精品解析：甘肃省庆阳市环县第四中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

环县四中2024～2025学年度第二学期期末考试 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：湘教版必修第二册第1章~第5章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z 满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2. 等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，，若与垂直，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 四条首尾相连的线段确定一个平面 C. 两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内 D. 空间两两相交的三条直线在同一平面内 5. 随着网络技术发达，电子支付变得愈发流行，若电子支付只包含微信支付和支付宝支付两种.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 6. 在中，内角所对的边分别为，若，，则（ ） A. B. C. 1 D. 7. 如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 8. 已知三棱锥，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为复数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 若直线，没有交点，则，为异面直线 B. 若直线∥平面，则与内任何直线都平行 C. 若直线平面，平面∥平面，则直线平面 D. 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 11. 对于一个古典概型样本空间和事件A，B，其中，，，则（ ） A. 事件A与事件B互斥 B. C. 事件A与事件相互独立 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某中学为了加强艺术教育，促进学生全面发展，要求每名学生从音乐和美术中至少选择一门兴趣课，某班有名学生，选择音乐有人，选择美术的有人，从全班学生中随机抽取一人，那么这个人两种兴趣班都选择的概率是___________. 13. 已知，则的值为______. 14. 如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且 （1）求角C； （2）若的面积为，求a、b的值． 16. 设，都是锐角，且， （1）求的值； （2）求的值. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，PA为点P到平面ABCD的距离，，，，点E、M分别在线段AB、PC上，其中E是AB中点，，连接ME. （1）当时，证明：直线平面PAD； （2）当时，求三棱锥的体积. 18. 举办网络安全宣传周､提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队2人，每人回答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分.甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队两人回答问题正确的概率分别为，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立. （1）求甲队总得分为1分的概率； （2）求两队积分相同的概率. 19. 如图，在四棱锥中，底面正方形，平面，且. （1）求直线与平面所成角的余弦值； （2）求二面角的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 环县四中2024～2025学年度第二学期期末考试 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：湘教版必修第二册第1章~第5章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z 满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据复数的除法运算以及复数模的定义即可得到答案. 详解】 ， 所以 故选：D． 2. 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦两角和公式求解即可. 【详解】. 故选：D 3. 已知向量，，，若与垂直，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的关系及向量运算律得，代入数量积的坐标运算求解即可. 【详解】因为与垂直，所以，即， 所以，解得. 故选：C 4. 下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 四条首尾相连的线段确定一个平面 C. 两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内 D. 空间两两相交的三条直线在同一平面内 【答案】C 【解析】 【分析】根据确定平面的条件可对每一个选项进行判断. 【详解】对于选项A：如果三点在同一条直线上，则不能确定一个平面，故A错误； 对于选项B：例如三棱锥，可以得到四条首尾相连的线段，但不是平面图形，故B错误； 对于选项C：因为两条平行直线确定一个平面， 若一条直线与这两条平行直线都相交，则这条直线就在这两条平行直线确定的一个平面内， 所以这三条直线在同一平面内，故C正确； 对于选项D：例如三棱锥三条侧棱，可以得到两两相交的三条直线，但这三条直线不共面，故D错误. 故选：C 5. 随着网络技术的发达，电子支付变得愈发流行，若电子支付只包含微信支付和支付宝支付两种.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 【答案】B 【解析】 【分析】由事件的关系，可列式求解. 【详解】设事件A为用现金支付，事件B为不用现金支付， 则, 所以, 所以. 故选:B. 【点睛】本题主要考查了事件的基本关系，属于基础题. 6. 在中，内角所对的边分别为，若，，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 分析】根据正弦定理计算可得，代入式子即可求解. 【详解】由，得， 所以． 故选：C． 7. 如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】以为坐标原点建系，结合向量的数量积求解即可. 【详解】 结合题意知，， 设 因为 所以 所以 所以 故选：C. 8. 已知三棱锥，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明平面，再将三棱锥补形成直三棱柱，再利用勾股定理求出外接球的半径，再根据求得表面积公式即可得解. 【详解】因为平面， 所以平面， 如图经补形可知球心在直三棱柱高的中点处为外接圆的圆心， 则， 所以， 则外接球的半径， 所以三棱锥的外接球的表面积． 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为复数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的乘除法运算以及复数的类型，即可判断AB,由复数的模长即可判断D，根据复数的特性判断C. 【详解】设，由为实数，得，所以，故正确； 若，则，故B错误； 不全是实数的两个复数不能比较大小，故C错误； 设，则，故D正确. 故选:AD. 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 若直线，没有交点，则，为异面直线 B. 若直线∥平面，则与内任何直线都平行 C. 若直线平面，平面∥平面，则直线平面 D. 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 【答案】AB 【解析】 【分析】根据空间直线的位置关系，可判断A,B;利用面面平行的性质以及线面垂直的判定可判断C;根据空间的等角定理可判断D. 【详解】对于A，直线，没有交点，则直线，为平行直线或异面直线，故A错误； 对于B，直线∥平面，则与内任何直线都没有交点，则与内直线可能为平行直线或异面直线，故B错误； 对于C, 直线平面，则内一定存在两相交直线，不妨设为m,n,满足 ，由平面∥平面，过m作一平面与相交，交线设为， 则，同理过n作一平面与相交，交线设为，则， 则相交，则， 故直线平面，故C正确； 对于D，如果空间中两个角两条边分别对应平行，根据等角定理可知，这两个角相等或互补，故D正确， 故选：AB 11. 对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，则（ ） A. 事件A与事件B互斥 B. C. 事件A与事件相互独立 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据古典概型结合概率的性质以及事件的独立性分析判断. 【详解】由题意可得：，则， ∵， ∴，即事件A与事件B不互斥，A错误； 可得：， 故， 可知B正确，D错误； 又∵， ∴事件A与事件相互独立，C正确； 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某中学为了加强艺术教育，促进学生全面发展，要求每名学生从音乐和美术中至少选择一门兴趣课，某班有名学生，选择音乐的有人，选择美术的有人，从全班学生中随机抽取一人，那么这个人两种兴趣班都选择的概率是___________. 【答案】 【解析】 【分析】计算出两种兴趣班都选择的学生人数，利用古典概型的概率公式可求得结果. 【详解】由题意可知，两种兴趣班都选择的人数为人，所以所求概率为. 故答案为：. 13. 已知，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】将已知式平方后利用同角三角函数基本关系式及正弦的二倍角公式计算即得. 【详解】∵， ∴， ∴. 14. 如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，作出直线与直线所成的角，再借助余弦定理求出余弦值即可求解. 【详解】在正三棱柱中，连接交于O点，取的中点F，连接OF， 显然是的中点，则，是与所成的角或其补角， 在中，，，， ，， 所以直线与直线所成角的正切值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 （1）求角C； （2）若的面积为，求a、b的值． 【答案】（1）；（2），或，． 【解析】 【分析】 （1）利用余弦定理结合，即可求角C； （2）利用面积公式可以求出，再利用余弦定理可以求得，进而可得a、b的值． 【详解】（1）由余弦定理有， 因为，可得； （2）由题意有，可得， 由余弦定理得：， 将， 代入可得：， 可得，所以， 所以， 由，解得或 故，或，． 16. 设，都是锐角，且， （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）-5 （2）或 【解析】 【分析】（1）方法一：首先根据平方关系求得的值，再将待求式子分子分母同乘，然后根据正弦二倍角及其降幂扩角公式进行化简整理，最后代入数值求解即可； 方法二：首先根据半角公式求解及的值，然后代入待求式子中进行求解即可. （2）首先根据，利用平方关系求得的值，然后根据凑角得，最后根据余弦的差角公式展开求解即可. 【小问1详解】 方法一，因为是锐角，，所以. . 方法二，因为，所以，， . 【小问2详解】 因为，所以， 若， 则 . 若， 则 . 故或. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，PA为点P到平面ABCD的距离，，，，点E、M分别在线段AB、PC上，其中E是AB中点，，连接ME. （1）当时，证明：直线平面PAD； （2）当时，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）构造平行四边形，然后利用线面平行的判定定理即可. （2）根据，求出三棱锥的高，然后利用体积公式即可. 【小问1详解】 取PD中点N，连接MN、AN， 是的中位线，MN//CD，且， 又AE//CD，且，四边形AEMN为平行四边形， ME//AN 又平面PAD，平面PAD，//平面PAD. 【小问2详解】 ，P到平面ABCD的距离为3，点M到平面ABCD的距离为1， . 18. 举办网络安全宣传周､提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作重要内容.为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队2人，每人回答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分.甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队两人回答问题正确的概率分别为，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立. （1）求甲队总得分为1分的概率； （2）求两队积分相同的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误，结合独立事件概率乘法公式运算求解； （2）根据题意可得甲、乙得分的概率，分别求两队积分同为0分，1分，2分的概率，结合独立事件概率乘法公式运算求解. 【小问1详解】 记“甲队总得分为1分”为事件A，甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误， 所以； 【小问2详解】 由题意可知：甲队积0分，1分，2分的概率分别为， 乙队积0分，1分，2分的概率分别为， 记两队积分同为0分，1分，2分的分别为事件， 因为两队得分相互独立，互不影响， 则， 所以两队积分相同的概率为. 19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且. （1）求直线与平面所成角的余弦值； （2）求二面角的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可证得平面，所以为直线与平面所成的角，然后在中求解即可； （2）连接交于点，过点作于点，连接，则可得是二面角的平面角，然后在中求解即可. 【小问1详解】 在正方形中，有， 因为平面面，所以， 又因为平面平面， 所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 在中，， 在中，， ， 所以直线与平面所成角的余弦值为； 【小问2详解】 连接交于点， 在正方形中，有， 因为平面，所以， 因为平面平面， 所以平面，所以， 在中，过点作于点，连接， 因为平面平面， 所以平面，所以， 则是二面角的平面角， 在中，， 则，同理可求得， 在中，， ， 因为，所以， 则二面角的大小为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $