专题1.2 矩形的性质和判定（八大题型）（题型训练）-2026-2027学年九年级数学上册《知识解读·题型专练》（北师大版）

**基本信息** 以八大题型系统覆盖矩形性质与判定，通过分层设题构建从性质应用到判定综合的逻辑训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质求角度|5题|结合对角线性质与平行线性质|矩形性质→角度计算→几何直观| |性质求线段长|5题|涉及坐标系、垂直平分线等综合应用|性质定理→线段关系→空间观念| |性质求面积|5题|含折叠、中点连线等变换问题|面积公式→图形变换→推理能力| |折叠问题|5题|聚焦翻折后线段与角的等量关系|轴对称性质→矩形性质→模型意识| |斜边中线性质|5题|结合菱形、直角三角形等背景|特殊三角形性质→矩形关联→知识迁移| |添条件判定|6题|考查矩形判定定理的灵活应用|判定条件→命题构建→推理意识| |判定证明|5题|需完整逻辑推理过程|判定定理→证明思路→逻辑表达| |性质与判定综合|5题|多知识点融合的复杂问题|性质与判定→综合应用→问题解决|

专题1.2 矩形的性质和判定（八大题型） 【题型1 利用矩形的性质求角度】........................................................................................1 【题型2 根据矩形的性质求线段长】....................................................................................5 【题型3 根据矩形的性质求面积】........................................................................................8 【题型4 矩形与折叠问题】....................................................................................................12 【题型5 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半】........................................................17 【题型6 添一条件使四边形是矩形】.....................................................................................21 【题型7 矩形的判定】...........................................................................................................25 【题型8 矩形的性质与判定综合】.......................................................................................29 【题型1 利用矩形的性质求角度】 1．如图①是一封请柬，图②是其示意图，若在矩形中，对角线相交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了“矩形的性质”“三角形外角的性质”，熟练掌握矩形对角线的关系是解题关键． 根据矩形的性质，得到，再通过三角形外角的性质和等腰三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，． ∴． ∴． ∵是的外角， ∴． ∴． 故选： A． 2．在矩形中，对角线、相交于点，的角平分线交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，理解矩形的性质是解题的关键． 先根据矩形的性质，结合角平分线的定义求出，利用等腰三角形的性质求出，即可求出答案． 【详解】解：在矩形中，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，在矩形中，是对角线，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，交于点E，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边对等角，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，由矩形的性质可得，则可求出，由作图方法可知，垂直平分，则，由等边对等角即可得到答案． 【详解】解；∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由作图方法可知，垂直平分， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图，直线，矩形的顶点在直线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质及平行线的性质，根据矩形的性质得出，再结合平行线的性质即可解决问题． 【详解】解：延长与直线b交于点M， ∵， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 5．如图，矩形的对角线与交于点O，，垂足为E，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形内角和性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据矩形的性质得，，，再结合，得，因为，故，即可作答． 【详解】解：∵矩形的对角线与交于点O， ∴，， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【题型2 根据矩形的性质求线段长】 6．如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】连接，根据两点间的距离公式求出，进而根据矩形的对角线相等即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 7．如图，在矩形中，若，则间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质可知间的距离即为线段的长，据此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴间的距离即为线段的长， ∵， ∴间的距离为． 8．如图，矩形的顶点的坐标是，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，， ∴在矩形中，． 9．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，在矩形中，，，对角线，交于点，为边上的一个动点，，，垂足分别为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接，    ∵四边形是矩形， ∴，， ， ， ， ， ． 10．如图，在矩形中，，对角线相交于点O，垂直平分于点E，则的长为（     ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得出相等的边以及直角，根据线段垂直平分线的性质得出相等的边，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵垂直平分于点E， ∴， ∴， 由勾股定理得． 【题型3 根据矩形的性质求面积】 11．如图，矩形的对角线，交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质以及三角形的面积公式的运用，首先结合矩形的性质可得，证明，进而可得与的面积相等；接下来即可将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故． B故选：b故选：B． 12．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、．若，则四边形的面积为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】C 【分析】本题主要考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识．掌握菱形的判定与性质是解本题的关键． 由矩形的性质得，则，由垂直平分得，而，即可证明，得，因为，所以，可证明四边形是菱形；由勾股定理得，而，，所以，求得，从而可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． ∴四边形的面积为． 故选：C 13．如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若，，，，则矩形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质，得到，根据矩形的性质得到，根据平行线的性质得到，进而得到为等边三角形，根据直角三角形的性质，求出，利用勾股定理求出，由此求出答案． 【详解】解：根据题意得： 把矩形沿翻折，点恰好落在边的处， ，，，， ， ， 在矩形中，， ， 在中， ， 为等边三角形， ， 在中， ， ， ， ， 矩形的面积为：． 故选：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键． 14．如图，平行四边形的活动框架，当时，面积为，将从扭动到，则四边形面积为_______．    【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，含有角的直角三角形的性质，根据题意可得，，作，交于点，则，从而即可得到．添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：当时，面积为， ， 将从扭动到， ， 作，交于点，如图所示，    ， ， 故答案为：． 15．如图，矩形中，点E，F分别是的中点，连接和，分别取的中点M，N，连接，若， ，则图中阴影部分的面积为_____．    【答案】 【分析】矩形的面积为；可求得；；，于是. 【详解】解：矩形的面积为； ∵,, ∴; 同理，; ∴. 故答案为： 【点睛】本题考查矩形的性质，中点的定义，由图形间的位置关系得出面积关系是解题的关键． 【题型4 矩形与折叠问题】 16．如图，长方形纸片沿折叠，两点分别与对应，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查长方形与折叠问题，平行线性质的应用；根据折叠得到，根据平行线性质得到，计算即可求出． 【详解】解：∵长方形纸片沿折叠，两点分别与对应， ∴， ∵为长方形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 17．如图，在矩形纸片中，，点在边上，将沿直线折叠，点恰好落在对角线上的点处，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由矩形的性质得到，由折叠得，，由得到，推出，根据勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：矩形纸片， ， 由折叠得，， ， ， ， ， ， 故答案为：A． 18．如图，将矩形的边沿折痕折叠，使点D落在边上的点F处．若，的面积是24，则的长为（   ） A．1 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了矩形和折叠的性质，勾股定理， 由四边形是矩形与，的面积是24，求得的长，然后由勾股定理，求得的长，根据折叠的性质，即可求得，的长，继而求得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质：， ∴， ∴， 设，则 ∵ ∴，即 ∴ ∴． 故选B． 19．如图，对折矩形纸片，使与重合，展开后得到折痕，然后把沿折叠，使点落在上的点处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，等边三角形的判定以及性质，由折叠的性质可得，可得是等边三角形，即可求∠ADG=60°．进一步得出． 【详解】解：如图，连接， ∵对折矩形的纸片，使与重合， ∴， ∴， ∵把再对折到， ∴， ∴， ∴是等边三角形 ∴， ∴ 故选：A． 20．【问题情境】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点D折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 (1)图③中 （保留根号）； (2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图④，请证明矩形是黄金矩形． 【答案】(1) (2)四边形是菱形；理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据四边形是正方形得，由折叠的性质得，在中，根据勾股定理得即可得； （2）由折叠的性质可知，，得到，证明四边形为平行四边形，由，即可证明； （3）根据黄金矩形的定义证明即可得． 【详解】（1）解：由题知四边形为正方形，且， ∴，， 又∵矩形与矩形全等， ∴， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可知，，， 又∵四边形为矩形， ∴，则， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形； （3）证明：∵，，， ∴， ∴， 故四边形为黄金矩形． 【题型5 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半】 21．如图，菱形的对角线、相交于点O，E是的中点，且，则的长是（     ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴是直角三角形， ∵点E是的中点， ∴． 22．如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的尺规作图，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理． 根据作图可知平分，根据等腰三角形三线合一得到，继而根据直角三角形斜边中线定理得到． 【详解】解：由作图可知平分， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴． 23．如图，矩形玻璃窗，是边上一点，于点，点、分别是、的中点，工人师傅测量得到，，则的周长为（    ）米． A．6 B．7 C．8.5 D．12 【答案】A 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 且、分别是、的中点， ∴在和中， ，， ∵，， ∴，， 又∵， ∴在中，， ∴， ∴的周长为． 24．如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连结，点F在上，连接，，若，，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，进而求出，再根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边的中点，， ∴， ∴， ∵点D，E分别是边，的中点， ∴是中位线， ∴． 25．如图，菱形和菱形中，点在同一直线上，，点在上， 是的中点，那么的长是___________． 【答案】 【分析】连接、，根据菱形的性质求出、，，，再求出，然后利用勾股定理列式求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：连接、、，且、交于点，如图所示： ∵菱形和菱形中，，， ∴，，，平分，平分，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴． 【题型6 添一条件使四边形是矩形】 26．已知，下列条件能使成为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定，涉及菱形的判定、平行四边形性质等知识，由平行四边形性质、菱形与矩形的判定，逐项验证即可得到答案，熟记平行四边形性质、菱形与矩形的判定是解决问题的关键． 【详解】解：A、当时，由邻边相等的平行四边形是菱形得到不是矩形，不符合题意； B、当时，由对角线相互垂直的平行四边形是菱形得到不是矩形，不符合题意； C、当时，由对角线相等的平行四边形是菱形得到是矩形，符合题意； D、平行四边形的对角相等，因此不能使成为矩形，不符合题意； 故选：C． 27．依次连接四边形各边中点，得四边形是矩形，则四边形必须满足的条件是（    ） A．矩形 B．等腰梯形 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，中位线的性质，根据题意，运用中位线可得是平行四边形，再根据矩形的判定和性质即可求解． 【详解】解：根据题意，作图如下，    点分别是的中点，连接，交于点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， A、若四边形是矩形，如图所示，则，    ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，不符合题意； B、若四边形是等腰梯形，如图所示，则，    同理可得，平行四边形是菱形，不符合题意； C、若，证明方法同上，平行四边形是菱形，不符合题意； D、若，如图所示，设与交于点，与交于点，    ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，且四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，符合题意； 故选：D ． 28．如图，在中，增加一个条件四边形就成为矩形，这个条件是（    ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定的应用，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解题即可． 【详解】解：A．由无法判断四边形为矩形，故不符合题意； B．∵四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∴四边形为矩形，故符合题意； C．由无法判断四边形为矩形，故不符合题意； D．由可判断四边形为菱形，故不符合题意； 故选B． 29．如图，在中，为上一点，．请你再添加一个适当的条件：_____，使四边形为矩形． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定； 根据已知可得四边形是平行四边形，然后添加可得四边形为矩形． 【详解】解：添加条件， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 故答案为：． 30．如图，在四边形中，，，连接，相交于点．请增加一个条件，使得四边形是矩形，增加的条件为________．（填一个即可） 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了矩形的判定，由，得出四边形是平行四边形，再由矩形的判定即可得出答案，熟练掌握矩形的判定是解此题的关键． 【详解】解：在四边形中，，， 四边形是平行四边形， 当或时，四边形是矩形， 故答案为：或（答案不唯一）． 31．如图，在中，，、分别是边、中点，连接并延长到点，使，连接、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，再由，可得，即可求证； （2）先证明四边形是平行四边形，再结合等腰三角形的性质可得，即可求证． 【详解】（1）证明：∵、分别是边、中点， ∴，即， ∵，即， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：∵点是边中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，点D为的中点， ∴， ∴四边形是矩形． 【题型6 矩形的判定】 32．如图，的对角线，为的中点，连接，并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由得，，由E为的中点得，故； （2）由（1）得，，又，故四边形是平行四边形，由，点F在的延长线上得，故四边形是矩形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，， E为的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）得，， 又， 四边形是平行四边形， ，点F在的延长线上， ， 四边形是矩形． 33．如图，在中，是对角线，，分别是，的中线． (1)求证：； (2)添加一个与线段有关的条件，使四边形为矩形．（不需要证明） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质可得，再根据三角形中线的性质可得，易证四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）由（1）知四边形是平行四边形，添加或添加． 【详解】（1）证明：在中，， ∵，分别是，的中线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：添加， ∵是的中线，， ∴，即， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴四边形为矩形． 或添加， 同理，得，即， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴四边形为矩形． 34．如图，在中，点、在边上，连接、，，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质得到，，证明，可知，即可证明四边形是矩形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，． 在和中，，，， ， ， 四边形是矩形． 35．如图，点E、F分别在的边、上，连接、、、，请你从以下四个选项：①；②；③；④中选择两个合适的选项作为补充条件，使得四边形是矩形． (1)你选择的补充条件是_________（填序号），根据你选择的补充条件，写出四边形是矩形的证明过程． (2)在（1）的条件下，若，， ，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的判定定理选择条件，先证明四边形是平行四边形，进而根据矩形的判定定理即可求证； （2）根据含30度角的直角三角形的性质求出，再利用勾股定理分别求出，，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：①②或①③或②③， 选择①②，证明如下： 四边形是平行四边形， ． ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． 选择①③，证明如下： 四边形是平行四边形， ． ， 四边形是平行四边形． ∵， ， ∴四边形是矩形； 选择②③，证明如下： 四边形是平行四边形， ． ∵， ∴， ∴． ∵； ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ， ∴四边形是矩形； （2）解：在中，， ， ， ， ，， ∴． 【题型7 矩形的性质与判定综合】 36．如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键； （1）由，可得四边形是平行四边形，再由即可得四边形是矩形； （2）由题意求得，由矩形的性质得是等边三角形，由等边三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． （2）解：，， ． 又矩形中，， ∴是等边三角形， ． 37．如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的证明，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，通过比值换算，求出角的度数，再通过三角形内角和计算是解题的关键． （1）要证明平行四边形是矩形，证明求得即可． （2）首先根据矩形的性质和得到，，则，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）得：四边形是矩形， ，， ， 在直角三角形中，， ． 38．如图，的对角线，相交于点，是等边三角形，． （1）求证：是矩形； （2）求的长． 【答案】 （1）证明：四边形是平行四边形， ， 是等边三角形， ， ， 是矩形； （2）． 【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据等边三角形的性质可得，从而可得，然后根据矩形的判定即可得证； （2）先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据矩形的性质可得，然后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】（1）略 （2）是等边三角形，， ， ， 由（1）已证：是矩形， ， 则在中，． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． 39．如图，在四边形中，对角线，相交于点，，，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）36° 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCD是平行四边形，根据三角形的外角的性质得到∠AOB＝∠DAO＋∠ADO＝2∠OAD，求得∠DAO＝∠ADO，推出AC＝BD，于是得到四边形ABCD是矩形； （2）根据矩形的性质得到AB∥CD，根据平行线的性质得到∠ABO＝∠CDO，根据三角形的内角得到∠ABO＝54°，于是得到结论． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是矩形； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠ABO＝∠CDO， ∵∠AOB：∠ODC＝4：3， ∴∠AOB：∠ABO＝4：3， ∴∠BAO：∠AOB：∠ABO＝3：4：3， ∴∠ABO＝54°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠ADB＝90°−54°＝36°． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，三角形的内角和，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键． 40．如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质 ，勾股定理等知识，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可； （2）先利用矩形的性质，求出，再证明四边形是菱形，设，则，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； （2）解：，， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 的长为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 矩形的性质和判定（八大题型） 【题型1 利用矩形的性质求角度】........................................................................................1 【题型2 根据矩形的性质求线段长】....................................................................................2 【题型3 根据矩形的性质求面积】........................................................................................3 【题型4 矩形与折叠问题】....................................................................................................5 【题型5 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半】..........................................................7 【题型6 添一条件使四边形是矩形】.....................................................................................8 【题型7 矩形的判定】...........................................................................................................9 【题型8 矩形的性质与判定综合】.......................................................................................11 【题型1 利用矩形的性质求角度】 1．如图①是一封请柬，图②是其示意图，若在矩形中，对角线相交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．在矩形中，对角线、相交于点，的角平分线交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，是对角线，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，交于点E，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，直线，矩形的顶点在直线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，矩形的对角线与交于点O，，垂足为E，若，则（   ） A． B． C． D． 【题型2 根据矩形的性质求线段长】 6．如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（   ） A． B． C． D．5 7．如图，在矩形中，若，则间的距离为（    ） A． B． C． D． 8．如图，矩形的顶点的坐标是，则的长度是（    ） A． B． C． D． 9．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，在矩形中，，，对角线，交于点，为边上的一个动点，，，垂足分别为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，，对角线相交于点O，垂直平分于点E，则的长为（     ） A． B． C．4 D． 【题型3 根据矩形的性质求面积】 11．如图，矩形的对角线，交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 12．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、．若，则四边形的面积为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 13．如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若，，，，则矩形的面积是（    ） A． B． C． D． 14．如图，平行四边形的活动框架，当时，面积为，将从扭动到，则四边形面积为_______．    15．如图，矩形中，点E，F分别是的中点，连接和，分别取的中点M，N，连接，若， ，则图中阴影部分的面积为_____．    【题型4 矩形与折叠问题】 16．如图，长方形纸片沿折叠，两点分别与对应，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 17．如图，在矩形纸片中，，点在边上，将沿直线折叠，点恰好落在对角线上的点处，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 18．如图，将矩形的边沿折痕折叠，使点D落在边上的点F处．若，的面积是24，则的长为（   ） A．1 B． C．3 D．4 19．如图，对折矩形纸片，使与重合，展开后得到折痕，然后把沿折叠，使点落在上的点处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 20．【问题情境】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点D折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 (1)图③中 （保留根号）； (2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图④，请证明矩形是黄金矩形． 【题型5 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半】 21．如图，菱形的对角线、相交于点O，E是的中点，且，则的长是（     ） A．5 B．10 C．15 D．20 22．如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（     ）． A． B． C． D． 23．如图，矩形玻璃窗，是边上一点，于点，点、分别是、的中点，工人师傅测量得到，，则的周长为（    ）米． A．6 B．7 C．8.5 D．12 24．如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连结，点F在上，连接，，若，，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 25．如图，菱形和菱形中，点在同一直线上，，点在上， 是的中点，那么的长是___________． 【题型6 添一条件使四边形是矩形】 26．已知，下列条件能使成为矩形的是（    ） A． B． C． D． 27．依次连接四边形各边中点，得四边形是矩形，则四边形必须满足的条件是（    ） A．矩形 B．等腰梯形 C． D． 28．如图，在中，增加一个条件四边形就成为矩形，这个条件是（    ） A． B．C． D． 29．如图，在中，为上一点，．请你再添加一个适当的条件：_____，使四边形为矩形． 30．如图，在四边形中，，，连接，相交于点．请增加一个条件，使得四边形是矩形，增加的条件为________．（填一个即可） 31．如图，在中，，、分别是边、中点，连接并延长到点，使，连接、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四边形是矩形． 【题型6 矩形的判定】 32．如图，的对角线，为的中点，连接，并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形． 33．如图，在中，是对角线，，分别是，的中线． (1)求证：； (2)添加一个与线段有关的条件，使四边形为矩形．（不需要证明） 34．如图，在中，点、在边上，连接、，，．求证：四边形是矩形． 35．如图，点E、F分别在的边、上，连接、、、，请你从以下四个选项：①；②；③；④中选择两个合适的选项作为补充条件，使得四边形是矩形． (1)你选择的补充条件是_________（填序号），根据你选择的补充条件，写出四边形是矩形的证明过程． (2)在（1）的条件下，若，， ，求的长度． 【题型7 矩形的性质与判定综合】 36．如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 37．如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 38．如图，的对角线，相交于点，是等边三角形，． （1）求证：是矩形； （2）求的长． 39．如图，在四边形中，对角线，相交于点，，，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的度数． 40．如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，且，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $