精品解析：福建南平市2025-2026学年第二学期高二年级综合练习(一)数学试题

2025-2026学年第二学期高二年级综合练习（一） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 若（且），则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 若曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，的展开式中的系数为55，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 （参考公式与数据：，，，），则下列叙述正确的是（ ） A. 相关系数的绝对值越接近0，表示，的线性相关程度越强 B. ， C. 当时，残差为 D. 用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 8. 若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 将杨辉三角中的每一个数值都换成得到的三角形称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多有趣的性质，如从第0行开始每一个数均等于其脚下两个数之和．如果，以下关于莱布尼茨三角形的结论中，正确的有（ ） A. 第行的第个数是 B. 当是奇数时，正中间的两个数相等，且为这一行所有数的最大值 C. 第行中，第个数等于第个数 D. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数且，，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 3名游客在观看南平主场的“闽超”比赛后，计划去南平周边的5个景点游玩，每人只去1个景点．若每人的选择互不影响，则不同的选法种数是__________．（用数字作答） 13. 若，是随机试验的两个事件，且，，，则__________． 14. 一个不透明的袋中有分别标有数字，，，的相同小球．规定每人每次从中随机抽取3个，记录好标号后将小球放回袋中．现有两人依次各抽取1次，记为这个小球中至少被取出1次的小球的个数，则的数学期望__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）当时，求函数在上的最大值； （2）若，解关于的不等式． 16. 在新型病毒疫苗研发过程中，需要利用基因编辑小鼠进行动物实验．现从实验小鼠中随机调查了若干只，得到如下列联表： 单位：只 被新型病毒感染 未被新型病毒感染 合计 注射疫苗 未注射疫苗 合计 （1）将频率视为概率，记未被新型病毒感染的小鼠注射疫苗的概率为，求，之间的关系； （2）在（1）的条件下，根据小概率值的独立性检验，分析得出是否注射疫苗与被新型病毒感染有关，求的最小值． 附：，（N为中样本容量） 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 设，命题：，使得不等式成立；命题：函数在区间内单调递增． （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若命题，有且只有一个是真命题，求的取值范围． 18. 某工厂有甲、乙两个车间加工同一种零件，已知加工该零件需要两道工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道工序的加工结果都合格，该产品才能出厂进行销售．已知甲车间每道工序加工结果合格的概率均为0.9；乙车间第一、二道工序加工结果合格的概率分别为0.95，0.8． （1）对6个来自甲车间、4个来自乙车间的零件进行质检． （i）若从上述10个零件中随机抽取1个零件，求该零件可以出厂销售的概率； （ii）若从上述10个零件中随机抽取2个零件，设其中来自甲车间的零件数为，求的分布列和均值； （2）甲车间加工的每个零件，若可以出厂销售则能盈利100元，若不能出厂销售则亏损30元．乙车间加工的每个零件，若可以出厂销售则能盈利100元，若不能出厂销售则亏损20元．由于这种零件市场需求量大，该工厂计划扩建甲乙两个车间中的一个车间以增加产量，若以两个车间各加工100个零件的平均获利为决策依据，该工厂应扩建甲车间还是乙车间？ 19. 已知函数． （1）设，求的极值； （2）设，数列满足，且． （i）证明：； （ii）证明：当且时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高二年级综合练习（一） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合相等、交集、子集的定义逐一判断即可. 【详解】A：因为，所以，因此本选项不正确； B：因为，所以本选项不正确； C：因为，所以不正确，因此本选项不正确； D：因为中的所有元素都是集合中的元素， 所以，因此本选项正确. 2. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，则， 所以. 3. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由正态分布的对称性知，且， 所以. 4. 若（且），则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据排列数、组合数及组合数的性质计算即可. 【详解】由，得， 因为且，所以，解得. 当时，， 故. 5. 若曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，； ，，则切点， 曲线在点处的切线方程为，即； ，解得. 6. 若，的展开式中的系数为55，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式通项，结合组合数的性质进行求解即可. 【详解】二项式的通项为， 因为的展开式中的系数为55， 所以， ， 因为， 所以， 所以由. 7. 某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 （参考公式与数据：，，，），则下列叙述正确的是（ ） A. 相关系数的绝对值越接近0，表示，的线性相关程度越强 B. ， C. 当时，残差为 D. 用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 【答案】C 【解析】 【分析】根据相关系数与线性相关程度的关系，平均数，残差，线性回归方程计算的结果判断各个选项； 【详解】对于A，根据表格作出散点图如下所示， 由图可知，变量和正相关，但相关系数的绝对值越接近1，线性相关程度越强，越接近0，相关程度越弱，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于D，根据公式计算回归系数， ，所以回归直线方程为，故D错误； 对于C，当时，预测值，残差为，故C正确. 8. 若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合基本不等式及“”的代换，两次利用基本不等式可得最值. 【详解】已知，，， 则， 又，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故， 由，当且仅当，即时等号成立， 则， 当且仅当，，时等号成立， 即的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由指数函数的单调性可判断，对于BCD，通过作差法可判断. 【详解】选项A：当时，指数函数 在R上单调递减， 又，所以，故A错误； 选项B：变形得： ， 因为 且 ，所以 ，即 ，B正确； 选项C：作差整理： ， 因为，则，， 可得 ，， 故，即 ，C正确； 选项D：作差整理： ， 因为，得 ，其余项都为正， 故，即 ，D错误. 10. 将杨辉三角中的每一个数值都换成得到的三角形称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多有趣的性质，如从第0行开始每一个数均等于其脚下两个数之和．如果，以下关于莱布尼茨三角形的结论中，正确的有（ ） A. 第行的第个数是 B. 当是奇数时，正中间的两个数相等，且为这一行所有数的最大值 C. 第行中，第个数等于第个数 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.归纳出莱布尼茨三角形第行第个数（行、列均从 0 计数）是 ，代入计算验证 A；B.根据分母中组合数的大小判断分数大小，推出 B 中间是最小值，排除 B；C.利用组合数对称性质，证明 C 中的两个数相等；D.借助组合数公式化简等式，证明 D 中的恒等式成立. 【详解】莱布尼茨三角形第行第个数（行、列均从 0 计数）是 ， 选项 A，第 8 行第 2 个数，即，所以第 8 行第 2 个数是，A 正确； 选项 B，因为，所以， 所以每一行的数关于中间对称，当为奇数时，杨辉三角的中间两个数和相等且是该行组合数的最大值， 因为的分母越大，分数值越小，所以当取最大值时，取最小值， 所以对应的莱布尼茨数是最小值，不是最大值，B 错误； 选项 C，第 100 行，，第 46 个数对应，第 56 个数对应， 由组合数性质得，所以，C 正确； 选项 D，左边， 因为，， 所以， 所以左边， 因为右边， 所以左边=右边，即(，1) ， D 正确. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数且，，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】先求的周期，再求，再举出不是奇函数但是满足题意的函数，最后根据周期性讨论的值. 【详解】由题可知：，由得，对两边求导得：，即得， 所以关于中心对称，所以，因为为偶函数，所以， 根据关于中心对称得，所以，所以， ，所以A正确，B正确； 对于C，令，其导数为偶函数，且满足，，但是不是奇函数，C错误； 对于D，因为，所以，即， 的周期为8，考虑的前八项，其中，，， ， 因为可为任意实数，所以不一定为，所以D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 3名游客在观看南平主场的“闽超”比赛后，计划去南平周边的5个景点游玩，每人只去1个景点．若每人的选择互不影响，则不同的选法种数是__________．（用数字作答） 【答案】125 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理计算. 【详解】由题意知，每名游客均有5个选择，所以不同选法种数是. 13. 若，是随机试验的两个事件，且，，，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由概率的性质得，，根据条件概率的求法求概率. 【详解】由，，，则， 由，则，故. 14. 一个不透明的袋中有分别标有数字，，，的相同小球．规定每人每次从中随机抽取3个，记录好标号后将小球放回袋中．现有两人依次各抽取1次，记为这个小球中至少被取出1次的小球的个数，则的数学期望__________． 【答案】 【解析】 【详解】单次抽3个球时，某特定小球没被抽到的概率为， 因此两次都没被抽到的概率为， 可得，即 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）当时，求函数在上的最大值； （2）若，解关于的不等式． 【答案】（1）3 （2）时，不等式解集为；时，不等式解集为；时，不等式解集为． 【解析】 【分析】（1）由二次函数的性质求解即可； （2）先因式分解，再对分类讨论即可. 【小问1详解】 当时，， 二次函数的图象开口向上，对称轴为， 因为，在上单调递增， 所以的最大值为 【小问2详解】 由得， 若，则； 若，则； 若，则； 综上：时，不等式解集为；时，不等式解集为； 时，不等式解集为． 16. 在新型病毒疫苗研发过程中，需要利用基因编辑小鼠进行动物实验．现从实验小鼠中随机调查了若干只，得到如下列联表： 单位：只 被新型病毒感染 未被新型病毒感染 合计 注射疫苗 未注射疫苗 合计 （1）将频率视为概率，记未被新型病毒感染的小鼠注射疫苗的概率为，求，之间的关系； （2）在（1）的条件下，根据小概率值的独立性检验，分析得出是否注射疫苗与被新型病毒感染有关，求的最小值． 附：，（N为中样本容量） 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）； （2）96 【解析】 【分析】（1）根据频率与频数、概率的关系求解即可. （2）计算卡方，结合独立性检验建立不等式求解即可. 【小问1详解】 因为未被新型病毒感染的小鼠注射疫苗概率为，且频率视为概率， 所以，解得. 【小问2详解】 将代入列联表可得： 被新型病毒感染 未被新型病毒感染 合计 注射疫苗 未注射疫苗 合计 则， 因为根据小概率值的独立性检验，是否注射疫苗与被新型病毒感染有关， 所以，解得， 所以， 因为，且是3的倍数，所以的最小值为96. 17. 设，命题：，使得不等式成立；命题：函数在区间内单调递增． （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若命题，有且只有一个是真命题，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分情况讨论当不等式是或不是二次不等式时解的情况； （2）求导，根据导数判断当命题为真命题时的取值范围，再分情况讨论两个命题真假性即可. 【小问1详解】 因为：，使得不等式成立为真命题， 当时，不等式化为，为假命题，不符合题意； 当时，，为真命题，符合题意； 当时，，解得． 综上，的取值范围为． 【小问2详解】 由函数得， 若为真命题，则在上恒成立， 即在上恒成立． 因为在上单调递减，最大值为，所以． 由（1）知，若为真命题，的取值范围为． 又因为，有且只有一个是真命题， 所以当真假时，有，解得； 当假真时，有，解得． 所以的取值范围是． 18. 某工厂有甲、乙两个车间加工同一种零件，已知加工该零件需要两道工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道工序的加工结果都合格，该产品才能出厂进行销售．已知甲车间每道工序加工结果合格的概率均为0.9；乙车间第一、二道工序加工结果合格的概率分别为0.95，0.8． （1）对6个来自甲车间、4个来自乙车间的零件进行质检． （i）若从上述10个零件中随机抽取1个零件，求该零件可以出厂销售的概率； （ii）若从上述10个零件中随机抽取2个零件，设其中来自甲车间的零件数为，求的分布列和均值； （2）甲车间加工的每个零件，若可以出厂销售则能盈利100元，若不能出厂销售则亏损30元．乙车间加工的每个零件，若可以出厂销售则能盈利100元，若不能出厂销售则亏损20元．由于这种零件市场需求量大，该工厂计划扩建甲乙两个车间中的一个车间以增加产量，若以两个车间各加工100个零件的平均获利为决策依据，该工厂应扩建甲车间还是乙车间？ 【答案】（1）（i）0.79 （ii）的分布列 （2）应扩建甲车间． 【解析】 【分析】（1）（i）结合甲、乙车间零件的占比和各自的出厂概率，由全概率公式进行计算； （ii）服从超几何分布，根据超几何分布的概率公式计算取不同值的概率，进而得到分布列，再用均值公式计算期望； （2）分别计算甲、乙车间100个零件的平均获利，比较两者大小即可. 【小问1详解】 （i）设事件“抽取的零件来自甲车间”，“抽取的零件来自乙车间”，“抽取的零件可以出厂销售”. 则，，，； 由全概率公式得. 该零件可以出厂销售的概率为. （ii）的所有可能取值为，，． 由题意可得，服从超几何分布，则，其中. ，，. 的分布列为： . 【小问2详解】 由（1）得，即甲车间加工100个零件中预计可以出厂销售的有个， 则甲车间加工100个零件的平均获利为（元）， 由（1）得，即乙车间加工100个零件中预计可以出厂销售的有76个， 乙车间加工100个零件的平均获利为（元）， ，甲车间的平均获利更高，应扩建甲车间. 19. 已知函数． （1）设，求的极值； （2）设，数列满足，且． （i）证明：； （ii）证明：当且时，． 【答案】（1）极大值0，无极小值． （2）（i）令，， 得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故时，取得最大值， 所以， 因为， 故，得证． （ii）当，且时，由（i）可得，因为， 所以，，依次类推， 由（1）可得时，取得极大值，也即为最大值，所以， 即，所以， 所以，即， 不等式两边取对数， 不等式两边同时减去1，得， 因为，所以，所以， 故 ， ， 累乘可得，即， 故当时，， 综上所述，当，且时得证． 【解析】 【分析】（1）先确定函数的定义域，对求导，根据导数的正负判断函数单调性，进而求出极值； （2）（i）先确定的定义域，利用放缩构造新函数，求导判断单调性，证明； （ii）由（i）的结论得到的放缩关系，结合对数函数的性质将乘积转化为和式，再利用累加方法证明不等式 【小问1详解】 ，， ． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故时，取得极大值，无极小值． 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $