精品解析：福建省龙海第一中学2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试卷

龙海一中2025-2026学年第二学期期末考试20260710 高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. -1 D. -2 3. 已知命题，.若为假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 下列结论中，正确的是（ ） A. 设则 B. 若，则 C. 若，则 D. 5. 已知实数x，y，z满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的有（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0 B. 若是随机变量，则. C. 已知随机变量，若，则 D. 设随机变量表示发生概率为的事件在一次随机试验中发生的次数，则 8. 已知函数的定义域均为的图象关于直线对称，且，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 有3台车床加工同一型号零件，第1台次品率为6%，第2，3台次品率为5%，加工的零件混在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件分别占总数的25%，30%，45%，记事件“任取一个零件为次品”，事件“零件为第台车床加工”（，2，3），则（ ） A. B. C. D. 10. 在棱长为1的正方体中，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，有且仅有一个点，使得 B. 当时，四棱锥的外接球体积的最大值为 C. 当时，直线与平面所成角的最小值为 D. 当时，平面 11. 已知函数的图象与直线交于不同的三点，，且，则（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为___________． 13. 已知函数在上不单调，则的取值范围是_________． 14. 已知对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某网络购物平台专营店统计了某年2月15日至19日这5天在该店购物的人数（单位：人）的数据如下表： 日期 2月15日 2月16日 2月17日 2月18日 2月19日 日期代号 1 2 3 4 5 购物人数 77 84 93 96 100 （1）根据表中数据，建立关于的一元线性回归模型，并根据该回归模型预测当年2月21日在该店购物的人数（人数用四舍五入法取整数）； （2）为了了解参加网购人群的年龄分布，该店随机抽取了200人进行问卷调查.得到如下所示不完整的列联表： 年龄 不低于40岁 低于40岁 合计 参与过网上购物 30 150 未参与过网上购物 30 合计 200 将列联表补充完整，并依据表中数据及小概率值的独立性检验，能否认为“参与网上购物”与“年龄”有关. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面.如图2，的中点为. （1）求证：平面； （2）若的中点为，在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 17. 2020年8月，体育总局和教育部联合提出了《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》.某地区为落实该意见，初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远､掷实心球､1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分.某学校在初三上学期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到频率分布直方图(如图所示)，且规定计分规则如下表： 每分钟跳绳个数 得分 17 18 19 20 （1）现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于35分的概率； （2）若该校初三年级所有学生的跳绳个数，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差.已知样本方差(各组数据用中点值代替).根据往年经验，该校初三年级学生经过训练，正式测试时跳绳个数都有明显进步.假设中考正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型： ①全年级有1000名学生，预估正式测试每分钟跳182个以上人数；(结果四舍五入到整数) ②若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为，求随机变量的分布列和期望. 附：若，则. 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）对任意的，恒成立，请求出的取值范围． 19. 已知函数是奇函数.（e是自然对数的底） （1）求实数k的值； （2）若时，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围； （3）设，对任意实数，若以a，b，c为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数n的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙海一中2025-2026学年第二学期期末考试20260710 高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得，解得或； ，. ，. 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 2. 设是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. -1 D. -2 【答案】B 【解析】 【详解】 ，即 . 3. 已知命题，.若为假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题可得命题p的否定为真命题，即可由此求解. 【详解】为假命题， ，为真命题， 故恒成立， 在的最小值为， ∴. 故选：A. 4. 下列结论中，正确的是（ ） A. 设则 B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式指数幂及根式的运算法则，正确运算，即可判断出正误． 【详解】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得，选项A错误； 对于B，，故，选项B正确； 对于 C，， ，因为，所以，选项C错误； 对于D，，选项D错误. 故选：B． 5. 已知实数x，y，z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，．由 ，得 ， 函数 在 上单调递增， 单调递减， 故方程有唯一解，且 ． 由 ，代入 得，故 ． 令 ，该函数在 上单调递增， 因为 ，，所以 ． 综上，． 6. 