精品解析：广东深圳市多校联考2025-2026学年八年级下学期7月期末质量检测数学试卷

2026年初二质量检测 数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 如图所示的几何体是一个圆锥，下面有关它的三视图的结论中，正确的是（ ） A. 主视图是中心对称图形 B. 左视图是中心对称图形 C. 俯视图既是中心对称图形又是轴对称图形 D. 主视图既是中心对称图形又是轴对称图形 2. 是由平移得到的，点的对应点为，点的对应点、点的对应点．则、的坐标分别为（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）． A. B. C. D. 5. 已知正整数、、、满足，且，关于这个四元二次方程下列说法正确的个数是（ ） ①，，，是该四元方程的一组解； ②连续的四个奇数一定是该四元方程的解； ③若，则该四元方程有10组解； ④若，则该四元方程有504组解． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知a为整数，且为正整数，则所有符合条件的a的值的和是（ ） A. 0 B. 12 C. 4 D. 8 7. 下列多项式中，可以提取公因式的是（ ） A. ab+cd B. mn+m2 C. x2-y2 D. x2+2xy+y2 8. 如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；…；按照这样的操作规律，第999次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（ ） A. 正东方向 B. 正南方向 C. 正西方向 D. 正北方向 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知不等式的解集是，则不等式的解集是_________． 10. 分解因式： ______． 11. 如图，在正方形中，点E为边的中点，连接，过点B作于点F，连接交于点G，平分交于点H．则下列结论中： ①； ②； ③； ④当时，，正确的序号是______． 12. 如图1，在中，，，．动点从点出发，沿边以s的速度向终点匀速运动．当点出发后，以为边作正方形，使点和点始终在边同侧．设点的运动时间为（单位：），正方形与重叠部分图形的面积为（单位：）、与的关系如图2所示． ____； 13. 如图，在矩形中，，M为的中点，将边绕点A逆时针旋转，点B落在处，连接，，若，，则 _________________ ． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 请阅读求绝对值不等式和的解的过程． 对于绝对值不等式，从图1的数轴上看：大于而小于的数的绝对值小于，所以的解为； 对于绝对值不等式，从图2的数轴上看：小于或大于的数的绝对值大于，所以的解为或． （1）求绝对值不等式的解 （2）已知绝对值不等式的解为，求的值 （3）已知关于，的二元一次方程组的解满足，其中是负整数，求的值． 15. 定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，则称这个分式为“优美分式”． 如；，，则、都是“优美分式”． （1）请你判断下列式子是否为“优美分式”？（在题后相应的括号中，是“优美分式”打“√”，不是“优美分式”打“×”）； ①；（ ） ②；（ ） ③；（ ） ④．（ ） （2）若“优美分式”，其中A为整式，B为常数． ①求整式A； ②若，求的值． （3）若“优美分式”与（其中a，b为常数），当两者拆分后的分式分子为相等常数时，求的取值范围． 16. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图像，并结合函数图像研究函数性质的过程．以下是我们研究函数的图象、性质与应用的部分过程，请按要求完成以下各小题． （1）请把下表补充完成，并根据表中数据在平面直角坐标系中描点，连线，画出该函数图象． x … -4 -3.5 -3 -2.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 3 3.5 4 … y … -1 1 0 -1 1 （2）根据函数图像，判断下列关于该函数及其性质的说法是否正确，正确的请在答题卡上对应的括号内打“√”，错误的请在答题卡上对应的括号内打“×”． ①该函数的自变量的取值范围是x≠士2；（ ） ②该函数图像是中心对称图形，对称中心是原点；（ ） ③在自变量的取值范围内，y随x的增大而减小；（ ） （3）已知函数 的图像如图所示，结合函数图像，请直接写出方程 的解；（结果保留1位小数，误差不超过0.2） 17. 已知m、n都是实数，且，求的值． 18. 如图，在中，，，，点为边的中点．点从点出发以每秒1个单位的速度沿向终点运动．以为边作正方形，点在射线上．设点的运动时间为秒． （1）用含的代数式表示线段的长； （2）连接，则______度；当点与点的距离最短时，线段的长为______； （3）连接，当将正方形的面积分为两部分时，求的值； （4）作点关于直线的对称点，当点、点到的某一条直角边所在直线距离相等时，直接写出的值． 19. 已知，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，，点，且a、b满足． （1）则____________；__________； （2）如图1，在x轴上是否存在点C，使三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，将线段向左平移m个单位，得到线段，其中点A，点B的对应点分别为点，点．若点在射线上，连接得到三角形，若三角形的面积大于三角形面积的并且小于三角形面积，则m的取值范围是______________． 20. 等腰直角三角形是我们学习几何的基本图形，在学完平移，旋转，轴对称三种几何变换后，数学活动课上老师想利用图1中的等腰直角三角形为背景展开有关图形的平移，旋转，轴对称的探究活动．如图1，已知和是共顶点的两个等腰直角三角形，，，．老师首先给了如下一道题，请你完成（1）的详细解题过程． （1）如图2，在图1的条件基础上，分别连接，将绕点A旋转至点B在线段上时． ①求证：； ②求线段的长． （2）数学活动小组的同学解答完对上述问题后，又对这个图形进行了观察和测量，并发现了新的问题，该活动小组小聪，小明，小慧三名同学分别提出下面的问题，请你在小聪，小明，小慧三名同学所提出的问题中选择一道题进行解答，并直接写出答案．（如果选择多道题解答，按所选答题中得分最高的题给分，（2）问满分3分） ①小聪提出的问题：如图3，在图1的条件基础上，分别连接，．点F是线段的中点，连接，将绕点A在平面内自由旋转，则的最大值是______． ②小明提出的问题：如图4，在图1的条件基础上，将绕点A旋转至，且点C在线段上方时，位置不变．连接，，将沿射线方向平移，得到，连接，，则的最小值是______． ③小慧提出的问题：如图5，在图1的条件基础上，将绕点A在平面内自由旋转，当以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初二质量检测 数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 如图所示的几何体是一个圆锥，下面有关它的三视图的结论中，正确的是（ ） A. 主视图是中心对称图形 B. 左视图是中心对称图形 C. 俯视图既是中心对称图形又是轴对称图形 D. 主视图既是中心对称图形又是轴对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】先得到圆锥的三视图，再根据中心对称图形和轴对称图形的定义求解即可． 【详解】解：A、主视图不是中心对称图形，故A错误； B、左视图不是中心对称图形，故B错误； C、俯视图既是中心对称图形又是轴对称图形，故C正确． D、主视图不是中心对称图形，是轴对称图形，故D错误； 故选C． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握各自的定义是解题的关键． 2. 是由平移得到的，点的对应点为，点的对应点、点的对应点．则、的坐标分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可． 【详解】点A的对应点D，是横坐标从﹣1到1，说明是向右移动了1﹣（﹣1）=2个单位，纵坐标是从﹣4到﹣1，说明是向上移动了﹣1﹣（﹣4）=3个单位，那么其余两点移运转规律也如此，即横坐标都加2，纵坐标都加3．故点E、F的坐标为（3，4）、（1，7）．故选B． 【点睛】本题考查了平移中点的变化规律，横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．左右移动改变点的横坐标，上下移动改变点的纵坐标． 3. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出不等式的解集，即可． 【详解】解：， 解得：， 把不等式的解集在数轴上表示，如图： 4. 下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义判断即可． 【详解】解：A. ，不是因式分解； B. ，是乘法公式，不是因式分解； C. ，是因式分解； D. ，左右两边不相等，不是因式分解； 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，解题关键是看是不是把多项式变成了整式的积，等号左右两边应该是恒等变形． 5. 已知正整数、、、满足，且，关于这个四元二次方程下列说法正确的个数是（ ） ①，，，是该四元方程的一组解； ②连续的四个奇数一定是该四元方程的解； ③若，则该四元方程有10组解； ④若，则该四元方程有504组解． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】①将，，，代入方程进行判断即可；②取特殊值，，，，，代入方程进行判断即可；③将方程化为，根据正整数、、、满足，得到当时，恒成立，再根据，得到当时，有10组解，再根据也是方程的一组解，判断③；根据当，，推出，进而推出总共有502组解，结合也是方程的一组解，判断④即可． 【详解】解：当，，，时， 方程左边， 方程右边， 方程左右两边相等，故，，，是该四元方程的一组解；故①正确； 当，，，时， 方程左边， 方程右边， 方程左右两边不相等，故，，，不是该四元方程的一组解，即四个连续的奇数不一定是该四元方程的一组解；故②错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵正整数、、、满足， ∴，， ∴， 又∵， ∴当，即时，恒成立，满足题意， ∵， ∴当时，或或或，共4组解； 当时， 或或，共3组解； 当时，或，共2组解； 当时，，共1组解； 此时共有组解； 又∵当时，此时， 方程左边等于右边，故也是方程的一组解，故③错误； 由③可知：当时， ∵， ∴， ∴， ∵是正整数，且， ∴当时，； 当时，， 当时，； 总共有502组解； 又∵不满足已知条件，故④错误； 综上，正确的只有①． 6. 已知a为整数，且为正整数，则所有符合条件的a的值的和是（ ） A. 0 B. 12 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题首先对于分式进行化简，然后根据a为整数、分式值为正整数可求出a的值，最后将a的所有值相加即可．本题考查了分式的混合运算，正确分解因式是解题的关键． 【详解】解：原式 设（为正整数） 且， ，解得。 为整数 。 令，则且为整数， 原式 当时，，是正整数，此时，即 当时， 。 则。 此时不是正整数 唯一符合条件的整数的值是4。 所有符合条件的的值的和是4 故选：C． 7. 下列多项式中，可以提取公因式的是（ ） A. ab+cd B. mn+m2 C. x2-y2 D. x2+2xy+y2 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用提取公因式法分解因式的步骤分析得出答案． 【详解】解：A．ab+cd，没有公因式，故此选项错误； B．mn+m2=m（n+m），故此选项正确； C．x2﹣y2，没有公因式，故此选项错误； D．x2+2xy+y2，没有公因式，故此选项错误． 故选B． 【点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键． 8. 如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；…；按照这样的操作规律，第999次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（ ） A. 正东方向 B. 正南方向 C. 正西方向 D. 正北方向 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形旋转方式，可证明皆为等边三角形，可得，根据多边形外角和结论，图形每转动 12 次后与重合，依此规律解答即可． 【详解】解：将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和， 则，且， ∴为等边三角形， 同理，∴皆为等边三角形， ∵将绕点逆时针旋转， ， ∵为等边三角形，的中点为， ， ， 同理， 则， ∵， ∴每转到12次后与方向重合， ， ∴第999次操作后，在第84个循环中的第3个位置，恰与方向相同， ∴点相对点的方向与点相对点的方向相同， ∵， ∴， 又∵为等边三角形， ， ∴， ∴此时点在点的正西方向， ∴点在点的正西方向． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知不等式的解集是，则不等式的解集是_________． 【答案】 【解析】 【分析】通过不等式x+1＜2a的解集是x＜5求得a的值；然后解ax＞6即可． 【详解】解：解不等式x+1＜2a，得x＜2a-1． ∵不等式x+1＜2a的解集是x＜5， ∴2a-1=5． ∴a=3． ∴3x＞6． 解得x＞2． 故答案是：x＞2． 【点睛】本题考查了不等式的解集，掌握不等式的性质是解题的关键． 10. 分解因式： ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解-分组分解法，原式前三项结合后，利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 11. 如图，在正方形中，点E为边的中点，连接，过点B作于点F，连接交于点G，平分交于点H．则下列结论中： ①； ②； ③； ④当时，，正确的序号是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形两个锐角互余，三角形角平分线的性质，运用相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据正方形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形角平分线的性质逐一判定每一个结论即可． 【详解】解：在正方形中，， ，， ， ， ， ， ， 是的中点， ， 在中，， ，即， 故不正确； ， ， 故正确； ， ， ， ， ， ， 是分别以为底，高相同的三角形， ③， 故正确； 过点作于，于，如图， 平分， ， ， 的底分别为，高相同， ， ， 在中， ， ，， 在中，，，， ， ， 又， ， 故正确． 综上所述，正确． 故答案为：． 12. 如图1，在中，，，．动点从点出发，沿边以s的速度向终点匀速运动．当点出发后，以为边作正方形，使点和点始终在边同侧．设点的运动时间为（单位：），正方形与重叠部分图形的面积为（单位：）、与的关系如图2所示． ____； 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，可得是等腰直角三角形， 在中，由勾股定理解直角三角形可得、的长，即可得解． 【详解】解：如图，过点作于， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得（负值已舍去）， ， 当时，点和点重合，点和点重合，此时， 即． 13. 如图，在矩形中，，M为的中点，将边绕点A逆时针旋转，点B落在处，连接，，若，，则 _________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过A作于Q，，证明，而，可得，即，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，过A作于Q，， ∴， ∴， 由旋转可得：，则， ∵，M为的中点， ∴， ∵是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 请阅读求绝对值不等式和的解的过程． 对于绝对值不等式，从图1的数轴上看：大于而小于的数的绝对值小于，所以的解为； 对于绝对值不等式，从图2的数轴上看：小于或大于的数的绝对值大于，所以的解为或． （1）求绝对值不等式的解 （2）已知绝对值不等式的解为，求的值 （3）已知关于，的二元一次方程组的解满足，其中是负整数，求的值． 【答案】（1）x＞5或x＜1；（2）9；（3）m=-3或m=-2或m=-1 【解析】 【分析】（1）由绝对值的几何意义即可得出答案； （2）由知，据此得出，再结合可得出关于、的方程组，解之即可求出、的值，从而得出答案； （3）两个方程相加化简得出，由知，据此得出，解之求出的取值范围，继而可得答案． 【详解】解：（1）根据绝对值的定义得：或， 解得或； （2）， ， 解得， 解集为， ， 解得， 则； （3）两个方程相加，得：， ， ， ， ， 解得， 又是负整数， 或或． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握绝对值的几何意义及解一元一次不等式和不等式组的能力． 15. 定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，则称这个分式为“优美分式”． 如；，，则、都是“优美分式”． （1）请你判断下列式子是否为“优美分式”？（在题后相应的括号中，是“优美分式”打“√”，不是“优美分式”打“×”）； ①；（ ） ②；（ ） ③；（ ） ④．（ ） （2）若“优美分式”，其中A为整式，B为常数． ①求整式A； ②若，求的值． （3）若“优美分式”与（其中a，b为常数），当两者拆分后的分式分子为相等常数时，求的取值范围． 【答案】（1）①√；②×；③√；④√； （2）①；②19； （3）且 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质：偶次方、整式、分式的化简求值，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． （1）依据题意，根据“优美分式”的意义逐个计算判断可以得解； （2）①依据题意，由，且“优美分式”，其中A为整式，B为常数，从而可以得解； ②由，则结合①可得，，则，故，从而代入计算可以得解； （3）依据题意，设， ，故，，则，，，，从而，，代入可得即可求解． 【小问1详解】 解：①， ∴①是“优美分式”． 故答案为：√； ②是整式，不是“优美分式”． 故答案为：×； ③=1+， ∴③是“优美分式”． 故答案为：√； ④， ∴④是“优美分式”． 故答案为：√； 【小问2详解】 解：①由题意，∵ ， 且“优美分式”，其中A为整式，B为常数， ∴整式； ②∵， ∴结合①可得，，则． ∴． ∴ ； 【小问3详解】 解：∵“优美分式”与（其中a，b为常数）， 当两者拆分后的分式分子为相等常数， ∴可设， ，， ∴， ， ∴， ∴，， ∴， ， ∵， ， ∵ ∴， ∴，且． 16. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图像，并结合函数图像研究函数性质的过程．以下是我们研究函数的图象、性质与应用的部分过程，请按要求完成以下各小题． （1）请把下表补充完成，并根据表中数据在平面直角坐标系中描点，连线，画出该函数图象． x … -4 -3.5 -3 -2.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 3 3.5 4 … y … -1 1 0 -1 1 （2）根据函数图像，判断下列关于该函数及其性质的说法是否正确，正确的请在答题卡上对应的括号内打“√”，错误的请在答题卡上对应的括号内打“×”． ①该函数的自变量的取值范围是x≠士2；（ ） ②该函数图像是中心对称图形，对称中心是原点；（ ） ③在自变量的取值范围内，y随x的增大而减小；（ ） （3）已知函数 的图像如图所示，结合函数图像，请直接写出方程 的解；（结果保留1位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1）补全表格及函数图象见解析；（2）√，√，×；（3）、， 【解析】 【分析】（1）求出和对应的函数值即可补全表格，再描点作图即可求解； （2）根据函数图象的性质逐一判断即可； （3）根据函数图象，代入大致的数值进行验证即可求解． 【详解】（1）补全表格如下： x … -4 -3.5 -3 -2.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2.5 3 3.5 4 … y … -1 1 0 -1 1 画出函数图象如下： （2）①该函数的自变量的取值范围是x≠±2，正确； ②该函数图像是中心对称图形，对称中心是原点，正确； ③在、以及的每个范围内，y随x的增大而减小，错误； （3）∵当时，， 当时，， ∴的一个解为； 同理可得的另外两个解为，； 综上，的解为、，． 【点睛】本题考查函数的图象，掌握描点作图、利用图象解方程的方法是解题的关键． 17. 已知m、n都是实数，且，求的值． 【答案】或 【解析】 【分析】将进行因式分解，变形为，再分别求解即可． 【详解】解： ， ， 可得或， 当时，； 当时，， ，， 综上，的值为或． 18. 如图，在中，，，，点为边的中点．点从点出发以每秒1个单位的速度沿向终点运动．以为边作正方形，点在射线上．设点的运动时间为秒． （1）用含的代数式表示线段的长； （2）连接，则______度；当点与点的距离最短时，线段的长为______； （3）连接，当将正方形的面积分为两部分时，求的值； （4）作点关于直线的对称点，当点、点到的某一条直角边所在直线距离相等时，直接写出的值． 【答案】（1）当时，；当时，； （2）； （3）或 （4）或或． 【解析】 【分析】（1）直接根据题意分和两种情况解答即可； （2）如图：连接，根据正方形的性质可得，然后根据勾股定理列出的表达式，再根据配方法即可解答； （3）分和两种情况，分别画出图形，再根据图形以及已知条件列式计算即可； （4）分和两种情况，分别运用正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵，点为边的中点． ∴, 由题可得：当时，； 当时，． 【小问2详解】 解：如图：连接， ∵正方形， ∴， 当时， 在中，， ∴ ∴当，即时，有最小值． 当时，连接， 在中，， ∴ ∴当，即时，即点N和点D重合时，有最小值． 综上可知，当点与点的距离最短时，线段的长为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：①如图：当时，，， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴，即，即，解得：． ②如图：当时，，，， ∵，， ∴，解得： ． 综上可知，或 【小问4详解】 解：如图：当时，，点、点到直线距离相等，即点、点、点在同一条直线上， ∵正方形， ∴是等腰直角三角形，即， ∵作点关于直线的对称点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，解得：； ②如图：当时，，点、点到直线距离相等，即点、点、点在同一条直线上， ∵作点关于直线的对称点， ∴， ∴、， ∵正方形， ∴是等腰直角三角形，即， ∴， ∴，，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，解得：； ③当时，，点、点到直线距离相等，即点、点、点在同一条直线上， ∵正方形， ∴是等腰直角三角形，即， ∵作点关于直线的对称点， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴，解得：． 综上，当点、点到的某一条直角边所在直线距离相等时，t的值为或或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、对称的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 19. 已知，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，，点，且a、b满足． （1）则____________；__________； （2）如图1，在x轴上是否存在点C，使三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，将线段向左平移m个单位，得到线段，其中点A，点B的对应点分别为点，点．若点在射线上，连接得到三角形，若三角形的面积大于三角形面积的并且小于三角形面积，则m的取值范围是______________． 【答案】（1）6，2； （2）当或时，三角形的面积等于三角形面积的一半； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，非负数的性质，平行线的性质等知识： （1）根据非负数的性质构建方程组，求出和的值即可； （2）设出点的坐标，分情况根据三角形的面积关系列出方程求解即可； （3）由题意可得出点的坐标，进而求出直线的解析式，过点作轴于点，根据三角形的面积公式可表达的面积，根据所给范围求解即可． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴， 故答案为：6，2； 【小问2详解】 由（1）得，， ， 设， 如图，当点在左侧时， ， 即， 解得， 当在右侧的位置时， ， 即， 解得， 综上所述，当或时，三角形的面积等于三角形面积的一半； 【小问3详解】 由平移可得，， ∴直线：， ， ， ∴直线：，过点作轴交于点， ， ， ， ∵三角形的面积大于三角形面积的并且小于三角形面积， ， 解得：或． 故答案为：：或． 20. 等腰直角三角形是我们学习几何的基本图形，在学完平移，旋转，轴对称三种几何变换后，数学活动课上老师想利用图1中的等腰直角三角形为背景展开有关图形的平移，旋转，轴对称的探究活动．如图1，已知和是共顶点的两个等腰直角三角形，，，．老师首先给了如下一道题，请你完成（1）的详细解题过程． （1）如图2，在图1的条件基础上，分别连接，将绕点A旋转至点B在线段上时． ①求证：； ②求线段的长． （2）数学活动小组的同学解答完对上述问题后，又对这个图形进行了观察和测量，并发现了新的问题，该活动小组小聪，小明，小慧三名同学分别提出下面的问题，请你在小聪，小明，小慧三名同学所提出的问题中选择一道题进行解答，并直接写出答案．（如果选择多道题解答，按所选答题中得分最高的题给分，（2）问满分3分） ①小聪提出的问题：如图3，在图1的条件基础上，分别连接，．点F是线段的中点，连接，将绕点A在平面内自由旋转，则的最大值是______． ②小明提出的问题：如图4，在图1的条件基础上，将绕点A旋转至，且点C在线段上方时，位置不变．连接，，将沿射线方向平移，得到，连接，，则的最小值是______． ③小慧提出的问题：如图5，在图1的条件基础上，将绕点A在平面内自由旋转，当以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，______． 【答案】（1）①见解析；② （2）①；②；③2或 【解析】 【分析】（1）①证明，即可得； ②过点作于点，在等腰直角中求出，再利用勾股定理求出，即可求解； （2）①取中点，连接，得出， 可知点的运动轨迹为以为圆心， 为半径的圆上运动，由圆外一定点到圆上一点的最大距离可知，当、、依次共线时最大，此时点为如图，最大值为，求出即可； ②证明，，得出，，，由为定点，沿方向平移，作直线，作点关于直线的对称点，连接，，则，当、、依次共线时，的最小值为，此时设直线交于，得出点、、共线，求出，利用勾股定理求解即可； ③由,当和为边时，只需，则以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：情况一：当在左侧时，四边形是平行四边形；情况二：当在右侧时，四边形是平行四边形；当和为对角线时，四边形是平行四边形，分别求解即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴； ②如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①取中点，连接， ∵点F是线段的中点，， ∴， ∵固定，绕点A在平面内自由旋转， ∴点固定，点在运动， ∴点的运动轨迹为以为圆心， 为半径的圆上运动， 由圆外一定点到圆上一点的最大距离可知，当、、依次共线时最大， 此时点为如图，最大值为， ∵为中点，， ∴， ∴， 即最大值为； ②∵，和是共顶点的两个等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵将沿射线方向平移，得到， ∴，， ∵， 由为定点，沿方向平移，如图，作直线，作点关于直线的对称点，连接，， 则，当、、依次共线时，的最小值为， 此时设直线交于， 由对称性得，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是长方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点、、共线， ∴， ∴， 即的最小值是； ③∵, 当和为边时，只需，则以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形， 情况一：如图，当在左侧时，四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴点在上， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； 情况二：如图，当在右侧时，四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； 当和为对角线时，如图，四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴点在上， ∴； 综上，或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，中位线的性质，勾股定理，轴对称，定点定长轨迹圆，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $