第五章 平面向量与复数（综合训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦平面向量与复数综合应用，以基础概念为起点，通过几何图形与动态问题构建知识网络，渗透创新意识与几何直观。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数|4题（含新考法解答题）|概念辨析（虚部、纯虚数）、运算（模、共轭）、几何意义（对应点象限）|从概念生成到运算推导，再到几何表示的逻辑链条| |平面向量|13题（含新定义、动态最值题）|线性运算、数量积（夹角、模）、投影向量、几何图形分解、动态问题|从线性运算到数量积应用，结合几何直观与模型意识，形成问题解决路径|

第五章 平面向量与复数（综合训练） 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D C D A B B C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ABC AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2 13. /； 14.8 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【解析】（1），，（2分） 又且，（4分） .（6分） （2）设，（8分） 四边形为平行四边形，,，.（12分） 故点的坐标为（13分） 16．（15分） 【解析】（1）（2分） 为纯虚数，，解得，故（4分） 则．（6分） （2），（7分） ，（10分） 复数对应的点在第二象限，，解得， 故实数a的取值范围为．（15分） 17．（15分） 【解析】（1）由与的夹角为，得.（4分） （2）由（1）得，（6分） .（10分） （3）由向量与的夹角为锐角，得， 且向量与不共线， 则，即，（13分） 解得且， 所以实数的取值范围是.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由分别为的中点，则，，（2分） 由图可得，则，（4分） 所以（5分） （2）由（1）可知，，由，则，（7分） ，（9分） 可得，解得（10分） （3）由图可得，（12分） ，（14分） ，（16分） 由，则（17分） 19．（17分） 【解析】（1）因为向量，所以，又因为，， 所以，所以.（4分） （2）因为向量，，所以，， 所以 化简得.（8分） （3）①由（2）得， 化简得，（9分） 所以， 当时，单调递增，因为， 又因为，，所以， 又因为，所以， 由零点存在定理可得，存在，使得， 所以在上有一个零点. 当时，，，所以， 故在上没有零点. 当时，，， 所以，故在上没有零点. 综上可得，有且只有一个零点.（13分） ②. 理由如下：在上单调递减， 所以，即，所以.（17分） 答案第2页，共2页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 平面向量与复数（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数（其中为虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 2.已知向量，若，则（    ） A. B. C. 1 D. 2 3．【原创题】（    ） A．1 B． C． D． 4．已知向量，，若实数λ满足，则（    ） A． B． C． D．1 5．已知平面向量与的夹角为，则（    ） A． B． C．4 D．12 6．（2026·陕西宝鸡·模拟）已知向量，满足，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在四边形ABCD中，，设，则等于（    ） A． B． C． D． 8．（2026·广东佛山·模拟）如图所示，已知点O是的外接圆圆心，且，.若存在非零实数x，y，使得，且，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·湖南长沙·模拟）已知复数，则（    ） A．的虚部为 B． C．的共轭复数为 D． 10．已知向量，满足，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．向量与的夹角为 D．存在非零实数，使得 11．（2026·湖北武汉·模拟）如图，为边长为的等边三角形，以的中点为圆心，为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．的最大值为 D．若，则的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若复数是纯虚数，则实数___________． 13．【新设问】如图，在正方形中，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则___________，___________． 14．【创新题】已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为___________．    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知，， (1)若，且，求． (2)若四边形为平行四边形，求点的坐标． 16．（15分） 【新考法】已知复数（i是虚数单位，），且为纯虚数． (1)求实数m； (2)设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数a的取值． 17．（15分） 已知与的夹角为. (1)求； (2)求及； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 18．（17分） （2026·河南洛阳·模拟）如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． (1)若，求的值； (2)求的长； (3)求的取值范围． 19．（17分） 【新定义】如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设，分别为Ox，Oy正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中． (1)若向量，求． (2)已知向量，，证明：． (3)若向量，的斜坐标分别为和，，设函数，，． ①证明：有且只有一个零点． ②比较与的大小，并说明理由．（参考数据：，） 2 / 4学 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 平面向量与复数（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数（其中为虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，则的虚部是. 故选：D. 2.已知向量，若，则（    ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】由，得，则，由， 得，所以. 故选：C. 3．【原创题】（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】. 故选：D. 4．已知向量，，若实数λ满足，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】因为，且，所以，所以， 故选：A. 5．已知平面向量与的夹角为，则（    ） A． B． C．4 D．12 【答案】B 【解析】由题得， 所以. 故选：B. 6．（2026·陕西宝鸡·模拟）已知向量，满足，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在上的投影向量为. 故选：B. 7．如图，在四边形ABCD中，，设，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意， . 故选：C 8．（2026·广东佛山·模拟）如图所示，已知点O是的外接圆圆心，且，.若存在非零实数x，y，使得，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，连接交于，设， 则，因为三点共线，所以，又， 所以，即，所以为中点，又是外接圆圆心，所以， 在中，，，所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·湖南长沙·模拟）已知复数，则（    ） A．的虚部为 B． C．的共轭复数为 D． 【答案】ACD 【解析】， 对于A：的虚部为，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：的共轭复数为，故C正确； 对于D：，故D正确． 故选：ACD 10．已知向量，满足，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．向量与的夹角为 D．存在非零实数，使得 【答案】ABC 【解析】因为，，所以，所以，， 对于A选项，， ，所以，故A正确； 对于B选项，，所以，故B正确； 对于C选项，，，设向量与的夹角为， 则，所以向量与的夹角为，故C正确； 对于D选项，若，则，，， 则，解得，故D错误. 故选：ABC. 11．（2026·湖北武汉·模拟）如图，为边长为的等边三角形，以的中点为圆心，为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．的最大值为 D．若，则的最大值为 【答案】AD 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，由A知， 所以 ，故B错误； 对于C，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， ，，设， 而，所以， 当时，的最大值为5，故C错误； 对于D，由C知，， 则，又， 则，整理得到， 所以， 当时，取到最大值，最大值为，故D正确. 故选：AD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若复数是纯虚数，则实数___________． 【答案】2 【解析】因， 要使其为纯虚数，需使且，解得． 故答案为：2 13．【新设问】如图，在正方形中，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则___________，___________． 【答案】/； 【解析】以A为原点，建立平面直角坐标系，如图： 不妨设，则，，，. 所以，， 所以，， ，即. 因为直线对应的一次函数的解析式为，直线对应的一次函数的解析式为， 由，所以，，所以. 故答案为：/； 14．【创新题】已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为___________．    【答案】8 【解析】    如图所示，由正六边形的几何性质可知，均是边长为4的等边三角形， ， 又,， 当点P位于正六边形各边的中点时，取最小值， 如图为中点，连接，则,此时， 即的最小值为 8． 故答案为：8． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知，， (1)若，且，求． (2)若四边形为平行四边形，求点的坐标． 【解析】（1），，（2分） 又且，（4分） .（6分） （2）设，（8分） 四边形为平行四边形，,，.（12分） 故点的坐标为（13分） 16．（15分） 【新考法】已知复数（i是虚数单位，），且为纯虚数． (1)求实数m； (2)设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数a的取值． 【解析】（1）（2分） 为纯虚数，，解得，故（4分） 则．（6分） （2），（7分） ，（10分） 复数对应的点在第二象限，，解得， 故实数a的取值范围为．（15分） 17．（15分） 已知与的夹角为. (1)求； (2)求及； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【解析】（1）由与的夹角为，得.（4分） （2）由（1）得，（6分） .（10分） （3）由向量与的夹角为锐角，得， 且向量与不共线， 则，即，（13分） 解得且， 所以实数的取值范围是.（15分） 18．（17分） （2026·河南洛阳·模拟）如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． (1)若，求的值； (2)求的长； (3)求的取值范围． 【解析】（1）由分别为的中点，则，，（2分） 由图可得，则，（4分） 所以（5分） （2）由（1）可知，，由，则，（7分） ，（9分） 可得，解得（10分） （3）由图可得，（12分） ，（14分） ，（16分） 由，则（17分） 19．（17分） 【新定义】如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设，分别为Ox，Oy正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中．    (1)若向量，求． (2)已知向量，，证明：． (3)若向量，的斜坐标分别为和，，设函数，，． ①证明：有且只有一个零点． ②比较与的大小，并说明理由．（参考数据：，） 【解析】（1）因为向量，所以，又因为，， 所以，所以.（4分） （2）因为向量，，所以，， 所以 化简得.（8分） （3）①由（2）得， 化简得，（9分） 所以， 当时，单调递增，因为， 又因为，，所以， 又因为，所以， 由零点存在定理可得，存在，使得， 所以在上有一个零点. 当时，，，所以， 故在上没有零点. 当时，，， 所以，故在上没有零点. 综上可得，有且只有一个零点.（13分） ②. 理由如下：在上单调递减， 所以，即，所以.（17分） 6 / 11学 学科网（北京）股份有限公司 $