋β＝，所以tan(α＋β)＝1. 17．已知在锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝. (1)求证：tanA＝2tanB． (2)求tanA的值． 解：(1)证明：sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝　①， sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝　②. ①＋②并化简得sinAcosB＝， ①－②并化简得cosAsinB＝. ∴＝2.∴＝2，即tanA＝2tanB． (2)∵A＋B＋C＝π，∴sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝， ∴tanC＝(△ABC是锐角三角形)． 又tan(A＋B)＝－tanC＝－. ∴＝＝－，解得tanB＝或tanB＝(舍去)，∴tanA＝2＋. 18．若＝3，tan (α－β)＝2，求tan (β－2α)的值． 解：∵＝＝3，∴tan α＝2. 又tan (α－β)＝2， ∴tan (β－2α)＝tan [(β－α)－α]＝－tan [(α－β)＋α] ＝－＝. 19．已知tan (＋α)＝2，tan β＝. (1)求tan α的值； (2)求的值． 解：(1)∵tan (＋α)＝2， ∴＝2，解得tan α＝. (2)原式＝ ＝＝＝tan (β－α) ＝＝＝. 20．是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝，(2)tantanβ＝2－同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由． 解：假设存在锐角α，β使得(1)α＋2β＝， (2)tantanβ＝2－同时成立． 由(1)得＋β＝， 所以tan(＋β)＝＝. 又tantanβ＝2－， 所以tan＋tanβ＝3－， 因此tan，tanβ可以看成是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根． 解得：x1＝1，x2＝2－.若tan＝1，则α＝. 这与α为锐角矛盾． 所以tan＝2－，tanβ＝1，所以α＝，β＝. 所以满足条件的α，β存在，且α＝，β＝. 学科网（北京）股份有限公司 $