如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用表示出，再应用空间向量数量积的运算律求的模长，从而得解． 【详解】由题意可知，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，，则线段的长度为． 故选：A． 7. 下列说法正确的有（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0 B. 若是随机变量，则. C. 已知随机变量，若，则 D. 设随机变量表示发生概率为的事件在一次随机试验中发生的次数，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线性相关系数的定义，期望方差的公式以及正态分布进项逐项分析即可得答案. 【详解】解： 对于选项A：根据相关系数的定义可知A错误； 对于选项B：若是随机变量，则，故B错误； 对于选项C：因为随机变量服从正态分布，故， 则，故C错误； 对于选项D：随机变量的可能取值为、，故， ，当且仅当取等号，故D正确； 故选：D 8. 已知函数的定义域均为的图象关于直线对称，且，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件可得为偶函数，且周期为12，再结合周期和已知条件可求得结果. 【详解】的图象关于直线对称，， ，， ∵， ，则为偶函数． 由，得， 由，得， 则，则， ，则，的周期为12． ，，则， 的图象关于点对称，． ，，则， ，. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 有3台车床加工同一型号零件，第1台次品率为6%，第2，3台次品率为5%，加工的零件混在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件分别占总数的25%，30%，45%，记事件“任取一个零件为次品”，事件“零件为第台车床加工”（，2，3），则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用相互独立事件概率的乘法公式及条件概率公式分别求出各个选项的值即可判断各个选项的正误. 【详解】解：根据题意，故C正确； ， 则，故A正确； ，故B正确； ，故D错误. 故选：ABC. 10. 在棱长为1的正方体中，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，有且仅有一个点，使得 B. 当时，四棱锥的外接球体积的最大值为 C. 当时，直线与平面所成角的最小值为 D. 当时，平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，得到点P的轨迹判断. 【详解】A.如图所示： E，F，M为所在棱的中点， 当时，因为，所以点P的轨迹为线段EF，因为点M到EF的距离等于，所以以为直径的圆与直线EF相切，所以有且仅有一个点，使得，故正确； B. 如图所示： 当时，因为，所以点P的轨迹为线段，若四棱锥的外接球体积的最大，则点P与重合，所以四棱锥的外接球即为正方体的外接球，所以其直径为,，外接球的体积为，故正确； C. 如图所示： 当时，因为，所以点P的轨迹为线段，若直线与平面所成角最小，则点P与重合，即为，又，则，故错误； D.如图所示： 当时，因为，所以P，C，B1点共线，即P的轨迹为线段，易知，平面，平面，所以平面，同理平面，又，所以平面平面，所以平面，故正确； 故选：ABD 11. 已知函数的图象与直线交于不同的三点，，且，则（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】先通过对称性、导数与极值判断选项A、B的正确性，再利用三次方程韦达定理结合函数根的分布分析选项C、D的取值范围. 【详解】对于A：因为，所以的图象关于点中心对称，A正确； 对于B：，令，得或；令0，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极大值，极大值为； 当2时，取得极小值，极小值为， 作出函数的大致图象，如图所示， 要使得函数的图象与直线交于不同的三点，则，B正确； 对于C：令，解得或；令，解得或，所以. 令，则的三个根分别为， 则， 所以，由于，所以， 即的取值范围是，C错误； 对于D：. 因为，所以当时，，当时，， 所以的取值范围是，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据幂函数的结构特征求出m，再根据单调性即可得答案. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，在区间上单调递增，不满足题意， 当时，在上单调递减，满足题意. 故． 故答案为： 13. 已知函数在上不单调，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】 由题意知，函数在区间上存在极值点，利用导函数在区间上单调，可得出有关实数的不等式组，解出即可. 【详解】，，则函数在上单调递减， 因为函数在上不单调，所以在上有解， 所以，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用函数在区间上不单调求参数的取值范围，一般转化为函数在区间上有极值点，考查运算求解能力，属于中等题. 14. 已知对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先将不等式整理为，构造同构函数，由是上的单调递增函数，将问题转化为恒成立；再求的最大值，从而得到实数的取值范围. 【详解】原不等式整理得：. 构造函数，原不等式等价于对任意恒成立. 对求导得：恒成立，因此是上的单调递增函数， 不等式等价于：. 将不等式变形为对任意恒成立，令，求导得， 令，得，当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 因此的最大值为，故，即. 综上，的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某网络购物平台专营店统计了某年2月15日至19日这5天在该店购物的人数（单位：人）的数据如下表： 日期 2月15日 2月16日 2月17日 2月18日 2月19日 日期代号 1 2 3 4 5 购物人数 77 84 93 96 100 （1）根据表中数据，建立关于的一元线性回归模型，并根据该回归模型预测当年2月21日在该店购物的人数（人数用四舍五入法取整数）； （2）为了了解参加网购人群的年龄分布，该店随机抽取了200人进行问卷调查.得到如下所示不完整的列联表： 年龄 不低于40岁 低于40岁 合计 参与过网上购物 30 150 未参与过网上购物 30 合计 200 将列联表补充完整，并依据表中数据及小概率值的独立性检验，能否认为“参与网上购物”与“年龄”有关. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），； （2） 年龄 不低于岁 低于岁 合计 参与过网上购物 未参与过网上购物 合计 200 有关. 【解析】 【分析】（1）根据给定数表，求出相关量，再利用最小二乘法求出回归方程，并作出估计即得. （2）完善列联表，再求出的观测值，与临界值表比对作答. 【小问1详解】 由表中数据可得，， ， ， 则，， 所以关于的一元线性回归方程是， 令，得， 所以估计当年2月21日在该店购物的人数为人. 【小问2详解】 列联表如下： 年龄 不低于岁 低于岁 合计 参与过网上购物 未参与过网上购物 合计 200 零假设为：参加网上购物和年龄无关， 根据数据，计算得到：， 所以根据小概率的独立性检验，我们推断不成立， 即认为参加网上购物和年龄有关，此推断犯错误的概率不大于. 16. 如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面.如图2，的中点为. （1）求证：平面； （2）若的中点为，在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 因为，的中点为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 根据面面垂直的性质可得平面； （2） 取的中点为，连接，则， 由图1直角梯形可知，为正方形， ，，，，. 由（1）平面，可知，，两两互相垂直，分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 设， ， 设平面的法向量为， 取，则.即平面的法向量为， 由平面，取平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 解得或（舍）. 所以，线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为.点位于线段靠近的三等分点处. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直性质定理即可证明； （2）分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，设，，利用面面角的空间向量公式列出方程求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 2020年8月，体育总局和教育部联合提出了《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》.某地区为落实该意见，初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远､掷实心球､1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分.某学校在初三上学期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到频率分布直方图(如图所示)，且规定计分规则如下表： 每分钟跳绳个数 得分 17 18 19 20 （1）现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于35分的概率； （2）若该校初三年级所有学生的跳绳个数，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差.已知样本方差(各组数据用中点值代替).根据往年经验，该校初三年级学生经过训练，正式测试时跳绳个数都有明显进步.假设中考正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型： ①全年级有1000名学生，预估正式测试每分钟跳182个以上人数；(结果四舍五入到整数) ②若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为，求随机变量的分布列和期望. 附：若，则. 【答案】（1）；（2）①人；②分布列答案见解析，数学期望：. 【解析】 【分析】 （1）分成两人得分均为16分，或两人中1人16分，1人17分两种情况，计算得到答案； （2）①先计算，得到，代入公式计算得到答案； ②每分钟跳绳个数195以上的概率为0. 5，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案. 【详解】（1）由频率分步直方图得，得分为17，18的人数分别为6人，12人， 所以两人得分之和不大于35分为两人得分均为17分，或两人中1人17分1人18分， 所以. （2） 又，所以正式测试时，，所以， ①所以，所以人； ②由正态分布模型，任取1人，每分钟跳绳个数195以上的概率为，即， 所以， 所以， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以. 答：（1）两人得分之和不大于35分的概率为； （2）①每分钟跳182个以上人数为841；②随机变量的期望. 【点睛】方法点睛：本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，第二问的关键点是计算出，从而得出，判断出，意在考查学生的综合应用能力. 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）对任意的，恒成立，请求出的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）分、两种情况讨论的符号后可得的单调性. （2）原不等式等价于，令，其导数为，求得，虚设其在上的零点后，可证明恒成立，从而得到在上为增函数，求得的值域后可得的取值范围. 【详解】解：（1）， 若，则，所以函数在上递增； 若，方程的判别式为， 所以方程有两根分别为，， 所以当时，； 当时，， 所以函数在上递减；在上递增. （2）不等式，对任意的恒成立， 即对任意的恒成立． 令，则， 令，则， 易知在上单调递增， 因为，，且的图象在上不间断， 所以存在唯一的，使得，即，则． 当时，单调递减；当时，单调递增． 则在处取得最小值， 且最小值为， 所以，即在上单调递增，所以. 所以． 【点睛】本题考查函数单调性的讨论、含参数的不等式恒成立，前者利用导数的符号的正负来处理，注意对参数合理分类讨论，后者应构建新函数，以导数为工具讨论新函数的单调性，必要时需多次求导，另外如果导数的零点存在但不易求得，可虚设零点后再讨论极值的性质. 19. 已知函数是奇函数.（e是自然对数的底） （1）求实数k的值； （2）若时，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围； （3）设，对任意实数，若以a，b，c为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数n的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据求出，再检验的奇偶性； （2）若，将关于x的不等式恒成立，转化为恒成立，利用基本不等式得，从而可得； （3）化简，设，得，且，根据题意得恒成立，根据基本不等式得，由求出的最大值即为的最大值. 【小问1详解】 因为是奇函数，且定义域为R，所以， 即，解得.经检验，此时是奇函数 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 由时，恒成立，得， 因为，所以， 设， 因为，当且仅当时，等号成立，又，所以， 故， 所以. 【小问3详解】 由题意得： 不妨设， 以a，b，c为长度的线段可以构成三角形，即，且， 以，，为长度的线段也能构成三角形，则恒成立，得恒成立， 因为，仅当a=b时前一个等号成立， 所以，即，于是n的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $