精品解析： 福建省泉州市第六中学2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年福建省泉州六中八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 某中学青年志愿者协会的名志愿者，一周的社区志愿服务时间如下表所示： 时间 人数 关于志愿者服务时间的描述正确的是（ ） A. 平均数是 B. 中位数是 C. 众数是 D. 方差是 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 4. 甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则根据题意列出方程是（ ） A. B. C. D. 5. 方程的解是（　　） A. B. C. D. 无解 6. 如图，两条直线和的关系式分别为，两直线的交点坐标为，当时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的顶点A的坐标为，D是OB的中点，E是OC上的一点，当的周长最小时，点E的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 已知一次函数与反比例函数（）的图象没有交点，则k的值可以为（ ） A. 1 B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，点P和点Q分别在边和上运动（不与A、C、D重合），满足，连接、交于点E，在运动过程中，则下列四个结论正确的是（ ） ①；②的度数不变；③； A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 10. 如图，在正方形中，点分别在上，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 某校举行校园十佳歌手大赛，小张同学的初赛成绩为80分，复赛成绩为90分．若总成绩按初赛成绩占，复赛成绩占来计算，则小张同学的总成绩为 ___________分． 12. 设、是方程的两个实数根，则___________． 13. 已知，一次函数的值随值的增大而减小，则常数的取值范围是______． 14. 已知点，为反比例函数图象上的两点，当时，，则的取值范围为______． 15. 如图，在中，垂直平分于点，，，则的对角线的长为_____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，、两点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，且，是第二象限一点，且，若的面积是12，则的值为________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程：（2x+1）（x﹣1）=4． 18. 先化简，再求值：，再从，0，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． 19. 如图，在平行四边形中，点、分别在对角线上，且．求证：四边形是平行四边形． 20. 如图，矩形的对角线，相交于点O，，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求菱形的面积． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，求a的值． 22. 数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为，宽为的长方形纸板，如图，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒． （1）当礼盒底面的长是宽的4倍时，求该长方体礼品盒的体积； （2）当礼盒的侧面的面积为，求剪去的小正方形的边长． 23. 根据以下素材，探索完成任务   探究通过维修路段的最短时长 素材 如图，某路段段需要维修，临时变成双向交替通行，故在，处各设置红绿灯指导交通仅设置红灯与绿灯． 素材 甲车先由通行，乙车再由通行，甲车经过，，段的时间分别为，，，它的路程与时间的关系如图所示；两车经过段的速度相等，乙车经过段的速度是． 素材 红绿灯，每秒一个循环，每个循环内红灯，绿灯的时长如图，且每次双向红灯时，已经进入段的车辆都能及时通过该路段． 问题解决 任务 甲车经过段的速度为______； 任务 在图中补全乙车通过维修路段时行驶的路程与时间之间的函数图象； 任务 丙车沿方向行驶，经过段的车速与乙车经过时的速度相同，在段等红灯时车辆开始行驶后速度为，等红灯时车流长度每秒增加，设红绿灯由绿灯变为红灯后的秒后丙车到达，丙车在段从开始等待至离开点需要秒，求关于的解析式； 24. 如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为． （1）当______时，四边形是矩形； （2）当______时，四边形是菱形； （3）是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由； （4）在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 25. 阅读材料，若点到直线，的距离相等，则称点为直线，的关联点． 例如：如图，在平面直角坐标系中，点到轴和轴的距离相等，故是轴和轴的关联点． 在平面直角坐标系中，已知，直线：交轴于点，交轴于点，点为轴上一个点； （1）直线经过点， ①______，若在直线上，则比较与的大小：______； ②当点坐标为时，点恰好为直线、的关联点，求直线的解析式； （2）若，为中点，点为线段上一点，且为轴和轴的关联点，将绕点逆时针旋转至，求证：点为直线：与直线：的关联点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年福建省泉州六中八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式，根据分式的定义逐一判断即可求解，熟记：“如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母”是解题的关键． 【详解】解：、、不是分式，则A、B、D选项不符合题意； 是分式，则C选项符合题意； 故选C． 2. 某中学青年志愿者协会的名志愿者，一周的社区志愿服务时间如下表所示： 时间 人数 关于志愿者服务时间的描述正确的是（ ） A. 平均数是 B. 中位数是 C. 众数是 D. 方差是 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数，中位数，众数，方差的定义，逐一进行求解判断即可． 【详解】解：， 平均数为，故正确； 时间从小到大排序：，，，，，，，，，，第，个数都是， 中位数是，故答案错误； 这组志愿者服务时间小时的有人，小时的有人， 志愿者服务时间的众数为和，故错误； ， 方差是，故错误． 故选：． 【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的定义，掌握上述定义和计算方法是解答本题的关键． 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把方程变形为x2−4x＝7，然后把方程两边加上4后利用完全平方公式写为（x−2）2＝11即可． 【详解】x2−4x＝7， x2−4x＋4＝11， 所以（x−2）2＝11． 故选A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成（x＋m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 4. 甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则根据题意列出方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意得： ， 故选：C． 5. 方程的解是（　　） A. B. C. D. 无解 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握分解方程的计算步骤是关键，根据解分式方程的方法，将分式方程化为一元一次方程求解，检验根的情况即可求解． 【详解】解： 变形可得： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 把的系数化为1得：， 检验：把代入最简公分母， ∴原分式方程无解． 故选：D． 6. 如图，两条直线和的关系式分别为，两直线的交点坐标为，当时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接观察图像解答即可． 【详解】解：∵两条直线和的交点坐标为， 观察图像可得，当时，． 故选 ：D 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式与一次函数的关系，掌握数形结合法是解题的关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的顶点A的坐标为，D是OB的中点，E是OC上的一点，当的周长最小时，点E的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出A点关于y轴的对称点，连接，与y轴交于点E，根据连接两点的连线中，线段最短，可知此时的周长最小，再由待定系数法求得直线DA′函数式，进而求出点E的坐标即可． 【详解】解：如图，作A点关于y轴的对称点，连接，与y轴交于点E， 此时的周长最小， ∵， ∴， 设直线表达式是 ， 则， 解得：， ∴， 所以点E的坐标是． 故选B． 【点睛】本题考查了根据轴对称求最短距离问题，待定系数法求一次函数解析式，以及关于坐标轴对称的点的坐标特点，解题的关键是根据对称把AE转化为 ，利用两点之间线段最短的性质解决问题． 8. 已知一次函数与反比例函数（）的图象没有交点，则k的值可以为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，依据题意，先把两函数的解析式组成方程组，再转化为求一元二次方程解答问题，求出的取值范围，找出符合条件的的值即可．根据题意把函数的交点问题转化为求一元二次方程解的问题是解答此题的关键． 【详解】解：反比例函数与一次函数的图象没有交点， 方程组无解，即无解． 方程的，解得． 四个选项中只有，所以只有选项B符合条件． 故选：B． 9. 如图，在菱形中，，点P和点Q分别在边和上运动（不与A、C、D重合），满足，连接、交于点E，在运动过程中，则下列四个结论正确的是（ ） ①；②的度数不变；③； A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识点是解题的关键． 证明可得，，，进而判断①；进而可得，进而判断②；根据，进而判断③． 【详解】解：∵是菱形，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴，即 ∴， ∴，，，故①正确； ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴，故②正确． 故选：D． 10. 如图，在正方形中，点分别在上，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，由正方形的性质得，，将绕点顺时针旋转得，则三点共线，证明，得，进而求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：在正方形中，，， 将绕点顺时针旋转得，则三点共线，如图所示， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 某校举行校园十佳歌手大赛，小张同学的初赛成绩为80分，复赛成绩为90分．若总成绩按初赛成绩占，复赛成绩占来计算，则小张同学的总成绩为 ___________分． 【答案】86 【解析】 【分析】根据加权平均数计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】解：小张同学的总成绩为分． 故答案为：86 【点睛】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的公式是解题的关键． 12. 设、是方程的两个实数根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此得到，再由进行求解即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 已知，一次函数的值随值的增大而减小，则常数的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的增减性，由一次函数中，值随值的增大而减少，可得，进而即可求解． 【详解】解：一次函数中，值随值的增大而减少， ， 解得：． 故答案为：． 14. 已知点，为反比例函数图象上的两点，当时，，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【详解】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围． 【点睛】解：∵反比例函数的图象上两点，，当时，， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 如图，在中，垂直平分于点，，，则的对角线的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，连接，过点作延长线于点，，，，，在中，由此勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，勾股定理的运用，掌握菱形的性质是关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，、两点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，且，是第二象限一点，且，若的面积是12，则的值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的的几何意义，过作轴于，过作轴于，连接，证明，可得，设，而，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：过作轴于，过作轴于，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，而， ∴的纵坐标为， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：8． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程：（2x+1）（x﹣1）=4． 【答案】x= 【解析】 【分析】整理成一般式后利用公式法求解可得． 【详解】整理成一般式可得2x2﹣x﹣5=0， ∵a=2，b=﹣1，c=﹣5， ∴△=1﹣4×2×（﹣5）=41＞0， ∴x=． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18. 先化简，再求值：，再从，0，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】；当时，原式，当时，原式 【解析】 【分析】先根据分式混合运算法则把原式进行化简，再求出m的取值范围，选取合适的m的值代入进行计算即可． 【详解】解： ∵ 当时，原式 当时，原式 19. 如图，在平行四边形中，点、分别在对角线上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【详解】证明：∵四边形是平行四边形 又 即 四边形为平行四边形． 20. 如图，矩形的对角线，相交于点O，，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵矩形中，， ∴平行四边形是菱形； （2）6 【解析】 【分析】（1）先根据矩形的性质求得，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形分析推理； （2）根据矩形的性质求得的面积，然后结合菱形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵矩形中，，， ∴， 由菱形和矩形的中心对称性可知：， 又∵， ∴， ∴菱形的面积是． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、菱形的判定和性质，属于中考基础题，掌握矩形的性质和菱形的判定方法，正确推理论证是解题关键． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，求a的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴该方程总有两个实数根； （2）4 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，因式分解法解方程： （1）求出判别式的符号，判断即可； （2）因式分解法解方程，再根据其中一个根是另一个根的3倍，分两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴或， ∴， ∵方程的根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍， ∴或， 解得或（舍去）， ∴a的值为4． 22. 数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为，宽为的长方形纸板，如图，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒． （1）当礼盒底面的长是宽的4倍时，求该长方体礼品盒的体积； （2）当礼盒的侧面的面积为，求剪去的小正方形的边长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程和一元一次方程的实际应用，长方体的体积公式，正确理解题意是解题的关键． （1）设小正方形的边长为，则礼盒底面的长是，宽为，根据礼盒底面的长是宽的4倍，建立一元一次方程求解，即可求解长、宽、高，即可求解体积； （2）设剪去的小正方形的边长为，由题意得：，再解一二次方程即可． 【小问1详解】 解：设小正方形的边长为，则礼盒底面的长是，宽为， 由题意得：， 解得：， ∴长为，宽为6，高为， ∴体积为：； 【小问2详解】 解：设剪去的小正方形的边长为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或（舍）， ∴剪去的小正方形的边长为． 23. 根据以下素材，探索完成任务   探究通过维修路段的最短时长 素材 如图，某路段段需要维修，临时变成双向交替通行，故在，处各设置红绿灯指导交通仅设置红灯与绿灯． 素材 甲车先由通行，乙车再由通行，甲车经过，，段的时间分别为，，，它的路程与时间的关系如图所示；两车经过段的速度相等，乙车经过段的速度是． 素材 红绿灯，每秒一个循环，每个循环内红灯，绿灯的时长如图，且每次双向红灯时，已经进入段的车辆都能及时通过该路段． 问题解决 任务 甲车经过段的速度为______； 任务 在图中补全乙车通过维修路段时行驶的路程与时间之间的函数图象； 任务 丙车沿方向行驶，经过段的车速与乙车经过时的速度相同，在段等红灯时车辆开始行驶后速度为，等红灯时车流长度每秒增加，设红绿灯由绿灯变为红灯后的秒后丙车到达，丙车在段从开始等待至离开点需要秒，求关于的解析式； 【答案】任务1：；任务2：见解析；任务3： 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用、一次函数的性质，理清题意，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数是解题关键． 任务1、根据函数图象（图2）中的数据，即可作答； 任务2、根据函数图象（图2）中的数据，得出、、的路程，再结合图3中的红绿灯时间得出乙车行驶的总时间，进而求出经过、、时的时间，即可作图； 任务3、设红绿灯2由绿灯变成红灯后x秒丙车到达，则丙车需等待秒，记车在段等待红灯至离开点A需要y秒，则可得，再整理即可． 【详解】解：任务1：段的路程为：（米）， 甲车经过段的时间为：（秒）， 则甲车经过段的速度为：； 故答案为：8； 任务2：根据函数图象（图2）中的数据，可知：、、， 根据图4中可得乙车经过段的时间：， 乙车经过段的时间为：， 甲车经过段的速度为：， 则乙车经过段的速度为， 即乙车经过段的时间为： ∴， 即补全函数图象如图． 任务3：设红绿灯2由绿灯变成红灯后x秒丙车到达，则丙车需等待秒， 记车在段等待红灯至离开点A需要y秒， 则， 24. 如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为． （1）当______时，四边形是矩形； （2）当______时，四边形是菱形； （3）是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由； （4）在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【答案】（1） （2） （3）不存在；理由见解析 （4）当等于或时，翻折后点的对应点恰好落在边上 【解析】 【分析】（1）当四边形是矩形时，，据此求得t的值； （2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t； （3）过Q作，交于M，，得出四边形是矩形，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出结论； （4）根据折叠的性质得出，，，，进而在中，，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：由已知可得，，， 在矩形中，，，， 当时，四边形为矩形， ∴， 解得：， 故当时，四边形为矩形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， 根据勾股定理得：，， ∴此时， 解得， 故当时，四边形为菱形； 【小问3详解】 解：不存在某一时刻t使得；理由如下： 过Q作，交于M，如图所示： 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此方程无实数根， ∴不存在某一时刻t使得； 【小问4详解】 解：如图2， 根据折叠可知：，，，， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得：， ∴，即：， 解得：，， 即当t等于1或3时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质、矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程．折叠的性质，解决此题注意结合方程的思想解题． 25. 阅读材料，若点到直线，的距离相等，则称点为直线，的关联点． 例如：如图，在平面直角坐标系中，点到轴和轴的距离相等，故是轴和轴的关联点． 在平面直角坐标系中，已知，直线：交轴于点，交轴于点，点为轴上一个点； （1）直线经过点， ①______，若在直线上，则比较与的大小：______； ②当点坐标为时，点恰好为直线、的关联点，求直线的解析式； （2）若，为中点，点为线段上一点，且为轴和轴的关联点，将绕点逆时针旋转至，求证：点为直线：与直线：的关联点． 【答案】（1）①，；② （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，点的坐标，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，图形旋转的性质，弄懂定义是解题的关键． （1）将代入，求的值，将代入中，可得； 作交于，则，由，，可得，求出，得到点，将点代入中，求出的值即可求解析式； （2）由题意可得，，将点代入中，求得，则直线的解析式为：，得到，所以，则，设，由，求出，过点作轴交于点，过点作交的延长线于点，连接，证明，得到，可知，推导出，可得平分直线：与直线：的夹角，则到直线：与直线：的距离相等，可证明为直线：与直线：的关联点． 【小问1详解】 解：将代入， ， 解得， 将代入中， ， ， ， 故答案为：，； ，， ， 作交于， 点恰好为、的关联点， ， ，， ， ， ， ， ， 将点代入中，， 解得， ； 【小问2详解】 证明：， ， 为的中点， ， 将点代入中，， 解得， 直线的解析式为：， ， ， ， ， 设， ， ， ， 过点作轴交于点，过点作交的延长线于点，连接， ，， 绕点逆时针旋转至， ，， ， ∴， ，， ， ， ， ， ，， ， 平分直线：与直线：的夹角， 到直线：与直线：的距离相等， 为直线：与直线：的关联点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $