1.2 菱形的性质与判定 知识梳理与题型突破 2026-2027学年北师大版九年级数学上册（八大题型）

1.2菱形的性质与判定知识梳理与题型突破2026-2027学年 北师大版九年级上册（八大题型） 知识梳理： 考点 1 菱形的性质 ： 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2） 且四条边都相等 （3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 考点2 菱形的面积： 菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 考点3 菱形的判定： ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 题型突破： 题型一：根据菱形的性质与判定求角度 1.如图，BD为菱形ABCD的对角线，已知∠A＝50°，则∠BDC的度数为（　　） A．130° B．50° C．55° D．65° 【答案】D 2．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，E是线段上的一点，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 3．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的度数为___________． 【答案】 4.如图，在菱形中，对角线交于点O，点E是边上一点，连接，把沿直线翻折到菱形所在平面内得到，点F正好落在的延长线上，连接．若，则的度数为 ．    【答案】 5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AE＝CF． （1）求证四边形ABCD为菱形； （2）若点E是AB的中点，求∠A的度数． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】 （1）证明：∵AD∥BC，且AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C， ∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴∠AED=∠CFD=90°， 在△ADE和△CDF中， ∴△ADE≌△CDF， ∴AD=CD ∴四边形ABCD为菱形； （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB， 如图，连接 ∵点E是AB的中点， ∴是等边三角形， ∴∠A= 题型二：根据菱形的性质与判定求线段长 1．已知菱形的对角线，则该菱形的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 2.如图，菱形的对角线交于点O，，过点O作于点E，若，则的长为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 3．如图，菱形中，O为的中点，M为的中点，，，则的长为 ．    【答案】 4．如图，这是小悦家一个菱形中国结装饰，对角线相交于点，测得，过点作于点，则的长为 ． 【答案】 5.如图，在ABCD中，BD＝AD，延长CB到点E，使BE＝BD，连接AE. (1)求证：四边形AEBD是菱形； (2)连接DE交AB于点F，若，，求AD的长. 【答案】 (1) 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC，AD＝BC， ∵DB＝DA， BE＝BD， ∴AD＝BE， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∵BE＝BD， ∴四边形AEBD是菱形 (2) 解：如图，连接DE交AB于F， ∵四边形AEBD是菱形， ∴AB⊥DE， ∴∠EFB＝90°. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABDC. ∴∠EDC ＝∠EFB＝90°. ∵DC＝，DC：DE＝1：3， ∴DE＝. 在Rt△EDC中，根据勾股定理可得 ∴AD＝. 题型三：根据菱形的性质与判定求面积与周长 1.菱形ABCD中，若对角线AC＝8cm，BD＝6cm，则菱形ABCD的周长是（　　） A．25 B．20 C．15 D．10 【答案】B． 2.如图，某公园计划建造一个菱形的郁金香花坛，若菱形花坛的两条对角线、的长分别为6米和10米，则菱形花坛的面积为（    ） A．60平方米 B．50平方米 C．40平方米 D．30平方米 【答案】D 3．在菱形中，长为，对角线长为，该菱形的面积是 ． 【答案】 4.如图，将两条宽度都为的纸条重叠在一起，重叠部分构成四边形，且，则四边形的周长为 ． 【答案】 5.如图，在四边形中，，于点O，点E是延长线上一点，，于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，，，求． 【答案】 (1) ∵，于点O， ∴， ∵， ∴四边形AECD是平行四边形， 由AD=CD， ∴四边形AECD是菱形． (2) 如图，∵于点F， ∴∠AFC=90°， 又∵AC⊥BD， ∴∠BOA=90°， ∵平分，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴设， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵菱形AECD中，OD=OE， ∴， ∴． ． 题型四：由菱形的性质求点的坐标 1．如图，平面直角坐标系中，四边形是菱形，两点的坐标分别是，，且轴，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 2．在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的三个顶点O(0，0)，B(4，0)，顶点C的纵坐标为﹣1，则顶点A的坐标为 ． 【答案】(2，1) 3．在平面直角坐标系中，已知A（0，0）、B（6，0），点C在第一象限，且AC＝BC＝6，若存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 　 　． 【答案】（9，3）或（﹣3，3）或（3，﹣3）． 4．如图，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O．已知点，，则点C的坐标为 　　． 【答案】． 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，点Q是坐标平面内的任意一点．若以O，D，P，Q为顶点的四边形是边长为5的菱形时，则点Q的坐标为 　 　． 【答案】（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）． 题型五：菱形判定的条件 1．如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（　　） A．AC＝BD B．∠ABC＝∠ADC C．∠ABC＝90° D．AC⊥BD 【答案】D． 2．依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 3．如图所示，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（　　） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】B． 4．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，下列结论不正确的是（　　） A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形 C．当∠BAO＝∠DAO时，它是菱形 D．当AC＝BD时，它是菱形 【答案】D． 5．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B． 6．如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件： ，使得平行四边形ABCD为菱形． 【答案】AD=DC 题型六：根据菱形的性质与判定求动点中的最值问题 1.如图，在边长为8的菱形中，点为边，上的动点，且，连接，若菱形面积为60，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 2．如图，在菱形中，，，点，，分别为线段，，上的任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 3.如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在对角线AC和边AD上，连接DE，EF，若AC=4，BD=2，则DE，EF之和的最小值为______． 【答案】## 4．如图，在菱形中，两点分别从两点同时出发，以相同的速度分别向终点移动，连接，在移动的过程中，的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 2 5．如图，在边长为的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到，则的最小值为 ． 【答案】 题型七：根据菱形的性质与判定求折叠问题 1．如图，菱形的边长为1，，将菱形折叠使点A，C都落在对角线上点G处，折痕分别为，，则阴影部分的周长为 ． 【答案】 2．如图，在菱形中，，点M和N分别是和上一点，沿将折叠，点A恰好落在边的中点E上.若，则的长为 . 【答案】 3．如图，在菱形中，，点是的中点，点为边上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为 ． 【答案】或 题型八：菱形的判定证明 1.如图，中，D是边上一点，E是的中点，过点C作的平行线交的延长线于F． (1)求证：， (2)连接、，若，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形 【详解】（1）证明：∵E是的中点，， ∴，，， ∴． （2）四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 2.如图，中，平分，交于点D，垂直平分，交于点E，交于点F，垂足为点G，连接，．求证： (1) ； (2)四边形是菱形． 【答案】（1）证明：∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE＝CF，并且∠AED＝∠CFD．求证： （1）△AED≌△CFD； （2）四边形ABCD是菱形． 【答案】略 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C， 在△AED和△AFD中， ， ∴△AED≌△CFD（ASA）； （2）由（1）知，△AED≌△CFD， ∴AD＝CD， 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是菱形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2菱形的性质与判定知识梳理与题型突破2026-2027学年 北师大版九年级上册（八大题型） 知识梳理： 考点 1 菱形的性质 ： 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2） 且四条边都相等 （3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 考点2 菱形的面积： 菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 考点3 菱形的判定： ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 题型突破： 题型一：根据菱形的性质与判定求角度 1.如图，BD为菱形ABCD的对角线，已知∠A＝50°，则∠BDC的度数为（　　） A．130° B．50° C．55° D．65° 2．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，E是线段上的一点，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的度数为___________． 4.如图，在菱形中，对角线交于点O，点E是边上一点，连接，把沿直线翻折到菱形所在平面内得到，点F正好落在的延长线上，连接．若，则的度数为 ．    5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AE＝CF． （1）求证四边形ABCD为菱形； （2）若点E是AB的中点，求∠A的度数． 题型二：根据菱形的性质与判定求线段长 1．已知菱形的对角线，则该菱形的边长是（   ） A． B． C． D． 2.如图，菱形的对角线交于点O，，过点O作于点E，若，则的长为（   ） A．2 B．4 C． D． 3．如图，菱形中，O为的中点，M为的中点，，，则的长为 ．    4．如图，这是小悦家一个菱形中国结装饰，对角线相交于点，测得，过点作于点，则的长为 ． 5.如图，在ABCD中，BD＝AD，延长CB到点E，使BE＝BD，连接AE. (1)求证：四边形AEBD是菱形； (2)连接DE交AB于点F，若，，求AD的长. 题型三：根据菱形的性质与判定求面积与周长 1.菱形ABCD中，若对角线AC＝8cm，BD＝6cm，则菱形ABCD的周长是（　　） A．25 B．20 C．15 D．10 2.如图，某公园计划建造一个菱形的郁金香花坛，若菱形花坛的两条对角线、的长分别为6米和10米，则菱形花坛的面积为（    ） A．60平方米 B．50平方米 C．40平方米 D．30平方米 3．在菱形中，长为，对角线长为，该菱形的面积是 ． 4.如图，将两条宽度都为的纸条重叠在一起，重叠部分构成四边形，且，则四边形的周长为 ． 5.如图，在四边形中，，于点O，点E是延长线上一点，，于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，，，求． 题型四：由菱形的性质求点的坐标 1．如图，平面直角坐标系中，四边形是菱形，两点的坐标分别是，，且轴，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的三个顶点O(0，0)，B(4，0)，顶点C的纵坐标为﹣1，则顶点A的坐标为 ． 3．在平面直角坐标系中，已知A（0，0）、B（6，0），点C在第一象限，且AC＝BC＝6，若存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 　 　． 4．如图，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O．已知点，，则点C的坐标为 　　． 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，点Q是坐标平面内的任意一点．若以O，D，P，Q为顶点的四边形是边长为5的菱形时，则点Q的坐标为 　 　． 题型五：菱形判定的条件 1．如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（　　） A．AC＝BD B．∠ABC＝∠ADC C．∠ABC＝90° D．AC⊥BD 2．依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（　　） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 4．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，下列结论不正确的是（　　） A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形 C．当∠BAO＝∠DAO时，它是菱形 D．当AC＝BD时，它是菱形 5．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件： ，使得平行四边形ABCD为菱形． 题型六：根据菱形的性质与判定求动点中的最值问题 1.如图，在边长为8的菱形中，点为边，上的动点，且，连接，若菱形面积为60，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 2．如图，在菱形中，，，点，，分别为线段，，上的任意一点，则的最小值为 ． 3.如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在对角线AC和边AD上，连接DE，EF，若AC=4，BD=2，则DE，EF之和的最小值为______． 4．如图，在菱形中，两点分别从两点同时出发，以相同的速度分别向终点移动，连接，在移动的过程中，的最大值为 ，最小值为 ． 5．如图，在边长为的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到，则的最小值为 ． 题型七：根据菱形的性质与判定求折叠问题 1．如图，菱形的边长为1，，将菱形折叠使点A，C都落在对角线上点G处，折痕分别为，，则阴影部分的周长为 ． 2．如图，在菱形中，，点M和N分别是和上一点，沿将折叠，点A恰好落在边的中点E上.若，则的长为 . 3．如图，在菱形中，，点是的中点，点为边上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为 ． 题型八：菱形的判定证明 1.如图，中，D是边上一点，E是的中点，过点C作的平行线交的延长线于F． (1)求证：， (2)连接、，若，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 2.如图，中，平分，交于点D，垂直平分，交于点E，交于点F，垂足为点G，连接，．求证： (1) ； (2)四边形是菱形． 3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE＝CF，并且∠AED＝∠CFD．求证： （1）△AED≌△CFD； （2）四边形ABCD是菱形． 学科网（北京）股份有限公司 $