精品解析：福建泉州市台商区2025-2026学年第二学期学业水平质量抽测八年级数学

2025—2026学年第二学期学业水平质量抽测 八年级数学 本试卷共6页．满分150分． 注意事项： 1．答题前，考生务必在试卷、答题卡规定位置填写本人的准考证号、姓名等信息． 考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、 姓名是否一致． 2．考生答题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 一．选择题：本题共14小题，每小题2分，共28分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件可得，求解即可得到答案，熟练掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 的取值范围是， 故选：D． 2. 如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标特征进行作答即可． 【详解】解：依题意，小手盖住的是第四象限的点，其点坐标特征为：横坐标为正数，纵坐标为负数， ∴小手盖住的点的坐标可能为， 选项符合题意． 3. 我国已经进入5G时代，自动驾驶技术和远程外科手术技术得以进一步发展．下列通信公司标志中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意； B．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原图形重合． 4. 宋朝•杨万里有诗曰：“只道花无十日红，此花无日不春风．一尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”．月季被誉为“花中皇后”，月季也是南阳市的市花，具有非常高的观赏价值．某品种的月季花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 5. 小馨同学按如下步骤作四边形； （1）画； （2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，； （3）分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点； （4）连接，，．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据作图步骤判断四边形的边长关系，因为，所以四边形是菱形，利用菱形性质得到对角相等的性质，得到与的等量关系，结合等腰的角度关系推导的度数． 【详解】解：从作图过程可知：， ∴四边形是菱形， ∴， ∴． 6. 某中学校园文化艺术节歌唱比赛有15名同学参赛，得分前8名的同学进入决赛，经过角逐，这15名同学的得分各不相同，小明知道自己的得分后，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这15名同学得分的（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数的知识，熟练掌握中位数的定义是解题关键．根据中位数的定义分析判断即可． 【详解】解：15个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有8个数，故只要知道自己的成绩和中位数，就可以知道是否进入决赛． 故选：D． 7. 如图，的对角线交于点，且，，若的周长为12，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得，，根据的周长为12得，根据勾股定理的逆定理得，则，可得平行四边形是菱形，即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∵的周长为12， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴的周长为：， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，菱形的判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 8. 如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将、两点代入函数，求出的值，再结合图象，根据函数的图象在函数的图象上方部分对应的自变量取值直接作答即可． 【详解】解：将，两点代入， 得，， 解得：， ，， 由图象可知，当时，函数的图象在函数的图象上方， 当时，的取值范围是． 9. 如图，矩形的顶点坐标为，是的中点，为上的一点，当的周长最小时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作点A关于y轴的对称点A'，连接A'D，此时△ADE的周长最小值为AD+DA'的长；E点坐标即为直线A'D与y轴的交点． 【详解】解：作点A关于y轴的对称点A'，连接A'D， 此时△ADE的周长最小值为AD+DA'的长； ∵A的坐标为（-4，5），D是OB的中点， ∴D（-2，0）， 由对称可知A'（4，5）， 设A'D的直线解析式为y=kx+b， 当x=0时，y= 故选：B 【点睛】本题考查矩形的性质，线段的最短距离；能够利用轴对称求线段的最短距离，将AE+DE的最短距离转化为线段A'D的长是解题的关键． 10. 如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，以为顶点作线段，使且，且点恰好落在上，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作交于点，交于点，证明四边形是矩形，得出，利用勾股定理求出，再证明，得出，再利用勾股定理依次求出，，最后利用线段和差关系求解即可求出结论． 【详解】解：过点作交于点，交于点， 在正方形中，，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， ，， ， （负值已舍去）， ， ， ， ， ， 在中，，， ，即， （负值已舍去）， ， ， ． 二．填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分，将答案填入答题卡的相应位置．） 11. 若分式的值为0，则的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式值为的条件，掌握分式值为的条件是分子为且分母不为，注意排除使分母为的解是解题的关键． 分式的值为的条件是分子等于且分母不等于． 【详解】解：由分式的值为，得分子且分母 解方程，即，得或 当 时，分母，分式无意义，故舍去； 因此． 故答案为：． 12. 如图，在中，已知，，平分交于点，则的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由平行四边形对边平行且相等，得到，，，从而得到．再结合是角平分线即可得到，由等角对等边推导出边的长度，最后得到边的长度． 【详解】四边形是平行四边形， ，，， ， 平分交边于点， ， ， ， ， ． 13. 泉州花灯（如图）是国家级非物质文化遗产，融合刻纸、针刺、彩扎等传统工艺，造型精美且富含闽南文化内涵．某中学举办“泉州花灯文化节”创意比赛，从工艺还原度、创意设计和文化诠释三个维度对学生作品进行评分，其中甲、乙两位同学的成绩如下表（单位：分）： 学生 工艺还原度 创意设计 文化诠释 甲 乙 若学校将工艺还原度、创意设计和文化诠释三个维度得分按照确定每个人的最终成绩，经计算，___________（填：甲或乙）能获得本次比赛的“最佳创意奖”． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了求加权平均数做决策的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据加权平均数做决策的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：甲：， 乙：， ∵， ∴乙的成绩低于甲的成绩， ∴甲能获得本次比赛的“最佳创意奖”， 故答案为：甲； 14. 已知，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，由得出，将变形为是解题的关键．由已知条件得出，然后代入所求表达式的分子和分母进行化简即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，已知中，点是边上的中点，平分，于点，若，，则的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点D，因为平分且，所以可通过角边角证明，得到．因为M是的中点，N是中点，所以是的中位线，根据中位线定理得到与的数量关系．结合，代入已知线段长度即可求解． 【详解】解：延长交于点D， ∵平分， ∴； ∵， ∴； 又， ∴． ∴． ∵M是的中点， ∴，即是的中位线， ∴． ∴． 16. 如图，四边形是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限内的点分别在双曲线和的一支上，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为和，则有以下的结论： ①若点坐标为，点坐标为，则； ②阴影部分的面积为； ③当时，； ④若四边形是菱形，则两双曲线既关于轴对称，也关于轴对称． 其中正确的结论是_____________（填写正确结论的序号）． 【答案】 【解析】 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ，， 点坐标为，点坐标为， ，， 点的坐标为， 把代入得：，结论符合题意 点在双曲线的一支上，点在双曲线的一支上， ，， ，， 阴影部分的面积为，结论不符合题意． 当时，是矩形， 不一定等于, 与不一定全等， 不一定等于，结论不符合题意． 连结交轴于点， 四边形是菱形， ，， 点、关于轴对称， 如图所示的两个图像关于轴对称， 双曲线和各自关于原点对称， 两双曲线既关于轴对称，也关于轴对称，结论符合题意． 三．解答题（本题共9小题，共86分，解答题写出文字说明、证明过程或者演算步骤，在答题卡的相应位置作答．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】分别化简算术平方根、零次幂、负指数幂、绝对值，再依次求和计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，在中，点在边上，点在边上，．求证：． 【答案】证明：∵四边形为平行四边形． 即，． 又 ∴四边形为平行四边形 ∴ ， 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，．证明四边形为平行四边形，则，即可得到结论． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值；先对括号内进行通分运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，然后代值计算，即可求解；掌握分式化简的步骤是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式 ． 20. 泉州闽超联赛赛前体能测试，对、两名本土前锋进行1分钟折返冲刺跑动距离测试（单位：米），相同场地与热身条件下，每人测试5次，数据统计如下表： 前锋 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 平均数 众数 95 90 95 85 100 95 90 90 95 95 93 （1）表格中___________，___________，___________； （2）求球员1分钟跑动距离的方差； （3）已知B球员该项数据方差为6，结合平均数、方差，判断哪位球员的冲刺发挥更稳定，说明理由． 【答案】（1），， （2）26 （3）因为，，，， 所以，， 所以B球员的冲刺发挥更稳定． 【解析】 【分析】（1）根据平均数、众数和方差的定义进行解答即可； （2）根据方差的定义进行解答即可； （3）结合平均数、方差进行判断即可． 【小问1详解】 解：由题意可得， ∵的平均数为93， ∴， 解得． ∴B的数据中出现次数最多的是，共出现3次，故众数； 【小问2详解】 解：球员1分钟跑动距离的方差； 【小问3详解】 略 21. 安溪是我国知名铁观音茶叶主产区，制茶产业历史悠久，是全国重要的茶叶产销集散地．已知每千克甲种茶叶进价比每千克乙种茶叶进价少元，且元采购甲种茶叶的重量与元采购乙种茶叶的重量相同． （1）求甲、乙两种茶叶的进价； （2）某茶叶门店计划购进两种铁观音共千克，且甲种茶叶的重量至少是乙种茶叶重量的，若甲种茶叶按元/千克出售，乙种茶叶按元/千克出售，求商店销售完两种茶叶获得的最大利润为多少元？ 【答案】（1）每千克甲种茶叶的进价是元，每千克乙种茶叶的进价是元 （2）商店销售完两种茶叶获得的最大利润为元 【解析】 【分析】（1）设每千克甲种茶叶的进价是元，则每千克乙种茶叶的进价是元，根据元采购甲款茶叶的重量与元采购乙款茶叶的重量相同列方程解决即可； （2）设购进千克甲种茶叶，则购进千克乙种茶叶，商店销售完两种茶叶获得的总利润为元，列出函数表达式，根据一次函数性质解决即可． 【小问1详解】 解：设每千克甲种茶叶的进价是元，则每千克乙种茶叶的进价是元， 根据题意得， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元）． 答：每千克甲种茶叶的进价是元，每千克乙种茶叶的进价是元； 【小问2详解】 解：设购进千克甲种茶叶，则购进千克乙种茶叶， 根据题意得，， 解得， 设商店销售完两种茶叶获得的总利润为元，则， 即， ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值为（元）． 答：商店销售完两种茶叶获得的最大利润为元． 22. 如图，在菱形中，，，是中点． （1）求的长； （2）在直线上求作点，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （3）在（2）的条件下求的面积． 【答案】（1） （2）解：点、如图所示； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由菱形的性质可得为等边三角形，则，，再利用勾股定理求解即可； （2）以为圆心，长为半径作圆，与直线交于点、，则，由等边可得等角； （3）设到的距离为，利用的面积求出，再根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ，． ， 为等边三角形． 是中点， ，． ∴在中，． ， ， ∴在中，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）可知，， ， 设到的距离为， ， ， ，， 即的面积为． 23. 【问题情境】我们在学习分式的时候，课本上有这样的一个习题：在一杯糖水中再加入糖之后，生活经验告诉我们：这杯糖水的含糖量会比原来要高．用2千克的水配制糖水溶液，如果往里面不断地加糖，那么其浓度会越来越_____（填“大”或“小”）、设加入的糖为千克，糖水溶液的浓度为，则有，下面研究函数的图象与性质． 【性质探究】参照学习函数的过程，因为，即，所以我们对比函数来探究．列表： … 1 2 3 4 … … 1 2 4 … 0 1 2 … 1 2 3 4 … … … （备注：下表中的取值比上表中的取值对应的小2．） 描点：如图所示． （1）请把直线左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来； （2）观察图象并分析表格，函数的图象是由的图象向_____平移2个单位而得到，再向_____平移1个单位而得到； （3）观察图象发现，当时，随的增大而增大，这也验证了【问题情境】中的“生活经验”．设，是函数的图象上的两点，请你用代数的方法证明：对任意的，，当时，总有成立． 【答案】问题情境：大；（1）见解析；（2）左，上；（3）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了画反比例函数图象，反比例函数图象的平移问题，分式的减法计算，正确理解题意是解题的关键． 问题情境：根据生活常识即可得到答案； （1）根据表格中的数据，描点，连线画出函数图象即可； （2）根据表格中的数据即可得到答案； （3）利用作差法可得，据此可证明结论． 【详解】解：问题情境：往里面不断地加糖，那么其浓度会越来越大， 故答案为：大； （1）如图所示，即为所求： （2）由题意得，函数的图象是由的图象向左平移2个单位而得到，再向上平移1个单位而得到； 故答案为：左，上； （3） ， ， ，，， ， ， ． 24. 在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：如图①，在中，，，点，在边上，且，，，求的长． 解：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接． （1）【问题解决】将上述解题过程补充完整． （2）刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】如图③，在正方形中，点，分别在边，上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连接，，分别与对角线交于，两点．探究，，的数量关系并证明． （3）【拓展应用】如图④，在矩形中，点，分别在边，上，且．探究，，的数量关系：（直接写出结论，不必证明）． 【答案】（1）解：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接． 由旋转的特征得，，，． ，， ． ， ，即， ． 在和中， ， ． 又， 在中，． ，， ； （2）； 证明：如图③，将绕点逆时针旋转，得到，过点作交于，连接， 由旋转的性质可得，，， 由题意可得， ． 在和中， ， ， ． 为正方形的对角线， ． ， ． 在和中， ， ， ，． 在和中， ， ， ． 在中，由勾股定理得， ； （3）； 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，进而证明可得，再说明、，再运用勾股定理即可解答； （2）由旋转的性质以及题意可得，再证明可得，再结合正方形的性质可证得，易证可得，最后在中运用勾股定理即可解答； （3）如图4所示，延长交延长线于M点，交延长线于N点，将绕着点A顺时针旋转得到，连接．过点H作直线于点O，则可得，再说明是等腰直角三角形，即；由（2）知，则；再根据勾股定理可得，最后运用等量代换即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：； 如图④，延长交延长线于，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，连接、，作交延长线于点， ， ，． ∵，， 为等腰直角三角形， ． 由【知识迁移】可得， ，， 由勾股定理得， ． ，，， ， ， ． 25. 已知直线（，为常数）过定点，且交轴于点，交轴于点． （1）若直线经过点求直线的解析式和直接写出点的坐标； （2）求面积的最小值； （3）若，点在内部且到各边距离之和为，问：是否存在点，使得以、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）24 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）将代入即可求出的值；将解析式整理得出，得出直线过定点，与取值无关，令，求出的值，即可求出定点； （2）分别用含的代数式表示出点和点的坐标，根据三角形的面积公式求出，即可求解； （3）先求出解析式为，求出点和点的坐标，根据勾股定理求出的长，连接，，，设点的坐标为，根据得出，即可得出，分情况讨论，根据菱形的性质，列出方程求出的值，即可求出点的坐标，根据菱形的对角线互相平分，结合中点坐标即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：过点， ， ． ∴直线的解析式为：， 直线过定点，与取值无关， ， ， ． ∴直线过定点，即点的坐标为； 【小问2详解】 解：当定点为中点时，面积最小， 理由：对于，，如图： 令得， 令得， 即点的坐标为， 点的坐标为， ， 即面积的最小值为． 【小问3详解】 解：，直线解析式为， 令得，令得， 即点的坐标为，点的坐标为， 故，， 在中，； 连接，，，设点的坐标为， 则， 即， 整理得， 即， 故； ∵以、、、四点为顶点的四边形是菱形， 情况一：若为边，点在内部，这样的菱形不存在； 情况二：若为对角线，取中点， 则， 如图，四边形是菱形， 则，点是的中点， ，，， ， 解得， ． ∵点是的中点，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期学业水平质量抽测 八年级数学 本试卷共6页．满分150分． 注意事项： 1．答题前，考生务必在试卷、答题卡规定位置填写本人的准考证号、姓名等信息． 考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、 姓名是否一致． 2．考生答题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 一．选择题：本题共14小题，每小题2分，共28分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 2. 如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 3. 我国已经进入5G时代，自动驾驶技术和远程外科手术技术得以进一步发展．下列通信公司标志中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 宋朝•杨万里有诗曰：“只道花无十日红，此花无日不春风．一尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”．月季被誉为“花中皇后”，月季也是南阳市的市花，具有非常高的观赏价值．某品种的月季花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 小馨同学按如下步骤作四边形； （1）画； （2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，； （3）分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点； （4）连接，，．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 某中学校园文化艺术节歌唱比赛有15名同学参赛，得分前8名的同学进入决赛，经过角逐，这15名同学的得分各不相同，小明知道自己的得分后，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这15名同学得分的（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 7. 如图，的对角线交于点，且，，若的周长为12，则的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形的顶点坐标为，是的中点，为上的一点，当的周长最小时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，以为顶点作线段，使且，且点恰好落在上，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分，将答案填入答题卡的相应位置．） 11. 若分式的值为0，则的值为_____． 12. 如图，在中，已知，，平分交于点，则的长为_____________． 13. 泉州花灯（如图）是国家级非物质文化遗产，融合刻纸、针刺、彩扎等传统工艺，造型精美且富含闽南文化内涵．某中学举办“泉州花灯文化节”创意比赛，从工艺还原度、创意设计和文化诠释三个维度对学生作品进行评分，其中甲、乙两位同学的成绩如下表（单位：分）： 学生 工艺还原度 创意设计 文化诠释 甲 乙 若学校将工艺还原度、创意设计和文化诠释三个维度得分按照确定每个人的最终成绩，经计算，___________（填：甲或乙）能获得本次比赛的“最佳创意奖”． 14. 已知，则_______． 15. 如图，已知中，点是边上的中点，平分，于点，若，，则的长为_____________． 16. 如图，四边形是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限内的点分别在双曲线和的一支上，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为和，则有以下的结论： ①若点坐标为，点坐标为，则； ②阴影部分的面积为； ③当时，； ④若四边形是菱形，则两双曲线既关于轴对称，也关于轴对称． 其中正确的结论是_____________（填写正确结论的序号）． 三．解答题（本题共9小题，共86分，解答题写出文字说明、证明过程或者演算步骤，在答题卡的相应位置作答．） 17. 计算：． 18. 如图，在中，点在边上，点在边上，．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中 20. 泉州闽超联赛赛前体能测试，对、两名本土前锋进行1分钟折返冲刺跑动距离测试（单位：米），相同场地与热身条件下，每人测试5次，数据统计如下表： 前锋 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 平均数 众数 95 90 95 85 100 95 90 90 95 95 93 （1）表格中___________，___________，___________； （2）求球员1分钟跑动距离的方差； （3）已知B球员该项数据方差为6，结合平均数、方差，判断哪位球员的冲刺发挥更稳定，说明理由． 21. 安溪是我国知名铁观音茶叶主产区，制茶产业历史悠久，是全国重要的茶叶产销集散地．已知每千克甲种茶叶进价比每千克乙种茶叶进价少元，且元采购甲种茶叶的重量与元采购乙种茶叶的重量相同． （1）求甲、乙两种茶叶的进价； （2）某茶叶门店计划购进两种铁观音共千克，且甲种茶叶的重量至少是乙种茶叶重量的，若甲种茶叶按元/千克出售，乙种茶叶按元/千克出售，求商店销售完两种茶叶获得的最大利润为多少元？ 22. 如图，在菱形中，，，是中点． （1）求的长； （2）在直线上求作点，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （3）在（2）的条件下求的面积． 23. 【问题情境】我们在学习分式的时候，课本上有这样的一个习题：在一杯糖水中再加入糖之后，生活经验告诉我们：这杯糖水的含糖量会比原来要高．用2千克的水配制糖水溶液，如果往里面不断地加糖，那么其浓度会越来越_____（填“大”或“小”）、设加入的糖为千克，糖水溶液的浓度为，则有，下面研究函数的图象与性质． 【性质探究】参照学习函数的过程，因为，即，所以我们对比函数来探究．列表： … 1 2 3 4 … … 1 2 4 … 0 1 2 … 1 2 3 4 … … … （备注：下表中的取值比上表中的取值对应的小2．） 描点：如图所示． （1）请把直线左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来； （2）观察图象并分析表格，函数的图象是由的图象向_____平移2个单位而得到，再向_____平移1个单位而得到； （3）观察图象发现，当时，随的增大而增大，这也验证了【问题情境】中的“生活经验”．设，是函数的图象上的两点，请你用代数的方法证明：对任意的，，当时，总有成立． 24. 在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：如图①，在中，，，点，在边上，且，，，求的长． 解：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接． （1）【问题解决】将上述解题过程补充完整． （2）刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】如图③，在正方形中，点，分别在边，上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连接，，分别与对角线交于，两点．探究，，的数量关系并证明． （3）【拓展应用】如图④，在矩形中，点，分别在边，上，且．探究，，的数量关系：（直接写出结论，不必证明）． 25. 已知直线（，为常数）过定点，且交轴于点，交轴于点． （1）若直线经过点求直线的解析式和直接写出点的坐标； （2）求面积的最小值； （3）若，点在内部且到各边距离之和为，问：是否存在点，使得以、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $