计数原理专项训练-2025届高三数学一轮专题复习

2024-2025学年高三数学一轮复习22---计数原理专项训练 一、单选题 1．下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 2．已知（其中）的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项的系数和为（ ） A．43 B． C．27 D． 3．的展开式中的整式项系数和是（ ） A．192 B． C．32 D． 4．将甲、乙等6位身高各不相同的同学平均分为两组，甲、乙在这六位同学中身高（从高到低）分别排在第4、3位，则分成的两组中甲不是所在组最矮的且乙不是所在组最高的的分组方式共有（     ）种. A． B． C． D． 5．年月我校组织年校庆活动，有甲、乙、丙名志愿者负责、、、等个任务．每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责任务的分配方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 6．某学习小组有男、女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男、女生人数分别为（    ） A．3，5 B．2，5 C．5，3 D．6，2 二、多选题 7．已知二项式的展开式，则（    ） A．二项式系数最大的项为第3项 B．常数项为第5项 C．展开式中含的项为 D．展开式中所有项的系数和为64 8．已知二项式，则其展开式中（   ） A．的系数为15 B．各项系数之和为1 C．二项式系数最大项是第3项 D．系数最大项是第3项或第5项 三、填空题 9．的展开式中的项的系数为 . 10．已知的展开式各项系数之和为64，展开式中含项的系数为 . 11．如图，在的格子中，有一只蚂蚁从点爬到点，每次只能向右或向上移动一格，则从点爬到点的所有路径总数为 ，若蚂蚁只在下三角形（对角线及以下的部分所围成的三角形）行走，则从点到点的所有总路径数为 ． 12．某学校在校庆晚会期间连续播放6个广告，其中4个不同的商业广告和2个不同的宣传广告，要求最后播放的必须是宣传广告，且2个宣传广告不能相邻播放，则不同的播放方式有 种. 四、解答题 13．寒假有来自不同大学的3名男生和2名女生来母校开展大学宣讲活动． (1)若要将这5名同学分配到三个班进行宣讲，每班至少一名同学，有多少种不同的分配方案？ (2)宣讲完毕，这五位同学和原高中班主任合影留念，要求班主任站在甲乙同学中间，有多少种不同的排法？ (3)若这五位同学中甲、乙、丙三位同学身高互不相等，则这五位同学和班主任合影留念时甲、乙、丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？ (4)随后这五位同学合影留念时，同学甲不站在最左端，同学乙不站在最右端，有多少种不同的排法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 14． 盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是，从中取出2粒颜色不同的概率是，求黑白棋子各有多少粒？ 15．霹雳舞是一种动感和节奏感非常强烈、动作非常炫酷的舞蹈，年青人对这种舞蹈如痴如醉．2024年巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会）首次把霹雳舞列入比赛项目，中国小将刘清漪勇获女子铜牌，藉此之际，某中学组建了霹雳舞队，计划从3名男队员，5名女队员中选派4名队员外出参加培训，求下列情形下有几种选派方法． (1)男队员2名，女队员2名； (2)至少有1名男队员． 16．2024届起，上海实行高考改革新方案.新方案规定：语文、数学、英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门科目中选取3门作为选考科目.某校为了解高一年级540名学生选科方案的意向，按性别分层抽样，随机选取36名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表： 性别 人数 物理 化学 生物 政治 历史 地理 男生 20 20 20 8 2 3 7 女生 16 6 6 16 4 10 6 (1)估计该学校高一年级全体男生中，选科方案为“物理、化学、历史”组合的人数； (2)从选取的20名男生中随机选出2名，求恰好有1人选“物理、化学、生物”组合的概率；（结果用最简分数表示） (3)已知选取的16名女生有且仅有“物理、化学、生物”、“生物、政治、历史”、“生物、历史、地理”3种选科方案.若从选取的16名女生中随机选出2名，求2人选科方案不同的概率.（结果用最简分数表示） 一轮复习习题集 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D C B C A BC AD 1．C 【分析】根据排列和组合的概念可确定选项. 【详解】A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. B. 从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. C. 从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式，与顺序无关，是组合问题. D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. 故选：C. 2．D 【分析】根据题意结合二项展开式解得，，令，运算求解即可. 【详解】展开式的第7项为， 由题意可得，，（），解得，， 则展开式的通项为，， 令，则， 所以展开式中的有理项的系数和为. 故选：D. 3．C 【分析】根据二项展开式的通项可得，令，运算求解即可. 【详解】展开式的通项公式为， 令，则， 整式项系数和为. 故选：C. 4．B 【分析】将6人身高从高到低依次标号为：1、2、3、4、5、6，法一，利用间接法可求得总的方法数，法二，采用直接法求解，分甲、乙同组与不同组两种情况求解. 【详解】将6人身高从高到低依次标号为：1、2、3、4、5、6 法一：用间接法求解：此事件的反面是“甲是本组的最矮的或乙是本组最高的至少成立其一”，①甲、乙不在同一组：只有124、356一种排法； ②甲、乙在同一组：以上命题不可能同时成立， 注意到剩下四人任取一人与甲乙同组均符合题意，所以由种选法，共有种选法. 而平均分组共有种方式，所以共有种选法. 法二：用直接法求解： ①甲、乙在同一组：容易发现这是不可能的； ②甲、乙不在同一组：那么1、2中至少有一位与乙一组，5、6中至少有一位与甲一组， 取该事件的反面，即：1、2均不与乙一组且5、6均不与甲一组，4人均分两组共有种分法，符合事件反面的只有356、124一种，所以共有=5种分法. 故选：B. 5．C 【分析】分别考虑甲负责个任务和甲负责个任务的情况，结合甲不负责，可得答案. 【详解】因任务有个，人只有三个，结合题意可知有人负责两个任务. 若甲负责两个任务，因甲不负责任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法， 则此时的分配方法共有种； 若甲负责个任务，因甲不负责任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法， 则此时的分配方法共有种； 综上，满足题意的分配方法共有种. 故选：C. 6．A 【分析】先设男生女生人数，再根据已知列式，结合排列数及组合数的计算即可解. 【详解】设男生人数为，则女生人数为， 由题意可知，即，即， 解得，所以男、女生人数为. 故选:A. 7．BC 【分析】根据二项式系数的单调性即可求解A，利用通项即可求解BC，利用赋值法即可求解D. 【详解】由于，故二项式系数最大为，为第4项，故A错误， 的展开式的通项为，令，解得，故常数项为第5项，B正确， 令，则，故含的项为，故C正确， 在中，令，得，故D错误， 故选：BC 8．AD 【分析】根据二项展开式的通项公式计算后可判断ACD的正误，利用赋值法可求各项系数之和，故可判断B的正误. 【详解】的展开式的通项为， 对于A，取，则，故的系数为，故A正确； 对于B，因为， 令，则各项系数之和为，故B错误； 对于CD，由展开式的通项可得展开式中各项的系数依次为：， 故二项式系数最大项是第3项或第5项，故C错误，D正确； 故选：AD. 9． 【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为，其中且， 令，解得， 所以， 所以的展开式中的项的系数为. 故答案为： 10．15 【分析】先根据各项系数之和得到方程，求出，根据二项式定理得到通项公式，求出项的系数. 【详解】令，则的展开式各项系数之和为，则， 所以二项式的通项公式为， 令，则，故项的系数为15. 故答案为：15 11． 【分析】在的格子中，蚂蚁从点爬到点需要走步，从点爬到点的所有路径总数为从步中选择步横向的组合数；若蚂蚁只在下三角形行走，用列举法一一列举即可. 【详解】蚂蚁从点爬到点需要走步，其中步横向，步纵向， 所有路径数为从步中选择步横向的组合数，所以； 蚂蚁只在下三角形（对角线及以下的部分所围成的三角形）行走，如下： 共种. 故答案为：；. 12．192 【分析】先考虑最后位置必为宣传广告，再考虑4个商业广告的顺序，最后另一宣传广告插入4个商业广告之间，即可求解. 【详解】先考虑最后位置必为宣传广告，有种， 再考虑4个商业广告的顺序，有种， 另一宣传广告插入4个商业广告之间，有种， 故共有种. 故答案为：192. 13．(1)150 (2)48 (3)120 (4) 【分析】（1）将5名同学分为3，1，1或2，2，1三组，然后分配到三个班； （2）先甲乙同学之间排列，再把班主任和甲乙同学看作一个整体，与其他3名同学排列； （3）先将6人全排列，考虑到甲、乙、丙三人排列有种，进而可得所求排法； （4）先将五位同学全排列，去掉同学甲站在最左端的情形，再去掉同学乙站在最右端的情形，再加上重复去掉的同学甲站在最左端且同学乙站在最右端的情形. 【详解】（1）将5名同学分为3，1，1或2，2，1三组，然后分配到三个班， 所以分配方案有种． （2）先甲乙同学之间排列，再把班主任和甲乙同学看作一个整体，与其他3名同学排列， 则不同的排法种． （3）先将6人全排列有种，考虑到甲、乙、丙三人排列有种， 所以甲、乙、丙三人按高低从左到右排列时，不同的排法有种． （4）先将五位同学全排列，去掉同学甲站在最左端的情形，再去掉同学乙站在最右端的情形，再加上重复去掉的同学甲站在最左端且同学乙站在最右端的情形， 所以不同的排法种数有． 14．黑棋子有4粒，白棋子有6粒 【分析】设散落的黑白棋子中，黑子有x粒，白子有y粒，结合组合数公式，利用古典概率列出方程组求解即得. 【详解】设散落的黑白棋子中，黑子有粒，白子有粒， 依题意，，整理得且，即且， 化简得，解得， 所以黑棋子有4粒，白棋子有6粒. 15．(1)30 (2)65 【分析】（1）根据给定条件，利用组合问题按要求选出队员，列式计算作答. （2）根据给定条件，利用组合问题结合排除法列式计算作答. 【详解】（1）从3名男队员，5名女队员中分别选出男女队员各2名，不同选法数为（种）. （2）从8名队员中任选4名队员有种，其中没有男队员的选法数是种，所以至少有1名男队员的不同选法数是（种）. 16．(1)45人 (2) (3) 【分析】（1）先根据分层抽样的定义求出高一年级男生的人数，再根据选“物理、化学、历史”组合的比例可求得结果； （2）由题意可知选“物理、化学、生物”组合的人数有8人，然后利用古典概型的概率公式求解即可； （3）先根据题意分别求出选“物理、化学、生物”， “生物、政治、历史”，“生物、历史、地理”的人数，然后求出2人选科方案相同的概率，再利用对立事件的概率公式可求得答案. 【详解】（1）由题意知该学校高一年级男生有人. 因此估计该学校高一全体男生中， 选科方案为“物理、化学、历史”组合的人数为人. （2）用表示事件“恰好有1人选“物理、化学、生物”组合”， 则. （3）由题意知选取的16名女生中，有6人选“物理、化学、生物”， 4人选“生物、政治、历史”，6人选“生物、历史、地理”. 用表示事件“2人选科方案不同”， 则， 进而有. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$